Bialgebra

Bialgebra je vektorový prostor nad polem , který je jak jednotnou asociativní algebrou , tak koasociativní koalgebrou , takže algebraické a koalgebraické struktury jsou konzistentní. Jmenovitě, comultiplikace a counit jsou jednotkové homomorfismy algebry nebo ekvivalentně algebrické násobení a jednotka jsou morfismy koalgebry (tyto výroky jsou ekvivalentní, protože jsou vyjádřeny stejnými komutativními diagramy ).

Homomorfismus bialgebry je lineární zobrazení , které je jak homomorfismem odpovídajících algeber, tak koalgeber. Ze symetrie komutativních diagramů je vidět, že definice bialgebry je samoduální , takže pokud je možné definovat duální prostor k vektorovému prostoru, na kterém je bialgebra postavena (což je vždy možné, pokud je konečný -rozměrný), pak je to automaticky bialgebra.

Definice

Bialgebra s násobením , jednotou , násobením a součtem nad polem je algebraická struktura, která má následující vlastnosti: $(B,\nabla ,\eta ,\Delta ,\epsilon )$ $\nabla$ $\eta$ $\Delta$ $\epsilon$ $K$

$B$ je vektorový prostor nad polem ; $K$
dané násobení, tj. lineární zobrazení : nad polem (nebo ekvivalentně, multilineární zobrazení : nad polem ) a jednotka, tj. lineární zobrazení : , takže je to jednotková asociativní algebra ; $\nabla$ $B\otimes B\rightarrow B$ $K$ $\nabla$ $B\times B\rightarrow B$ $K$ $\eta$ $K\rightarrow B$ $(B,\nabla ,\eta )$
dané násobení, to je, lineární zobrazení : přes pole , a counit, to je, lineární zobrazení : , tak to je counital coasociative coalgebra ; $\Delta$ $B\rightarrow B\otimes B$ $K$ $\epsilon$ $B\rightarrow K$ $(B,\Delta ,\epsilon )$
jsou splněny podmínky kompatibility vyjádřené následujícími komutativními diagramy :

násobení a násobení jsou konzistentní [1] $\nabla$ $\Delta$ kde : je lineární zobrazení definované jako pro všechny a v , $\tau$ $B\otimes B\rightarrow B\otimes B$ $\tau (x\otimes y)=y\otimes x$ $X$ $y$ $B$
násobení a sčítání souhlasili $\nabla$ $\epsilon$
multiplikace a jednota jsou v souladu [2] $\Delta$ $\eta$
dohodnutá jednotka a jednota $\eta$ $\epsilon$

Poznámky

↑ Dăscălescu, Năstăsescu a Raianu. Hopf Algebras: Úvod . - 2001. - S. 147 & 148. Archivováno 25. září 2021 na Wayback Machine
↑ Dăscălescu, Năstăsescu a Raianu. Hopf Algebras: Úvod . - 2001. - S. 148. Archivováno 25. září 2021 na Wayback Machine

Odkazy

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: An Introduction , sv. 235 (1. vyd.), Čistá a aplikovaná matematika, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .