Abelova věta o neřešitelnosti rovnic v radikálech

Abel-Ruffiniho teorém říká, že obecná algebraická mírová rovnice je neřešitelná v radikálech [1] .

Podrobnosti

Galoisova teorie popisuje permutační grupu kořenů polynomů . Moderní důkaz teorému je založen na následujících dvou skutečnostech:

• Když je stupeň polynomu větší nebo roven 5 , je Galoisova grupa polynomu permutační grupa [2] .
• Když permutační grupa není řešitelná [3] .

Je snadné vidět, že významná část důkazu je „skryta“ v Galoisově teorii.

Abel-Ruffiniho teorém neříká , že obecná rovnice tého stupně at nemá řešení. Pokud jsou povolena komplexní řešení , pak základní věta algebry zaručuje existenci řešení. Podstata Abel-Ruffiniho věty se scvrkává na skutečnost, že pro libovolné rovnice stupně většího než čtvrtý není možné uvést explicitní vzorec pro řešení, tedy vzorec, který definuje všechna možná řešení a obsahuje pouze aritmetické operace a kořeny libovolného stupně.

Řešení takových rovnic lze získat s jakoukoli požadovanou přesností pomocí numerických metod , jako je Newtonova metoda .

Kromě toho mohou být kořeny některých rovnic vyšších stupňů vyjádřeny v radikálech. Například rovnice má kořen .

Ačkoli kvintická rovnice je neřešitelná v radikálech, existují vzorce pro její kořeny pomocí funkcí theta .

Explicitní vzorce pro mocniny menší než 5

Pro rovnice se stupněm menším než pátý můžete zadat explicitní vzorec řešení. Tento fakt lze považovat za „druhou část“ nebo za „inverzní“ Abel-Ruffiniho teorém. Toto tvrzení sice nevyplývá z Abel-Ruffiniho věty, ale je pravdivé: viz Cardanovy vzorce (pro rovnice třetího stupně) a Ferrari (pro čtvrtý) [4] .

Historie

První důkaz teorému publikoval v roce 1799 Ruffini . V důkazu bylo několik nepřesností. V roce 1824 vydal Abel úplný důkaz .

Jejich důkazy se spoléhaly na Lagrangeovy myšlenky permutace kořenů rovnice. Později byly tyto myšlenky rozvinuty v Galoisově teorii , která umožnila formulaci moderního prohlášení o důkazech a sloužila jako výchozí bod ve vývoji abstraktní algebry .

Řešitelné typy rovnic

Ačkoli teorém říká, že rovnice nemají obecný vzorec k řešení, některé typy rovnic vysokého stupně připouštějí přesná řešení. Mezi nimi:

• homogenní rovnice
• Návratová rovnice

Viz také

• Galoisova teorie
• Kořen Bringa
• Lilyina metoda je grafická metoda pro nalezení skutečných kořenů polynomů libovolného stupně.
• Řešidlo algebraické rovnice
• Rovnice šestého stupně

Poznámky

1. ↑ Alekseev, 2001 , str. 112.
2. ↑ Alekseev, 2001 , str. 187.
3. ↑ Alekseev, 2001 , str. padesáti.
4. ↑ Alekseev, 2001 , str. 9-12.

Literatura

• Alekseev, V. B. Abelův teorém v problémech a řešeních. -M.: MTSNMO, 2001. - 192 s. -ISBN 5-900916-86-3. (Ruština)
• Tabachnikov, S. L. , Fuchs, D. B. Matematická divertissement. Přednáška 5. - MTSNMO, 2011. - 512 s. -ISBN 978-5-94057-731-7. (Ruština)
• Bosch, S. Algebra  (německy) . — 6. Aufláž. - Springer , 2006. - ISBN 3-540-29880-0 .
• Dehn, E. Algebraické rovnice: Úvod do teorií Lagrangeovy a Galoisovy  (anglicky) . — New York: Columbia University Press , 1930.
• Fraleigh, JB Prvníkurz abstraktní algebry  . — Sedmé vydání. - Pearson Education Limited, 2014. - ISBN 1-292-02496-8 .
• Stewart , I. Galoisova teorie . - Druhé vydání. -Chapman & Hall, 1989. -ISBN 978-94-010-6864-2.

Odkazy

• Weisstein, Eric W. Abel's Impossibility Theorem  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Galois's Theorem  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• David Terr a Eric W. Weisstein. Galois Group  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Solvable Group  (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .