Bialgebra
Bialgebra je vektorový prostor nad polem , který je jak jednotnou asociativní algebrou , tak koasociativní koalgebrou , takže algebraické a koalgebraické struktury jsou konzistentní. Jmenovitě, comultiplikace a counit jsou jednotkové homomorfismy algebry nebo ekvivalentně algebrické násobení a jednotka jsou morfismy koalgebry (tyto výroky jsou ekvivalentní, protože jsou vyjádřeny stejnými komutativními diagramy ).
Homomorfismus bialgebry je lineární zobrazení , které je jak homomorfismem odpovídajících algeber, tak koalgeber. Ze symetrie komutativních diagramů je vidět, že definice bialgebry je samoduální , takže pokud je možné definovat duální prostor k vektorovému prostoru, na kterém je bialgebra postavena (což je vždy možné, pokud je konečný -rozměrný), pak je to automaticky bialgebra.
Definice
Bialgebra s násobením , jednotou , násobením a součtem nad polem je algebraická struktura, která má následující vlastnosti:
- je vektorový prostor nad polem ;
- dané násobení, tj. lineární zobrazení : nad polem (nebo ekvivalentně, multilineární zobrazení : nad polem ) a jednotka, tj. lineární zobrazení : , takže je to jednotková asociativní algebra ;
- dané násobení, to je, lineární zobrazení : přes pole , a counit, to je, lineární zobrazení : , tak to je counital coasociative coalgebra ;
- jsou splněny podmínky kompatibility vyjádřené následujícími komutativními diagramy :
- násobení a násobení jsou konzistentní [1]
kde : je lineární zobrazení definované jako pro všechny a v ,
- násobení a sčítání souhlasili
- multiplikace a jednota jsou v souladu [2]
- dohodnutá jednotka a jednota
Poznámky
- ↑ Dăscălescu, Năstăsescu a Raianu. Hopf Algebras: Úvod . - 2001. - S. 147 & 148. Archivováno 25. září 2021 na Wayback Machine
- ↑ Dăscălescu, Năstăsescu a Raianu. Hopf Algebras: Úvod . - 2001. - S. 148. Archivováno 25. září 2021 na Wayback Machine
Odkazy
- Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: An Introduction , sv. 235 (1. vyd.), Čistá a aplikovaná matematika, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .