Mřížka (algebra)

Mříž (dříve se používal termín struktura ) je částečně uspořádaná množina , ve které má každá dvouprvková podmnožina jak přesnou horní (sup), tak přesnou dolní (inf) hranici . To implikuje existenci těchto ploch pro jakékoli neprázdné konečné podmnožiny.

Příklady

množina všech podmnožin dané množiny seřazená podle inkluze; například: , ; $\sup\{\{x\},\{x,y\}\}=\{x,y\},\inf\{\{x\},\{x,y\}\} =\{x\}$ $\sup\{\{x\},\{y,z\}\}=\{x,y,z\},\inf\{\{x\},\{y,z\} \}=\emptyset$
jakákoli lineárně uspořádaná množina ; a jestliže , pak ; $a\leqslant b$ $\sup(a,b)=b,\inf(a,b)=a$
množina všech podprostorů vektorového prostoru uspořádaných inkluzí, kde je průnik a je součtem odpovídajících podprostorů; $\inf$ $\nahoru$
množina všech nezáporných celých čísel uspořádaných podle dělitelnosti : pokud pro některé . Zde - nejmenší společný násobek a - největší společný dělitel těchto čísel; $a\leqslant b$ $b=ac$ $C$ $\nahoru$ $\inf$
reálné funkce definované na segmentu [0, 1] uspořádané podle podmínky if for all . Tady $f\leqslant g$ $f(t)\leqslant g(t)$ $t\in [0,1]$

\sup(f,g)=u

, kde .

u(t)=\max(f(t),g(t))

Algebraická definice

Svaz lze také definovat jako univerzální algebru se dvěma binárními operacemi (označují se a nebo + a ∙) splňující následující identity $\vee$ $\klín$

$a\vee a=a$
$a\wedge a=a$ ( idempotence )
$a\vee b=b\vee a$
$a\wedge b=b\wedge a$ ( komutativnost )
$(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$
$(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$ ( asociativita )
$a\wedge (a\vee b)=a$
$a\vee (a\wedge b)=a$ ( absorpce ).

Spojení mezi těmito dvěma definicemi je vytvořeno pomocí vzorců:

a\vee b=\sup(a,b)

a\wedge b=\inf(a,b)

a zpět. Kromě toho jsou pro všechny prvky a následující prohlášení ekvivalentní: $A$ $b$

a\leqslant b

;

a\wedge b=a

;

a\vee b=b

Koncepty izomorfismu svazů jako univerzální algebry a jako částečně uspořádané množiny se shodují. Libovolná izotonová mapa svazu k mříži však nemusí být homomorfismem těchto svazů jako univerzálních algeber. $R$ $R'$

Podmříže

Podmřížka je podmnožina prvků mřížky, která je uzavřena pod operacemi a . Příklady podsvazků jsou libovolná jednoprvková podmnožina svazu, ideal , filter , interval . $+$ $\cdot$

Podmřížka se nazývá konvexní , pokud vyplývá z a to . Všechny podmřížky výše jsou konvexní. $A$ $a,b\in A$ $a<c<b$ $c\in A$

Jakákoli podmnožina prvků řetězce je jeho podmřížkou (ne nutně konvexní). Všechny podmřížky dané mřížky, uspořádané podle inkluzního vztahu, tvoří mřížku.

Historie

Vzhled pojmu "mřížka" se vztahuje k polovině XIX století. Jasně ji formuloval R. Dedekind v dílech z let 1894 a 1897 . Termín „mříž“, přeložený jako „struktura“, zavedl Birkhoff v roce 1933 . V současné době je v ruské terminologii (kvůli nejednoznačnosti slova „struktura“) nahrazen překladem „mříž“. Historicky je role teorie svazů vysvětlována skutečností, že mnoho faktů týkajících se množiny ideálů kruhu a množiny normálních podgrup grupy vypadá podobně a lze je dokázat v rámci teorie Dedekindových svazů . Jako nezávislá větev algebry vznikla tato teorie ve 30. letech 20. století. Nejdůležitější třídy svazů, kromě Dedekindových, jsou úplné svazy , distributivní svazy a Booleovy algebry .

Příklady uspořádaných množin, které nejsou mřížemi

Diskrétní pořadí - jakékoli dva různé prvky jsou nesrovnatelné - bude mřížkou pouze v případě, že existuje pouze jeden prvek.
Dělitelé 36 bez 6 jsou {1, 2, 3, 12, 18, 36}. 2 a 3 nemají přesnou horní plochu a 12 a 18 nemají přesnou spodní plochu.

Viz také

Odkazy

Monografie dostupné zdarma na internetu:

Burris, Stanley N., H. P. Sankappanavar . Kurz univerzální algebry. — Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2 .
Peter Jeepsen, Henry Rose . Varieties of Lattices - Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8 .

Elementární texty pro ty, kteří mají malou matematickou kulturu:

Thomas Donnellan . Teorie mřížky. - Pergamon, 1968.
G. Gratzer . Teorie svazů: První pojmy a distributivní svazy. — W. H. Freeman, 1971.

Obvyklé úvody k tématu, poněkud složitější než výše uvedené:

BA Davey, HA Priestley . Úvod do mřížek a řádu. — Cambridge University Press , 2002.

Pokročilé monografie:

Garrett Birkhoff . Teorie mřížky. — 3. vyd. sv. 25 publikací kolokvia AMS. Americká matematická společnost, 1967.
Robert P. Dilworth, Peter Crawley . Algebraická teorie svazů. - Prentice-Hall, 1973. ISBN 978-0-13-022269-5 .

O volných mřížkách:

R. Freese, J. Ježek, J. B. Národ . Volné mříže. — Matematické přehledy a monografie sv. 42 Mathematical Association of America , 1985.
PT Johnstone . kamenné prostory. - Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press, 1982.

Literatura

Birkhoff G. Teorie struktur / Per. z angličtiny. - M., 1952;
Skornyakov L. A. Prvky teorie struktur. - M., 1970;
Zhitomirsky G. I. Uspořádané sady a mříže. - Saratov, 1981;
Gretzer G. Obecná teorie svazů / Per. z angličtiny. - M., 1982.