Morerova věta

Morerova věta je obrácením (neúplným) Cauchyho integrální věty a je jedním ze základních teorémů v teorii funkcí komplexní proměnné . Lze to formulovat takto:

Pokud je funkce komplexní proměnné v oblasti spojitá a její integrál přes jakýkoli uzavřený rektifikovatelný obrys je roven nule, tj. $f(z)$ $z$ $D$ $\Gamma \subset D$

\oint \limits _{\Gamma }f(z)\,dz=0,

pak je analytická funkce v . $f(z)$ $D$

Podmínka věty může být oslabena tím, že se omezíme na požadavek, aby integrály vzaté podél hranice jakéhokoli trojúhelníku patřícího do oblasti zmizely . $D$

Myšlenka důkazu

Důkaz je založen na skutečnosti, že funkce, která splňuje podmínky věty, bude mít primitivní derivaci v , tj. existuje funkce taková, že $D$ $F(z)$

{\frac {dF(z)}{dz}}=f(z).

Ale funkce komplexně diferencovatelná jednou je analytická, takže její derivace bude také analytická. $F$

Aplikace

Morerova věta je hlavním způsobem, jak dokázat analytičnost nějaké komplexně definované funkce. Jedním z ústředních tvrzení zde je, že pokud posloupnost analytických funkcí konverguje rovnoměrně k funkci , pak $f_n$ $F$

\oint \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint f_{n}(z)\,dz=0 ,

proto podle Morerovy věty bude limitní funkce také holomorfní. Tak je dokázána holomorfie mnoha funkcí definovaných řadou a integrály, např. Riemannova zeta funkce

{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))))

a Eulerovy gama funkce

\Gamma (\alpha )=\int \limits _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}e^{-t}\,dt.

Morerova věta se také používá k prokázání analytičnosti funkce postavené na principu symetrie .

Historie

Tuto větu získal italský matematik Giacinto Morera v roce 1886 .

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka . - 1969, 577 s.

Odkazy

Weisstein, Eric W. Morera's Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .