Vyjádřitelnost v radikálech

Vyjádřitelnost v radikálech znamená schopnost vyjádřit číslo nebo funkci pomocí nejjednodušších čísel nebo funkcí extrakcí odmocniny z celého čísla a aritmetických operací - sčítání , odčítání , násobení , dělení .

Pro čísla

Primární definice

Standardní definice

Prvek pole se říká , že je radikálně vyjádřitelný přes podpole pole , pokud existuje algebraický výraz , který obsahuje jako čísla pouze prvky pole, jejichž hodnota je rovna . Pokud je kořen v poli vícehodnotová funkce , považuje se za dostatečné, aby se číslo rovnalo alespoň jedné z možných hodnot algebraického výrazu . $A$ $F$ $G$ $F$ $G$ $A$ $F$ $A$

Jinými slovy, množina čísel vyjádřitelných v radikálech se skládá z množiny hodnot všech racionálních výrazů , dílčích součtů radikálů z hodnot racionálních výrazů a částečných součtů vnořených radikálů z hodnot racionálních výrazy.

Definice bez odkazu na formální jazyk matematiky

Nechť je podpole pole . Uvažujme konečný řetězec vnořených polí takových, že a [nb 1] pro libovolné od do , kde je číslo z pole takové, které pro nějaké přirozené číslo patří do . Číslo je řekl, aby byl radikálně vyjádřitelný přes podpole pole jestliže, pro některé , tam jsou sbírky a pro to takový , že [1] . $G$ $F$ ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s))$ $G_{0}=G$ $G_{i}=G_{i-1}(\alpha _{i})$ $i$ $jeden$ $s$ $\alpha_i$ $F$ $n_{i}$ $\alpha _{i}^{n_{i))$ $G_{i-1}$ $a\in F$ $G$ $F$ $s$ $\alpha_i$ $n_{i}$ $a\in G_{s}$

Další definice

O reálném čísle se říká , že je vyjádřitelné v reálných radikálech , pokud je vyjádřitelné v radikálech nad podpolí racionálních čísel v oboru reálných čísel . V tomto případě lze kořeny sudého stupně v algebraickém výrazu , který nabývá hodnoty , brát pouze z nezáporných čísel , to znamená, že hodnota jakéhokoli podvýrazu uvažovaného výrazu musí mít nulovou imaginární část . . $X$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $X$
Komplexní číslo (které může být také reálné ) se říká , že je vyjádřitelné v komplexních radikálech , pokud je vyjádřitelné v radikálech nad podoborem racionálních čísel oboru komplexních čísel . Číslo vyjádřitelné v reálných radikálech je vždy vyjádřitelné v komplexních radikálech. Primární výskyt komplexních čísel v algebraickém výrazu , který nabývá hodnoty , může nastat pouze díky extrakci odmocniny sudého stupně ze záporných čísel . Pro zjednodušení řešení nejednoznačnosti th odmocnin v komplexních číslech se používají různé metody k označení toho, který z kořenů je nezbytný k získání daného čísla: například komplexní kořeny unity , což jsou důležité konstanty, jsou číslovány explicitně proti směru hodinových ručiček. na standardní komplexní rovině , počínaje samotnou jednotkou. $z$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {C}$ $z$ $n$
Prvek pole se říká , že je vyjádřitelný v radikálech stupňů přes podpole pole , pokud nějaký algebraický výraz s čísly od , jejichž hodnota je rovna , z možných kořenů obsahuje pouze kořeny stupně . Zejména, když se číslo nazývá vyjádřitelné ve čtvercových radikálech , a když je vyjádřeno v krychlových radikálech . Možné jsou i kombinace: například čísla a jsou vyjádřitelné v čtvercových a krychlových radikálech nad polem racionálních čísel . Definice, která nepřekračuje rámec standardního formálního jazyka , má následující formu: prvek pole se říká , že je vyjádřitelný ve stupních radikálů přes podpole pole , pokud je vyjádřitelný v radikálech přes pole a všechny se podílejí na poli. definice radikálové vyjádřitelnosti pro uvedené výše jsou stejné [1] . $A$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $A$ $n$ $n=2$ $A$ $n=3$ ${\sqrt {2+{\sqrt[{3}]{2))))$ ${\sqrt {2}}+{\sqrt[{3}]{2}}$ $\mathbb {Q}$ $A$ $F$ $n$ $G$ $F$ $G$ $n_{i}$ $A$ $n$
Číslo vyjádřitelné v reálných čtvercových radikálech se nazývá skutečné sestavitelné [2] .
Nechť je pole . Potom pole [nb 2] , kde a , se nazývá radikální rozšíření pole [3] . V řetězci polí konstruovaných výše je tedy každé další nějaké radikální rozšíření předchozího. V tomto případě se zadané pole nazývá kvadratická extenze pole , to znamená, že číslo vyjádřené ve čtvercových radikálech patří do dalšího pole v řetězci kvadratických rozšíření původního podpole [4] . $K$ $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $v K$ ${\sqrt[{n}]{a}}\notin K$ $K$ ${\displaystyle G_{0}\subset G_{1}\subset \dots \subset G_{s))$ $n=2$ $K$
Číslo vyjádřitelné v radikálech se nazývá vyjádřitelné v radikálech $n$ , jestliže mezi všemi algebraickými výrazy, které se mu rovnají, je v nich minimální počet kořenů [5] . $n$

Příklady

Číslo je vyjádřitelné v reálných čtvercových radikálech , to znamená, že je skutečně sestavitelné . Zároveň je vyjádřitelný v reálných radikálech libovolného stupně tvaru , kde je přirozené číslo, protože . ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))$ $2^{n}$ $n$ ${\sqrt {3+{\sqrt {8))))={\sqrt[{2^{n))]({\Big (}3+{\sqrt[{2^{n)) ]{8^{2^{n-1)))){\Big )}^{2^{n-1))))$
Číslo se také na první pohled zdá být vyjádřitelné pouze v radikálech jakéhokoli stupně tvaru , ale ve skutečnosti je vyjádřitelné v radikálech jakéhokoli stupně a jakéhokoli druhu , protože pro jakýkoli . ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))$ $2^{n}$ ${\sqrt {6+{\sqrt {32))))+{\sqrt {6-{\sqrt {32))))=4={\sqrt[{n}]{4^{n }}}$ $n$
Není vždy možné okamžitě určit takové minimum , aby bylo uvažované číslo vyjádřitelné pomocí radikálů , protože počet , který lze vyjádřit dvěma čtvercovými radikály , je ve skutečnosti stejný a je vyjádřitelný pomocí jednoho čtvercového radikálu . $n$ $n$ ${\sqrt {17+{\sqrt {288))))$ ${\sqrt {9+2\cdot 3\cdot {\sqrt {8}}+8}}={\sqrt {(3+{\sqrt {8}})^{2}}}=3 +{\sqrt {8}}$
Další podobné příklady najdete v článku vnořené radikály .
Číslo je vyjádřitelné v radikálech přes podpole pole , protože jediný kořen sudého stupně v tomto algebraickém výrazu je extrahován z nezáporného čísla , ale není vyjádřitelný v reálných radikálech , protože . Na rozdíl od předchozích odstavců můžeme v tomto případě hovořit o negativní vlastnosti uvažovaného čísla na základě jeho specifického zápisu, protože za předpokladu, že je vyjádřitelné v reálných radikálech , bychom snadno získali algebraický výraz pro , což je neexistují kvůli transcendenci těchto čísel (viz část Obecné vlastnosti ). ${\sqrt[{3}]{1-{\sqrt {\pi }}}}$ $\mathbb {Q} (\pi )$ $\mathbb {R}$ $\pi$ $\pi \notin \mathbb {Q}$ $\pi$

Vysvětlivky

Vyjádřitelnost v radikálech vzhledem k reálnému číslu, bez dalších kvalifikací v literatuře, obvykle znamená vyjádřitelnost v komplexních radikálech .

Pro funkce , polynomy a rovnice

Primární definice

Standardní definice

O funkci , která nabývá hodnot v poli a závisí na určitém počtu parametrů , se říká , že je vyjádřitelná v radikálech přes podpole pole , pokud existuje algebraický výraz , který obsahuje pouze prvky pole a uvedené parametry jako čísla, jejichž hodnota se shoduje s hodnotou pro jakékoli přípustné hodnoty těchto parametrů [6] . $F$ $F$ $G$ $F$ $G$ $F$

Definice bez odkazu na formální jazyk matematiky

Nechť je podpole pole . Uvažujme takový konečný řetězec vnořených polí , jehož prvky jsou funkce od (možná bez několika bodů, aby se předešlo dělení nulou) do , který se skládá ze všech racionálních funkcí přes , a [nb 3] pro libovolné od do , kde je taková spojitá funkce na , že pro některé přirozené funkce patří do . O funkci se říká , že je vyjádřitelná v radikálech přes podpole pole , pokud pro některé existují takové sbírky pro ni a , že . $G$ $F$ ${\displaystyle K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{s))$ $F$ $F$ $K_{0}$ $G$ $K_{i}=K_{i-1}(f_{i})$ $i$ $jeden$ $s$ $f_{i}$ $F$ $n_{i}$ $f_{i}^{n_{i))$ ${\displaystyle K_{i-1))$ $f\colon F\to F$ $G$ $F$ $s$ $f_{i}$ $n_{i}$ $f\in K_{s}$

Další definice

Vícehodnotová funkce se nazývá radikálově vyjádřitelná přes podpole , pokud všechny jednohodnotové funkce z ní extrahované jsou také vyjádřitelné v radikálech přes podpole . $F$ $G$ $G$
Polynom v jedné proměnné, v závislosti na určitém počtu parametrů (určujících některé z jeho koeficientů), se nazývá řešitelný v radikálech , pokud je spojitá a případně vícehodnotová funkce vyjádřitelná v radikálech , odpovídající množině hodnot parametrů \\ s odpovídající sadou polynomiálních kořenů .
Algebraická rovnice se nazývá řešitelná v radikálech , pokud dokážeme vyřešit v radikálech polynom, který se v této rovnici rovná nule [4] [7] .
Funkce a polynomy podléhají všem výše uvedeným omezením definice vyjádřitelnosti a rozlišitelnosti v radikálech . Například funkce definovaná jako na celé reálné čáře je vyjádřitelná ve čtvercových komplexních radikálech . $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(x)={\sqrt {x-{\sqrt {x))))$

Příklady

Vícehodnotová funkce je vyjádřitelná v radikálech , protože všech šest z ní extrahovaných jednohodnotových funkcí splňuje podmínku , kde je algebraický výraz , který používá pouze proměnnou, která se chová jako argument funkce, a komplexní čísla. $f(x)\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ $f(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ $g(x)$ $g(x)={\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$ ${\sqrt {x}}+\pi +{\sqrt[{3}]{x}}$
Polynom je řešitelný v komplexních čtvercových radikálech , protože pro všechny jsou jeho kořeny dány funkcí . Tento polynom však může být v reálných radikálech řešitelný pouze za podmínky, že číslo patří do množiny kladných čísel. $x^{5}+2ax^{3}+a^{2}x$ $A$ $x\mapsto 0,{\sqrt {-a}},-{\sqrt {-a}}$ $A$

Vysvětlivky

V případě komplexní funkce bez specifikace podpole se obvykle předpokládá, že se rovná stejné množině komplexních čísel . $G$ $\mathbb {C}$
Je důležité poznamenat, že vyjadřitelnost v radikálech funkce a vyjadřitelnost v radikálech obrazu každého prvku, když je použit, nejsou ekvivalentní: například funkce, která splňuje druhou podmínku , nemusí být spojitá . , přičemž tento požadavek je povinný pro to, co splňuje první podmínku. $\mathbb {R}$

Obecné vlastnosti

Množiny čísel vyjádřitelných v radikálech a funkcí vyjádřitelných v radikálech jsou pole obsahující pole, přes která jsou vyjádřitelná radikály jako podpole.
Jakékoli komplexní číslo vyjádřitelné v radikálech je algebraické , ale ne každé algebraické číslo je vyjádřitelné v radikálech. První tvrzení vyplývá z algebraické povahy racionálních čísel a ze skutečnosti, že množina algebraických čísel je těleso (v každém kroku přechodu z do v definici čísla vyjádřitelného v radikálech generují algebraická čísla pouze algebraická čísla ). Druhé tvrzení vyplývá z následující věty o existenci rovnice stupně s celočíselnými koeficienty, jejíž alespoň jeden kořen je nevyjádřitelný v radikálech. Podobně jakákoli funkce vyjádřitelná v radikálech je algebraická , zatímco ne každá algebraická funkce je vyjádřitelná v radikálech. Jinými slovy, obor algebraických čísel obsahuje obor čísel vyjádřitelných v radikálech a obor algebraických funkcí obsahuje pole funkcí vyjádřitelných radikály, ale obráceně to neplatí. $G_{i-1}$ $G_{i}$ $5$
Jakákoli funkce vyjádřitelná v radikálech bere do sebe množiny čísel vyjádřitelných v radikálech, algebraická čísla a transcendentální čísla ve stejném poli. Jestliže argument vícehodnotové funkce vyjádřitelné v radikálech sestává celý z čísel jedné z těchto množin, spadá do něj i obraz. Avšak pouze poslední dvě sady jsou vždy zcela obrazy sebe samých. Číslo vyjádřitelné v radikálech, získané aplikací funkce vyjádřitelné v radikálech pouze na čísla nevyjádřitelná v radikálech, můžete získat takto: vezměte polynom stupně s celočíselnými koeficienty, jehož žádný kořen není vyjádřitelný v radikálech a jehož volný člen není rovna nule (podle dále popsané Kroneckerovy věty , jako takový polynom může být vhodný např. [2] ). Pak funkce daná takovým polynomem bez volného členu nabývá stejné hodnoty pouze v kořenech tohoto polynomu, které jsou v radikálech nevyjádřitelné, přičemž samotný volný člen je celé číslo a samozřejmě může být vyjádřen v libovolných radikálech. $5$ $x^{5}-4x+2$

Geometrické a trigonometrické věty

Hlavní věta teorie geometrických konstrukcí : je-li v rovině úsečka délky , sestrojíme délkovou úsečku pomocí kružítka a pravítka právě tehdy, je-li číslo skutečně sestavitelné (tj. lze jej vyjádřit ve čtvercových reálných radikálech) [2] [1] [8] [9] . Z toho vyplývá nemožnost kvadratury kružnice a zdvojnásobení krychle pomocí kružítka a pravítka, protože ve výsledku získáme nesestrojitelná reálná čísla , resp. [1] . $jeden$ $X$ $X$ ${\sqrt {\pi ))$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$
V obecnější podobě zní výše uvažovaná věta takto: pro dané segmenty délek lze segment délky sestrojit pomocí kružítka a pravítka tehdy a jen tehdy, když [1] . ${\displaystyle a_{1},a_{1},\tečky ,a_{n))$ $A$ $a\in \mathbb {Q} (a_{1},a_{1},\tečky ,a_{n})$
Gaussův teorém : Číslo je reálně sestavitelné tehdy a jen tehdy , když jsou všechna párově odlišná Fermatova prvočísla . Z této věty zejména vyplývá, že číslo není reálně sestavitelné, to znamená, že není možné nakreslit trisekci úhlu pomocí kružítka a pravítka , a tedy libovolný úhel [2] [1] . Podobně je dokázána nemožnost rozdělit libovolný úhel na libovolný počet stejných částí, které nejsou mocninou dvou - pokud by takové rozdělení bylo možné, pak by bylo možné sestrojit úhly tvaru , což je možné pouze pro . ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )))$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\tečky p_{k))$ $p_{i}$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{9}}{\Big )))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{3}}{\Big )))$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{a^{2))))$ ${\displaystyle a=2^{k))$

Seznam algebraických výrazů pro goniometrické funkce některých úhlů je uveden v článku Goniometrické konstanty . Vedlejším výsledkem uvažovaného teorému je, že hodnoty goniometrických funkcí v úhlu, který je celočíselným počtem stupňů, jsou vyjádřeny v radikálech právě tehdy, když je toto číslo dělitelné .

3

Gaussova-Wanzelova věta také bezprostředně vyplývá z Gaussovy věty výše a uvádí, že pravidelný -gon lze sestrojit pomocí kružítka a pravítka právě tehdy, když, kde všechnajsou párově odlišná Fermatova prvočísla , tedy právě tehdy, když kosinus jeho středový úhel rovný, sestrojíme reálný [2] [9] [4] . $n$ ${\displaystyle n=2^{k}p_{1}p_{2}\tečky p_{k))$ $p_{i}$ ${\frac {2\pi }{n}}\,(\mathrm {rad} )$
Navzdory výše uvedeným skutečnostem, kosinus libovolného úhlu, který je násobkem , můžeme vyjádřit v komplexních radikálech, protože , kde je druhý kořen jednoty ve standardním číslování po samotné jednotce a číslo je vyjádřeno pomocí nebo pomocí Chebyshev polynomy . Avšak i v případech, kdy je kosinus daného úhlu vyjádřitelný pouze v komplexních radikálech libovolného stupně, ale ne ve čtvercových reálných, nemusí být minimální stupeň radikálů odpovídajícího výrazu nutně roven : například , že je toto číslo vyjádřitelné ve čtvercích a kubických radikálech (v tomto případě pro získání správné hodnoty mezi možnými devíti je třeba vzít hodnoty krychlových odmocnin s největší skutečnou částí). $\pi \,(\mathrm {rad} )$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}={\frac {1}{2}}{\Big (}u_{2}+{\ frac {1}{u_{2}}}{\Big )))$ ${\displaystyle u_{2))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi m}{n}}{\Big )))$ ${\displaystyle \cos {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )))$ $\sin {\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Big )}=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}{\Big (}{\frac {2\pi }{n}}{\Velký ))))}$ $n$ $\cos {\Big (}{\frac {2\pi }{7}}{\Big )}={\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3 }]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2 }}}\že jo)$

Funkční věty

Galoisova grupa funkce vyjádřená v komplexních radikálech je řešitelná [6] . (V tomto případě "Galoisova grupa funkce" znamená skupinu permutací listů Riemannovy plochy funkce generované kruhovými permutacemi kolem bodů větvení této plochy.)
Derivace funkce vyjádřená v radikálech je také vyjádřena v radikálech, protože deriváty všech aritmetických operací povolených v algebraických výrazech aplikovaných na funkce jsou algebraické výrazy používající pouze hodnoty těchto funkcí a v případě kořene , jeho stupeň jako proměnné:

\left({f\pm g}\right)'=f'\pm g'

\left({fg}\right)'=f'g+fg'

\left({f \over g}\right)'={f'g-fg' \over g^{2))

{\sqrt[{n}]{x}}'={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1))))}

Opak však neplatí: například deriváty inverzních goniometrických funkcí jsou vyjádřitelné v radikálech nad , zatímco inverzní goniometrické funkce samy o sobě jsou transcendentální funkce , to znamená, že nejsou algebraické (a jakákoli funkce vyjádřitelná v radikálech, jak bylo zmíněno výše , je algebraické): $\mathbb {Q}$

\arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)))).

\arccos '(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)))).

\operatorname {arctg} '(x)={\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

\operatorname {arcctg} '(x)=-{\frac {1}{\ 1+x^{2))}.

Polynomiální věty

Polynom je rozpustný v radikálech právě tehdy, když je jeho Galoisova skupina obecně rozpustná [10] .
Kroneckerův teorém : alespoň jeden z kořenů rovnice prvočísla neredukovatelné v racionálních číslech s celočíselnými koeficienty může být vyjádřen v radikálech jako číslo pouze tehdy, je-li mezi nimi právě jeden nebo přesně reálný [2] [3] . Z toho sestrojením neredukovatelného polynomu stupně s celočíselnými koeficienty a třemi reálnými kořeny (příkladem takového polynomu může posloužit ) je okamžitě odvozen speciální případ následující věty pro obor racionálních čísel : $n$ $n$ $5$ $x^{5}-4x-2$ $\mathbb {Q}$
Abel-Ruffiniho teorém , který říká, že rovnice jakéhokoli stupně ne menší než, s celočíselnými koeficienty, nejsou řešitelné v radikálech v obecné formě (to znamená, kdyžvšechny jejich koeficienty parametrizovány ). $5$
Nicméně, rovnice s celočíselnými koeficienty stupně až do včetně jsou řešitelné (viz Lineární rovnice , Kvadratická rovnice , Kubická rovnice , Rovnice čtvrtého stupně ). Přitom lineární rovnice jsou řešitelné bez použití radikálů, čtvercové - pouze s použitím čtvercových radikálů (a s reálnými kořeny i reálné), kubické a čtvrtého stupně - pouze s použitím reálných čtvercových a komplexních kubických radikálů [2] [5] . Navíc, jak je vidět ze vzorců pro řešení všech těchto rovnic (pro a mocniny, viz Cardanoův vzorec a Ferrariho vzorec ), jsou řešitelné i nad oborem racionálních čísel . $čtyři$ $3$ $čtyři$

Vzorce pro řešení rovnic stupňů , ,

jeden

2

3

$ax+b=0\Leftrightarrow x=-{\frac {b}{a}}$ .
$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))$
Jedním z řešení rovnice je , where a (měli byste vzít takové hodnoty odmocnin, aby se číslo rovnalo jejich součinu). Vyjmutím faktoru s tímto kořenem se kubická rovnice převede na součin lineární a kvadratické rovnice, jejichž řešení jsou uvedena výše. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt ({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{ 3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4} }+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}-{\frac {b}{3a}}$ $p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}$ $q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}$ $-{\frac {p}{3}}$

Úplný vzorec pro jedno z řešení stupňové rovnice

3

${\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}- {\frac {d}{2a}}\right)+{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+{\frac {bc}{6a^ {2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a ^{2}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{\left(-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}+ {\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)-{\sqrt {\left(-{\frac {b^{3}}{27a^ {3}}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a }}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}-{\frac {b}{3a}}$

Vzorce pro titul v plné formě jsou příliš těžkopádné. $čtyři$

Užší třída rovnic, nazývaná reciproční rovnice , je řešitelná v radikálech až do stupně včetně. Opakující se polynomy lichého stupně mají tvar a jsou reprezentovány jako součin hranaté závorky a nějaké opakující se rovnice sudého stupně, a ta zase vypadá takto: stupeň . Podle výše uvedené Abel-Ruffiniho věty je taková rovnice řešitelná v radikálech do , proto je reciproká rovnice řešitelná v radikálech do stupně [11] . $9$ $2n+1$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $(x+\lambda )$ $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $x\neq 0\Leftrightarrow \lambda ,a_{0}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\ lambda }{x}}{\Velká )}^{k}{\Velká )}{\Velká )))$ ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )))$ $n$ $n=4$ $2\cdot 4+1=9$
Indukcí lze také snadno ověřit, že polynomy tvaru , kde jsou polynomy nejvýše stupně , jsou řešitelné v radikálech v obecném tvaru . Speciální případ tvaru , kde je polynom stupně, se nazývá bikvadratická rovnice a je zapsán ve tvaru , má čtyři kořeny rovné . $n$ $P_{1}(P_{2}(\dots P_{n}(x)\tečky ))$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\tečky P_{n))$ $čtyři$ $P(x^{2})$ $P$ $2$ $ax^{4}+bx^{2}+c$ ${\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac))}{2a))))$
Dovolit být ireducibilní polynom nad polem a být jeho rozkladným polem . Polynom je řešitelný ve čtvercových radikálech právě tehdy, když (to znamená, že dimenze jako lineární prostor nad polem je rovna nějaké přirozené ) [1] . $f(x)$ $K$ $L$ $f(x)$ $\dim _{K}L=2^{n}$ $L$ $K$ $2^{n}$ $n$

Původ termínu

Výrazem " radikály " ve všech uvažovaných frázích rozumíme matematické kořeny celočíselného stupně - toto slovo pochází z latinského slova "radix" , které má mimo jiné stejný význam. Vzhledem k tomu, že operace sčítání a násobení spolu s jejich inverzemi, které jsou také povoleny v algebraických výrazech , jsou formálně definovány před umocněním, a tedy před kořenem, je to kořen, jako „extrémní“ přípustná operace, která se objevuje v názvu vlastnictví.

Poznámky pod čarou

↑ Položka zde označuje minimální příponu pole , která obsahuje prvek , tedy průsečík všech přípon, které jej obsahují . $G_{i-1}(\alpha _{i})$ $G_{i-1}$ $\alpha_i$ $G_{i-1}$
↑ Položka zde označuje minimální příponu pole , která obsahuje prvek , tedy průsečík všech přípon, které jej obsahují . $K({\sqrt[{n}]{a)))$ $K$ ${\sqrt[{n}]{a))$ $K$
↑ Položka zde označuje minimální příponu pole , která obsahuje prvek , tedy průsečík všech přípon, které jej obsahují . $K_{i-1}(f_{i})$ ${\displaystyle K_{i-1))$ $f_{i}$ ${\displaystyle K_{i-1))$

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 7 E. Bunina "Separovatelné polynomy. Galoisova grupa. Vyjádřitelnost v radikálech. Neřešitelné konstrukční problémy." . Staženo 5. května 2020. Archivováno z originálu dne 22. září 2018. (neurčitý)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 A. Skopenkov "Ještě pár důkazů z Knihy: řešitelnost a neřešitelnost rovnic v radikálech" . Staženo 5. května 2020. Archivováno z originálu dne 20. ledna 2021. (neurčitý)
↑ 1 2 V.Tikhomirov "Abel a jeho velká věta" (časopis Kvant, 2003, leden) . Staženo 5. května 2020. Archivováno z originálu dne 20. ledna 2022. (neurčitý)
↑ 1 2 3 Kulikov L.Ya. "Algebra a teorie čísel. Učebnice pro pedagogické ústavy"
↑ 1 2 „Řešení rovnic pomocí jednoho radikálu“ (Letní konference Turnaje měst) . Staženo 5. května 2020. Archivováno z originálu dne 20. ledna 2022. (neurčitý)
↑ 1 2 Alekseev V.B. „Abelův teorém v problémech a řešeních“ . Staženo 5. května 2020. Archivováno z originálu dne 6. srpna 2020. (neurčitý)
↑ Řešení rovnic v radikálech (interaktivní informační a konzultační prostředí) . Staženo 5. května 2020. Archivováno z originálu 10. srpna 2016. (neurčitý)
↑ A. Adler "Teorie geometrických konstrukcí" (nepřístupný odkaz) . Staženo 5. května 2020. Archivováno z originálu dne 27. května 2020. (neurčitý)
↑ 1 2 M. Balandin "Úvod do staveb s kružítko a pravítko"
↑ Přednáška na Vyšší ekonomické škole . Staženo 17. května 2020. Archivováno z originálu dne 29. března 2017. (neurčitý)
↑ S.N. Olechnik, M.K. Potapov, P.I. Pasichenko. "Algebra a počátky analýzy. Rovnice a nerovnice"

Vyjádřitelnost v radikálech

Pro čísla

Primární definice

Další definice

Příklady

Vysvětlivky

Pro funkce , polynomy a rovnice

Primární definice

Další definice

Příklady

Vysvětlivky

Obecné vlastnosti

Geometrické a trigonometrické věty

Funkční věty

Polynomiální věty

Původ termínu

Poznámky pod čarou

Poznámky

Literatura