Meromorfní funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. června 2018; kontroly vyžadují 5 úprav .

Meromorfní funkce (z řeckého μέρος - „část“ a μορφή - „forma“) jedné komplexní proměnné v oblasti (nebo na Riemannově povrchu ) je holomorfní funkce v oblasti , která má pól v každém singulárním bodě (tedy , izolovaný bod množiny , který nemá žádné limitní body v , a ). $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $F$ ${\displaystyle P\zpětné lomítko \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \))$ $a_{i}$ $a_{i}$ $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ $P$ $\lim _{{z\to a_{i}}}|f(z)|=\infty$

Definice

Reálná meromorfní funkce je dána trojicí , kde je kompaktní Riemannův povrch , je antiholomorfní involuce (involuce komplexní konjugace) a je mapou Riemannovy koule ( ). Navíc musí splňovat podmínku pro všechny Každá reálná funkce je sestrojena z nějaké reálné algebraické funkce: každý polynom s reálnými koeficienty je skutečnou meromorfní funkcí. Množinu pevných bodů involuce tvoří jednoduché párové neprotínající se uzavřené obrysy (ovály). Pokud je připojena (odpojena), pak se křivka nazývá neoddělující (oddělující). Reálná meromorfní funkce transformuje ovál reálné křivky na obrys , kde Stupeň mapování je definován jako index funkce na oválu - absolutní hodnota stupně $(P,\tau ,f),$ $P$ $\tau :P\to P$ $f:P\to {\hat {\mathbb {C} }}$ ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $\tau \circ f={\overline {f(z)))$ $z\in P.$ $p(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n},$ $a_{i}(z)\in \mathbb {R} ,$ $P^{\tau }\subset P$ $\tau$ ${\displaystyle P\setminus P^{\tau ))$ $F$ $A$ $(P,\tau )$ ${\hat {\mathbb {R} }}\subset S,$ ${\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \infty .$ $f(a)\subset {\mathbb {R} }$ $f|_{a}:a\to \mathbb {\hat {R)) .$ $(P,\tau ,f)$ ${\displaystyle a\in P^{\tau ))$ $f|_{a}.$

Prostor reálných meromorfních funkcí sestává z počitatelného počtu spojených komponent, kde každá komponenta je neuzavřená konečná-dimenzionální reálná varieta a je odlišena specifikací celočíselných topologických invariantů . Například stupeň zobrazení a rod křivky jsou invarianty Topologický typ funkce je množina čísel ( ), kde je počet listů krytiny , množina je množina indexů funkcí na oválech , a je číslo rovné 1 pro oddělující křivky a 0 pro neoddělující křivky. [jeden] $n$ $F$ $G$ $P.$ $(P,\tau ,f)$ $g,n,\varepsilon \,|\,I$ $n$ $F,$ $I=(i_{1},...,i_{k})$ $(P,\tau ,f)$ $\varepsilon$

Množina všech meromorfních funkcí na doméně je polem vzhledem k obvyklým bodovým operacím s následným rozšířením v odstranitelných singularitách. $M(P)$ $P$

Vlastnosti

Poměr jakéhokoli holomorfního ve funkcích a , je meromorfní funkce v . $\varphi /\psi$ $P$ $\varphi$ $\psi$ $P$
Naopak, jakákoli meromorfní funkce v doméně (a na nekompaktním Riemannově povrchu ) může být reprezentována jako , kde a jsou holomorfní a nemají společné nuly v . $P\subset \mathbb {C}$ $P$ $\varphi /\psi$ $\varphi$ $\psi$ $P$

Na nekompaktním Riemannově povrchu se tedy pole shoduje s polem kvocientů kruhu holomorfních funkcí v . $M(P)$ $P$

Každá meromorfní funkce definuje spojité zobrazení z domény do Riemannovy koule , což je holomorfní zobrazení s ohledem na standardní komplexní strukturu . $f\in M(P)$ $F$ $P$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}={\mathbb C}P^{1}$
Naopak, jakékoli holomorfní mapování definuje meromorfní funkci na . V tomto případě se sada pólů shoduje s diskrétní sadou . ${\displaystyle f:P\to \mathbb {C} \cup \{\infty \))$ $F$ $P$ $F$ $f^{{-1}}(\infty)$

Meromorfní funkce jedné komplexní proměnné lze tedy identifikovat s holomorfními zobrazeními na Riemannově sféře.

Na každé nekompaktní Riemannově ploše existuje meromorfní funkce s danými póly a v každém z nich daná hlavní část Laurentova rozkladu ( Mittag-Lefflerova věta o rozkladu meromorfní funkce ). $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$
Na kompaktním Riemannově povrchu (například na anuloidu ) je tento problém obecně neřešitelný - jsou nutné další podmínky pro lícování hlavních dílů.

Viz také

Dedukce

Poznámky

↑ S. M. Natanzon, Reálné meromorfní funkce na reálných algebraických křivkách, Dokl. AN SSSR, 1987, ročník 297, číslo 1, 40–43.

Odkazy

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka . - 1969, 577 stran.