Pontrjaginská dualita

Pontryaginova dualita je zobecněním Fourierovy transformace na lokálně kompaktní abelovské grupy.

Konstrukce

Nechť G  je lokálně kompaktní abelovská topologická grupa . V tomto případě bude skupina znaků G ( homomorfismů od G do U(1) ) také lokálně kompaktní a nazývá se Pontrjaginská duální grupa ( G^ ).

Podle Pontryaginovy ​​věty o dualitě je grupa G^^ kanonicky izomorfní vůči G , což ospravedlňuje použití termínu dualita . Slovo „kanonicky“ znamená, že existuje přirozené zobrazení z G do G^^ , konkrétně je funkční . Toto mapování je definováno takto:

Jinými slovy, prvek x z G je spojen s zobrazením z G^ na U(1) , tj. prvek z G^^ .

Motivace

Pontrjaginova dualita jednotně popisuje řadu dobře známých pozorování souvisejících s funkcemi na reálné ose nebo na konečné abelovské grupě:

• komplexně hodnocené dostatečně hladké periodické funkce na reálné ose mají expanzi ve Fourierově řadě a lze je z této expanze obnovit
• komplexní funkce, které jsou dostatečně hladké a splňují určité podmínky klesající funkce na reálné čáře, mají Fourierův obraz (jedná se o funkci definovanou i na celé reálné čáře) a lze je z něj obnovit
• funkce s komplexními hodnotami na konečné Abelovské grupě mají také diskrétní Fourierovu transformaci , což je funkce na duální grupě (duální grupa je isomorfní k originálu, ale ne kanonickým způsobem). Opět platí, že funkci lze obnovit z jejího obrazu.
• známý speciální případ z předchozího odstavce, kdy je funkce a její obraz uvažován na kruhu zbytků Z_p. Tento případ je obvykle míněn, když mluvíme o diskrétní Fourierově transformaci .

Pontrjaginova teorie duality je v podstatě založena na teorii duálních skupin k lokálně kompaktním abelovským skupinám. Tato dualita v mnoha ohledech připomíná spojení mezi konečnorozměrným vektorovým prostorem V a duálním prostorem V*. Není mezi nimi žádný kanonický izomorfismus, ale algebry jejich lineárních transformací ( maticové algebry ) jsou kanonicky izomorfní (izomorfismus je transpozice matice ). Podobně neexistuje žádný izomorfismus mezi grupou G a jejím duálním G^ v obecném případě, ale jejich grupové algebry jsou izomorfní a kanonický izomorfismus, který je spojuje, je Fourierova transformace.

Příklady

Zde jsou příklady lokálně kompaktních abelovských skupin:

• Rn , považovaný za skupinu adicí .
• R + , množina kladných reálných čísel považovaných za násobící grupu. Izomorfní k R.
• Libovolná konečná abelovská grupa s diskrétní topologií . Jakákoli taková skupina může být reprezentována jako produkt cyklických skupin.
• Množina celých čísel Z považovaných za grupu sčítáním.
• Pole Z p p-adických čísel jako skupina se sčítáním se standardní p-adickou topologií.

Skupina U(1) a skupina celých čísel jsou navzájem duální a ( aditivní ) grupy reálných a komplexních čísel jsou samy o sobě duální. Všechny konečné Abelovské grupy jsou také sebedvojné , zejména konečné cyklické grupy .

Změřte Haar

Jednou z nejdůležitějších vlastností lokálně kompaktních skupin je, že mají jedinečnou (až globální konstantní) přirozenou míru zvanou Haarova míra. Pomocí tohoto měření lze určit „velikost“ borelských podmnožin skupiny. Borelovy podmnožiny jsou prvky σ-algebry generované uzavřenými podmnožinami G .

Přesněji řečeno, existuje jedinečná (až konstantní) pravá Haarova míra s pravou invariancí μ( Ax ) = μ( A ). Zde x  je prvek skupiny a A  je borelská podmnožina G .

Haarova míra zavedená na G nám umožňuje zavést pojem integrálu komplexních Borelových funkcí definovaných na grupě. Konkrétně můžeme uvažovat prostory L p definované takto:

Vzhledem k tomu, že Haarova míra je až do konstanty jednoznačná, nejsou zavedené prostory závislé na volbě konkrétní míry, to znamená, že závisí pouze na samotné grupě G , je tedy logické je označovat L p (G) . Na druhé straně norma těchto prostor závisí na volbě míry.

Literatura

Morris Sydney. Pontrjaginská dualita a struktura lokálně kompaktních abelovských skupin. - Moskva: Mir, 1980. - S. 104.