Základní věta o zbytcích

Základní věta o zbytcích je mocný nástroj pro výpočet integrálu meromorfní funkce přes uzavřený obrys. Často se také používá k výpočtu reálných integrálů. Jde o zobecnění Cauchyovy integrální věty a Cauchyho integrální formule .

Tvrzení: je-li funkce analytická v nějaké uzavřené jednoduše spojené doméně , s výjimkou konečného počtu singulárních bodů , z nichž žádný nepatří k hraničnímu obrysu , pak platí následující vzorec: $F$ $\overline G\subset {\mathbb C}$ $a_{1},a_{2},\tečky ,a_{n}$ $\část G$

~\int \limits _{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{z =a_{k}}f(z),

kde je zbytek funkce v bodě . ${\mathop {{\mathrm {res}}}}_{{z=a_{k}}}f$ $F$ $a_{k}$

Smyčka se projíždí proti směru hodinových ručiček. Pro použití věty při výpočtu reálných integrálů je nutné analyticky rozšířit integrovatelnou reálnou funkci do komplexní roviny a najít její zbytky, což je obvykle poměrně jednoduché. Poté je nutné integrační obrys uzavřít přidáním k reálnému segmentu půlkruhu ležícího v horní nebo dolní komplexní polorovině. Poté lze pomocí hlavní věty o zbytku vypočítat integrál přes tento obrys. Integrál nad půlkruhem může mít často sklon k 0, když jej vyberete správným způsobem, poté se integrál obrysu rovná skutečnému. $\část G$

Příklad

Integrální

~\int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx

vzniká v teorii pravděpodobnosti při výpočtu charakteristické funkce Cauchyho rozdělení a nelze jej vypočítat konvenčními metodami. Vypočítejme to pomocí integrálu přes obrys naznačený na obrázku ( ). Integrál je $C$ $a>1$

~\int \limits _{C}{f(z)}\,dz=\int \limits _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.

Protože je celá funkce (v komplexní rovině nejsou žádné singularity ), funkce má singularity pouze v bodech, kde . Protože je to možné pouze pomocí nebo . Pouze jeden z těchto bodů leží uvnitř obrysu. $e^{{itz}}$ $z^{2}+1=0$ $z^{2}+1=(z+i)(zi)$ $z=i$ $z=-i$

${\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}$	${}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{zi}}-{\frac {1}{z+i}}\right)$
	${}={\frac {e^{itz}}{2i(zi)))-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i))),$