Racionální funkce

Racionální funkce nebo zlomková racionální funkce nebo racionální zlomek je numerická funkce , která může být reprezentována jako zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsou polynomy . Na tuto formu lze redukovat jakýkoli racionální výraz , tedy algebraický výraz , bez radikálů .

Formální definice

Racionální funkce [1] [2] , nebo zlomková racionální funkce [1] [3] , nebo racionální zlomek [3] je číselná funkce tvaru

\mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),

kde jsou komplexní ( ) nebo reálná ( ) čísla, je racionální vyjádření . Racionální výraz je matematický výraz složený z nezávislé proměnné (komplexní nebo reálné) a konečné množiny čísel (respektive komplexních nebo reálných) pomocí konečného počtu aritmetických operací (tj. sčítání , odčítání , násobení , dělení a zvyšování ). na celočíselnou mocninu ) [4] . $\mathbb {U}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $R(u)$ $u$

Racionální funkci lze zapsat (ne jednoznačně) jako poměr dvou polynomů a : $P(u)$ $Q(u)$

R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+ \cdots +a_{n}u^{n}}{b_{0}+b_{1}u+b_{2}u^{2}+\cdots +b_{m}u^{m}}},

kde koeficienty racionální funkce jsou koeficienty polynomů a : $Q(u)\not \equiv 0.$ $P(u)$ $Q(u)$

a_{0},a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n}

a [4] .

{\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\tečky ,b_{m))

Speciální případy

Celá racionální funkce je funkcí formy

\mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1)),

kde je proměnná skutečná.

X

Zlomková lineární funkce - poměr dvou lineárních funkcí komplexní proměnné:

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d)).

Cayleyho transformace

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {zi}{z+i)).

Žukovského funkce je racionální funkcí komplexní proměnné

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right ),

který má důležité aplikace v hydromechanice , objevil N. E. Zhukovsky [5] .

Zobecnění

Racionální funkce několika proměnných (komplexních nebo reálných)

\mathbb {U} ^{\max(n,m)}\to \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\tečky ,u_{\max(n, m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\tečky ,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\tečky ,u_{m} )}},

kde [4] .

Q(u_{1},u_{2},\tečky ,u_{m})\not \equiv 0

Abstraktní racionální funkce

R={\frac {A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+\cdots +A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1}+B_ {2}F_{2}+\cdots +B_{m}F_{m}}},

kde je lineárně nezávislý systém spojitých funkcí na nějakém kompaktním prostoru a jsou číselné koeficienty [4] .

{\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{\max(n,m)))

A_{1},A_{2},\dots ,A_{n},

{\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{m))

Reálná racionální funkce

Neredukovatelný racionální zlomek

Neredukovatelný racionální zlomek je racionální zlomek, ve kterém je čitatel relativně prvočíslo ke jmenovateli [3] .

Každý racionální zlomek se rovná nějakému neredukovatelnému zlomku, který je určen až do konstanty společné s čitatelem a jmenovatelem. Rovnost dvou racionálních zlomků je chápána ve stejném smyslu jako rovnost zlomků v elementární matematice [3] .

Důkaz

Nejprve dokážeme, že pokud je součin polynomů a dělitelný , a a jsou coprime, pak je dělitelný $f(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$ $\varphi(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ [6] .

1. Je známo, že polynomy a jsou relativně prvočísla právě tehdy, když existují polynomy a takové, že $f(x)$ $\varphi(x)$ $u(x)$ $v(x)$

f(x)u(x)+\varphi (x)v(x)=1.

2. Vynásobte tuto rovnost číslem : $g(x)$

[f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).

3. Oba členy této rovnosti jsou dělitelné , proto je také dělitelné . $\varphi(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$

Nyní pomocí toho dokážeme, že každý racionální zlomek se rovná nějakému neredukovatelnému zlomku, který je určen až do konstanty společné s čitatelem a jmenovatelem [3] .

1. Libovolný racionální zlomek lze redukovat největším společným dělitelem jeho čitatele a jmenovatele.

2. Dále, pokud jsou dva neredukovatelné zlomky stejné:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)))),

to znamená

f(x)\psi (x)=g(x)\varphi (x).

pak:

ze vzájemné jednoduchosti vyplývá , že je dělitelná ; $f(x)$ $g(x)$ $\varphi(x)$ $f(x)$
z cosimplicity vyplývá , že je dělitelné . $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $f(x)$ $\varphi(x)$

Ve výsledku to dostáváme $f(x)=c\varphi(x).$

3. Dosazením posledního výrazu do původního dostaneme:

c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),

nebo

g(x)=c\psi(x).

Tak jsme to dostali

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x))).

Správný racionální zlomek

Racionální zlomek je správný , pokud je stupeň v čitateli menší než stupeň ve jmenovateli. Nula polynom 0 je vlastní zlomek. Každý racionální zlomek může být reprezentován jedinečným způsobem jako součet polynomu a vlastního zlomku [3] .

Důkaz

Dokažme poslední tvrzení [3] .

1. Pro jakýkoli racionální zlomek , když čitatel vydělíme jmenovatelem, dostaneme: ${\frac {f(x)}{g(x)))$

f(x)=g(x)q(x)+r(x),

a stupeň je menší než stupeň . Vydělte obě strany rovnosti číslem , dostaneme, že racionální zlomek je součtem polynomu a vlastního zlomku: $r(x)$ $g(x).$ $g(x)$

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x))).

2. Dokažme jedinečnost tohoto zobrazení, platí-li také následující rovnost:

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x)+{\frac {\varphi (x)}{\psi (x))),

kde je také stupeň menší než stupeň , odečteme: $\varphi(x)$ $\psi (x)(x)$

q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)))= {\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x))).

3. Vlevo od poslední rovnosti je polynom. Protože stupeň je menší než stupeň a stupeň je menší než stupeň , pak napravo od poslední rovnosti je správný zlomek, tedy $\varphi(x)$ $\psi(x)$ $r(x)$ $g(x)$ $q(x)-q'(x)=0$

{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)))-{\frac {r(x)}{g(x)))=0.

Nejjednodušší racionální zlomek

Správný racionální zlomek je nejjednodušší , pokud je jeho jmenovatelem stupeň ireducibilního polynomu : ${\frac {f(x)}{g(x)))$ $g(x)$ $p(x)$

g(x)=p^{k}(x),k\geqslant 1,

a stupeň čitatele je menší než stupeň . Existují dvě věty [3] . $f(x)$ $p(x)$

Hlavní věta. Každý správný racionální zlomek se rozloží na součet jednoduchých zlomků.
Věta o jednoznačnosti. Každý správný racionální zlomek má jedinečnou expanzi na součet jednoduchých zlomků.

Rozklad vlastního racionálního zlomku na součet jednoduchých zlomků

Expanze vlastního racionálního zlomku na součet jednoduchých zlomků se používá v mnoha úlohách, například:

při integraci [7] ;
při rozšíření v Taylorově řadě [8] ;
když se rozšířil v Laurentově sérii [9] ;
při výpočtu inverzní Laplaceovy transformace racionálního zlomku [10] .

Příklad

Příklad. Rozbalte skutečný vlastní zlomek na součet jednoduchých zlomků , kde [3] : ${\frac {f(x)}{g(x)))),$

f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3,

g(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x+2.

Řešení. 1. Je snadné to zkontrolovat

g(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}+1),

a jsou neredukovatelné. $x+2,$ $x-1,$ $x^{2}+1$

2. Použijme metodu neurčitých koeficientů . Z hlavní věty vyplývá, že požadovaná expanze má následující tvar:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}} }+{\frac {C}{x-1}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}.

Zbývá najít čísla , a $A$ $b,$ $C,$ $D$ $E.$

3. Zredukujeme projekt rozšíření na společného jmenovatele, dostaneme:

f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3=

=A(x-1)^{2}(x^{2}+1)+

+B(x+2)(x^{2}+1)+

+C(x+2)(x-1)(x^{2}+1)+

+Dx(x+2)(x-1)^{2}+

+E(x+2)(x-1)^{2}.

Můžete získat systém pěti lineárních rovnic s pěti neznámými a vyrovnání koeficientů se stejnými mocninami z obou částí poslední rovnosti. Navíc z hlavní věty a věty o jednoznačnosti vyplývá, že tato soustava pěti rovnic má jedinečné řešení. $A$ $b,$ $C,$ $D$ $E,$ $X$

4. Použijme jinou metodu. Za předpokladu, že v poslední rovnosti získáme odkud Za předpokladu , že získáme , že je předpoklad nezávisle a získáme systém $x=-2,$ $45A=135,$ $A=3.$ $x=1,$ $6B=6,$ $B=1.$ $x=0$ $x=-1,$

\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\-4C-4D+4E=-8.\\\end{array}}\right.

Odtud pojďme Systém vzniká $D=1.$ $x=2,$ $20C+4E=-52.$

\left\{{\begin{array}{rcl}-2C+2E=-2,\\20C+4E=-52,\\\end{array}}\right.

odkud _ $C=-2,$ $E=-3.$

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}} }-{\frac {2}{x-1}}+{\frac {x-3}{x^{2}+1}}.

Vlastnosti

Každý výraz, který lze získat z proměnných pomocí čtyř aritmetických operací, je racionální funkcí. $x_1,\tečky,x_n$
Množina racionálních funkcí je uzavřena aritmetickými operacemi a operací složení a je také polem , pokud koeficienty polynomů patří do nějakého pole.

Vlastní zlomky

Jakýkoli racionální zlomek polynomů s reálnými koeficienty lze reprezentovat jako součet racionálních zlomků, jejichž jmenovateli jsou výrazy ( - reálný kořen ) nebo (kde nemá reálné kořeny), a stupeň není větší než násobek odpovídající kořeny v polynomu . Na základě tohoto tvrzení je založena věta o integrovatelnosti racionálního zlomku. Podle něj lze do elementárních funkcí integrovat jakýkoli racionální zlomek, což činí třídu racionálních zlomků v matematické analýze velmi důležitou. $(xa)^{k}$ $A$ $Q(x)$ $(x^{2}+px+q)^{k}$ $x^{2}+px+q$ $k$ $Q(x)$

Souvisí to s metodou extrahování racionální části v primitivním členu z racionálního zlomku , kterou navrhl v roce 1844 M. V. Ostrogradsky [11] .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics , vol. 2, 1979 , st. 387.
↑ Privalov I. I. Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné, 2009 , str. 226.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kurosh A. G. Kurz vyšší algebry, 2021 , str. 161-165.
↑ 1 2 3 4 Encyklopedie matematiky , díl 4, 1984 , sv. 917-918.
↑ Mathematical Encyclopedia , vol. 2, 1979 , st. 426.
↑ Kurosh A. G. Course of Higher Algebra, 2021 , str. 141-142.
↑ Zorich V. A. Matematická analýza. Část I, 2019 , str. 292-295.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variable, 1971 , s. 50-51.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variable, 1971 , s. 62-63.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Functions of a complex variable, 1971 , s. 125.
↑ M. Ostrogradskij. De l'integration des zlomky rationelles . — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Academie impériale des sciences de Saint-Petersbourg. - 1845. - Sv. IV. — plk. 145-167, 286-300.

Literatura

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funkce komplexní proměnné. operační kalkul. Teorie stability. M.: Nauka, 1971. 255 s., 77 vyobrazení, bibl. 15 titulů.
Kurosh A. G. Kurz vyšší algebry: učebnice pro univerzity. 22. vyd., ster. Petrohrad: Lan, 2021. 431 s.: nemocný. ISBN 978-5-8114-6851-5 .
Matematická encyklopedie : Ch. vyd. I. M. Vinogradov , díl 2 D-Koo. M .: "Sovětská encyklopedie", 1979. 1104 stb., Ill.
Matematická encyklopedie : Ch. vyd. I. M. Vinogradov , díl 4 Ok-Slo. M .: "Sovětská encyklopedie", 1984. 1216 stb., Ill.
Privalov II Úvod do teorie funkcí komplexní proměnné: učebnice. 15. vyd., ster. Petrohrad: Lan, 2009. 432 s.: nemocný. ISBN 978-5-8114-0913-6 .
Zorich V. A. Matematická analýza. Část I. 10. vyd., Rev. M.: MTsNMO, 2019. xii + 564 s., ill. 65, bibl. 54 titulů 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (část I).