Metoda Greenovy funkce

Metoda Greenovy funkce - metoda řešení lineární diferenciální rovnice , umožňuje nalezením Greenovy funkce odpovídající operátoru této rovnice téměř přímo získat konkrétní řešení. Účinnost je dána možností zápisu Greenovy funkce v explicitní podobě.

Řešení pomocí Greenovy funkce se používá v okrajových úlohách pro rovnice eliptického typu [1] .

Ve fyzice metoda nachází uplatnění při řešení problému reakce fyzikálního systému na vnější vliv, který jej vyvede z rovnováhy. V souladu s principem kauzality je stav systému zcela určen jeho prehistorií. K hledání stavu systému v daném okamžiku je tedy potřeba vyřešit evoluční problém a v něm vznikající diferenciální rovnice.

Je-li odchylka soustavy od rovnovážného stavu malá, pak jsou malé i nelineární členy příslušné expanze, což znamená, že reakci soustavy lze studovat v rámci lineárních rovnic. Protože se základní stav většiny uvažovaných systémů s časem nemění, výsledné rovnice mají konstantní koeficienty.

Rovnice s konstantními koeficienty

Jednorozměrná rovnice n-tého řádu

Pokud pro, obecně, polynomiální diferenciální operátor:

L=a_{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dt^{ n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {d}{dt}}+a_{0}

vzhledem k rovnici:

Lx(t)=\phi (t)\qquad

pak je Greenova funkce operátoru určena řešením: $G$ $L$

LG(t,t')=\delta (tt')

kde je funkce Dirac delta . Protože nezávisí na čase, tvar rovnice se během výměny nemění (je dodržena homogenita v čase), proto Greenova funkce závisí na jednom parametru: . $\delta$ $a_{i}$ $t\rightarrow tt'$ $G(t,t')\equiv G(tt')$

Podle vlastností delta funkce platí rovnost:

\int LG(tt')\phi (t')\,dt'=\int \delta (tt')\phi (t')\,dt'=\phi (t)

Poté, když se uvažuje za předpokladu, že počáteční podmínky jsou zapomenuty v nekonečném čase, je přímou substitucí ověřeno, že řešení rovnice bude: $t\in (-\infty ,\infty )$

x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }dt'\,G(tt')\phi (t')

Greenova funkce tak pro daný okamžik určuje vliv „dopadového“ dopadu na systém, který v daném okamžiku prošel . $t$ $t'$

Greenovu funkci však lze volit nejednoznačně, až do řešení homogenní (s nulovou pravou stranou) dané rovnice. Princip kauzality říká, že systém reaguje na dopad aplikovaný v minulosti , ale ne v budoucnosti . Tedy v . $G(t,t')=0$ $t<t'$

Toto omezení je označeno Heavisideovou funkcí a Greenova funkce se hledá ve tvaru: $\theta (t)$

G(t)=\theta (t)f(t)

kde je řešení dané homogenní rovnice a závisí na konstantách. $f(t)$ $n-1$

V případě, že není degenerovaný, bude vypadat takto: $L$ $f(t)$

f(t)=\sum _{i}b_{i}\exp(-z_{i}t)

Vzhledem k vlastnostem delta funkce a jejích derivátů, stejně jako určité symetrii Newtonova binomu :

\int dt{\Big (}\theta (t)f(t){\Big )}^{(n)}=f^{(n-1)}(0)+\int dt\, \theta (t)f(t)

Vede to k:

\int dt\,LG(t)=\int dt\,\delta (t)\;\Leftrightarrow \;\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}f ^{(k)}(0)=1

Protože se členy, které splňují danou homogenní rovnici, ruší, pak:

{\frac {d^{(n-1)}}{dt^{(n-1)))}f(0)=1/a_{n};\;{\frac {d^{ (k)}}{dt^{(k)}}}f(0)=0,\;k=0,1,\ldots ,n-2

V tomto případě je již možné najít funkci Greena jednoznačně.

Pokud předpokládáme, že pro dobu , kdy vývoj systému začal, byly nastaveny počáteční podmínky, pak bude rovnice přepsána: $t=0$

Lx(t)=\phi (t)+\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)\delta ^{(n-1-k)} (t)

Pak:

x(t)=\sum _{k=0}^{n-1}x^{(k)}(0)G^{(nk-1)}(t)+\int _{0 }^{t}dt'\,G(tt')\phi (t)

pouze poslední termín je zde vynucené rozhodnutí způsobené vnějším vlivem.

Vícerozměrná rovnice 1. řádu

Níže uvažujeme lineární rovnici pro vektorovou veličinu , kde je matice , která určuje dynamiku systému: ${\bold symbol {y}}$ ${\hat {\Gamma ))$

{\dot {\boldsymbol {y}}}(t)+{\hat {\Gamma }}{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {\chi }}(t)

Uvažovaná rovnice tého řádu pro skalární veličinu je redukována do tohoto tvaru . K tomu musíme předpokládat, že: $n$ $X$

{\boldsymbol {y}}_{i}(t)=x^{(i-1)}(t)

pro číslování komponent začínající jednotkou.

Podobně jako v předchozím případě je řešení zapsáno takto:

{\boldsymbol {y}}(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,{\hat {G}}(tt'){\boldsymbol {\chi }}( t')

Greenova funkce, která splňuje podmínku:

\left({\frac {d}{dt}}+{\hat {\Gamma }}\right){\hat {G}}(t)={\hat {1}}\,\delta (t)

se hledá ve tvaru:

{\hat {G}}(t)=\theta (t)\exp(-{\hat {\Gamma }}t)

Je obvyklé uvažovat exponent matice při přechodu na vlastní základ operátora , kde je buď diagonální , nebo obsahuje Jordanovy buňky (v případě degenerovaných vlastních čísel ). ${\hat {\Gamma ))$

Laplaceova transformace

Laplaceova transformace evoluční rovnice umožňuje redukovat postup řešení na integraci v komplexní rovině .

Bude napsána transformace for pro polynomiální operátor $LG(t)=\delta (t)$ $L$

{\mathcal {L}}\left\{LG(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{\delta (t)\right\}\;\Leftrightarrow \;L (s){\widetilde {G}}(s)=1\;\Rightarrow \;{\widetilde {G}}(s)={\frac {1}{L(s)))

Kde , a je polynom odpovídající operátoru , obsahující n-tý stupeň s namísto n-té derivace. ${\widetilde {G}}(s)={\mathcal {L}}\{G(t)\}$ $L(s)$ $L$

Důkaz

Stačí uvažovat výraz pro n-tou derivaci funkce G

\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)

Kde je malý parametr podstatný pro delta funkci na pravé straně uvažované rovnice $\varepsilon$

Po rozebrání po částech, s přihlédnutím k tomu, že necelé členy na hranicích jsou rovny nule (na nižším z důvodu kauzality), bude integrál zapsán

\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)=0+ p\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n-1}}{dt^{n-1}}}G(t)

Opakování postupu nkrát vede k

\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}G(t)=p^ {n}\int _{-\varepsilon }^{\infty }dt\,e^{-pt}G(t)=p^{n}{\mathcal {L}}\left\{G(t) \že jo\}

■

Pak podle vlastnosti Laplaceovy transformace pro konvoluci :

${\tilde {x}}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int dt\,G(tt')\phi (t)\right\}={\frac {{ \tilde {\phi }}(s)}{L(s)}}$

Kde jsou Laplaceovy transformace pro, resp. ${\tilde {x}}(y),\,{\tilde {\phi }}(y)$ $x(t),\,\phi (t)$

Po obrácené transformaci:

$x(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }ds\,e^{st}{\frac {{ \tilde {\phi }}(s)}{L(s)}}$

Integrál, zejména díky schopnosti posunout obrys doleva, je považován za použití věty o zbytku . Laplaceova transformace tedy naznačuje přímou cestu k nalezení vynuceného řešení. Popsané platí také pro vícerozměrnou rovnici s poznámkou, že musíte použít maticovou funkci .

Časově nehomogenní rovnice

Pokud systém není v rovnováze, pak se jeho stav mění s časem, což je vyjádřeno v časové závislosti koeficientů. To znamená, že Greenova funkce závisí na obou proměnných:

LG(t,t')=\delta (tt')

a řešení pro:

G(tt')=\theta (tt')\exp(-\gamma t)

přepsat:

G(t,t')=\theta (tt')\exp \left[-\int _{t'}^{t}d\tau \,\gamma (\tau )\right]

Při konstantě nabývá rovnice původního tvaru. $\gamma$

V případě vektorové rovnice:

{\dot {\boldsymbol {y}}}+{\hat {\Gamma }}(t){\boldsymbol {y}}={\boldsymbol {\chi }}(t)

matice v různých časech, obecně řečeno, nekomutují, takže řešení lze zapsat pomocí chronologicky uspořádaného exponentu : ${\hat {\Gamma ))$

G(t,t')=\theta (tt')\,\mathrm {T} \exp \left[-\int _{t'}^{t}d\tau \,{\hat { \Gamma }}(\tau )\right]

Poznámky

↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Rovnice matematické fyziky, 2004 , §5.7.

Literatura

Kolokolov I.V., Lebeděv V.V. Vybrané kapitoly z matematické fyziky. S. 6-11, 13
Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Rovnice matematické fyziky. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .