Viskozitní roztok

Viskózní roztok je určitý typ slabého řešení parciální diferenciální rovnice , nebo spíše degenerované eliptické rovnice.

Definice

Degenerovaná eliptická rovnice

Parciální diferenciální rovnice

F(x,u,Du,D^{2}u)=0

zadané v doméně , je degenerované eliptické , pokud pro jakékoli dvě symetrické matice a takové , že jejich rozdíl je kladně definitní , a jakékoli hodnoty , a nerovnost $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ $X$ $Y$ $YX$ $x\in \Omega$ $u\in \mathbb {R}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n))$

F(x,u,p,X)\geqslant F(x,u,p,Y).

Příklady

Laplaceova rovnice $-\Delta u=0$ .
Jakákoli rovnice prvního řádu .

Viskózní roztok

Horní semispojitá funkce definovaná v se nazývá podřešení viskozity této rovnice, pokud pro jakýkoli bod a jakoukoli hladkou funkci , například v nějakém sousedství , platí následující nerovnost: $u$ $\Omega$ $x_{0}\in \Omega$ $\phi$ $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ $\phi \geqslant u$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\leqslant 0.

Podobně nižší semispojitá funkce definovaná v se nazývá viskozitní řešení této rovnice, pokud pro jakýkoli bod a jakoukoli hladkou funkci tak, že a v nějakém okolí , platí následující nerovnost : $u$ $\Omega$ $x_{0}\in \Omega$ $\phi$ $\phi (x_{0})=u(x_{0})$ $\phi \leqslant u$ $x_{0}$

F(x_{0},\phi (x_{0}),D\phi (x_{0}),D^{2}\phi (x_{0}))\geqslant 0.

Spojitá funkce je viskozitní řešení degenerované eliptické rovnice, pokud je podřešením a přeřešením zároveň. $u$

Historie

Termín se poprvé objevuje v práci Crandalla a Lyonse v roce 1983 [1] pro řešení Hamilton-Jacobiho rovnice . Definici ve skutečnosti dal Evans dříve v roce 1980. [2] Definice byla upřesněna ve společné práci všech tří. [3]

Odkazy

↑ Crandall, Michael G. & Lions, Pierre-Louis (1983), Viskozitní řešení Hamilton-Jacobiho rovnic , Transactions of the American Mathematical Society vol . 277 (1): 1–42, ISSN 0002-9947 , DOI 10.299343/1
↑ Evans, Lawrence C. (1980), O řešení určitých nelineárních parciálních diferenciálních rovnic metodami akretivních operátorů , Israel Journal of Mathematics T. 36 (3): 225–247, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF02762047
↑ Crandall, Michael G.; Evans, Lawrence C. & Lions, Pierre-Louis (1984), Některé vlastnosti viskozitních řešení Hamilton-Jacobiho rovnic , Transactions of the American Mathematical Society vol. 282 (2): 487–502, ISSN 0002-9947 , DOI 10.2307 /1999247

Literatura

T. A. Belkina, Yu. M. Kabanov. Viskozitní řešení integro-diferenciálních rovnic pro pravděpodobnost nezruinování // TVP. - 2015. - T. 60 , č. 4 . — S. 802–810 . doi : 10.4213 / tvp5036 . (Ruština)