Schwartzův princip symetrie

Formulace

Princip symetrie se aplikuje především na analytické pokračování funkcí, které jsou analytické na nějaké množině , dále nechť je množina neprázdná a na této množině funkce nabývá výhradně reálných hodnot. $\Omega \subset \mathbb {C} .$ $D=\partial \Omega \cap \mathbb {R}$

Potom je možné provést analytické pokračování funkce z množiny do větší množiny , kde , pomocí následující funkce: $F$ $\Omega$ $\Omega \cup {\overline {\Omega ))$ ${\overline {\Omega }}=\{z:{\overline {z}}\in \Omega \}$

F(z)=f(z)

z\in \Omega

F(z)={\overline {f({\overline {z))))))

z\in {\overline {\Omega ))

Pomocí principu hraničního párování lze dokázat obecnější tvrzení, které se v odborné literatuře obvykle vyskytuje pod stejným názvem.

Generalizace

Předpokládejme, že definiční obory jsou dány , dále oblouky zobecněných kružnic. Označte oblastí, která je symetrická vzhledem k , a je definována podobně . Nyní, pokud se navíc mapuje konformně na , pak jej lze analyticky rozšířit na konformní mapování na . $\Omega _{1},\Omega _{2}\subset \mathbb {C}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\subset \partial \Omega _{1},\gamma _{2}\subset \partial \Omega _{2))$ $\Omega _{1}^{*}$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ $\gamma _{1}$ $\Omega _{2}^{*}$ $F$ ${\displaystyle \Omega _{1))$ ${\displaystyle \Omega _{2))$ ${\displaystyle f(\gamma _{1})=\gamma _{2))$ $F$ $\Omega _{1}\cup \gamma _{1}\cup \Omega _{1}^{*}$ $\Omega _{2}\cup \gamma _{2}\cup \Omega _{2}^{*}$

Literatura

Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka . - 1969, 577 stran.