Funkce gama

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. května 2021; kontroly vyžadují 9 úprav .

Funkce gama je matematická funkce . Zavedl ji Leonhard Euler a funkce gama vděčí za své označení Legendre [1] .

Funkce gama je ve vědě velmi široce používána. Mezi jeho hlavní oblasti použití patří matematická analýza , teorie pravděpodobnosti , kombinatorika , statistika , atomová fyzika , astrofyzika , hydrodynamika , seismologie a ekonomie . Zejména funkce gama se používá ke zobecnění pojmu faktoriál na množiny skutečných a komplexních hodnot argumentů.

Definice

Integrální definice

Pokud je reálná část komplexního čísla kladná, pak je funkce gama definována prostřednictvím absolutně konvergentního integrálu $z$

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0

Tuto definici odvodil Legendre z původní Eulerovy definice (1730)

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{{z-1}}\,dx

změnou proměnné a dnes je to Legendreova definice, která je známá jako klasická definice funkce gama. Integrováním klasické definice po částech je snadné vidět, že . ${\displaystyle x=e^{-t))$ $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

Pro přibližný výpočet hodnot gama funkce je vhodnější třetí vzorec, také získaný z Eulerovy definice uplatněním rovnosti a změnou proměnné : $\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z$ $x=y^{2}$

\Gamma (z)={\frac {2^{z+1}}{z}}\int \limits _{0}^{1}y(-\ln {y})^{z} \,dy

Integrál v tomto vzorci konverguje k , i když se obvykle používá pro kladné reálné hodnoty argumentu (upřednostňují se hodnoty kolem 1). V případě reálného argumentu má integrand jediný singulární bod — nespojitou diskontinuitu v , a pokud je v tomto bodě rozšířen o hodnotu , stane se spojitým na celém intervalu . Integrál je tedy vlastní číslo, což zjednodušuje numerickou integraci . $\mathrm {Re} (z)>-1$ $z>0$ $y=0$ $0$ $[0; jeden]$

Existuje přímé analytické pokračování původního vzorce na celou komplexní rovinu , s výjimkou celých čísel, nazývaných Riemann- Hankelův integrál:

\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi z}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,z-1}e^{ -t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} .

Kontura je zde jakákoli kontura v komplexní rovině, která prochází kolem bodu proti směru hodinových ručiček, jehož konce jdou do nekonečna podél kladné reálné osy. $L$ $t = 0$

Následující výrazy slouží jako alternativní definice funkce gama.

Gaussova definice

Platí pro všechna komplexní čísla kromě 0 a záporných celých čísel. $z$

\Gamma (z)=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n-1)}},\quad z\in {\mathbb {C}}\setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.

Eulerova definice

\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n} }\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n)))),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,- 1,-2,\ldots\}.

Definice podle Weierstrasse

\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{- 1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

kde je Euler-Mascheroniho konstanta [1] . $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\cca 0,57722$

Poznámka: někdy se používá alternativa, tzv. funkce pi , která je zobecněním faktoriálu a souvisí s funkcí gama vztahem . Právě tuto funkci (a ne funkci -funkci) používali Gauss, Riemann a mnoho dalších německých matematiků 19. století. $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\Gamma$

Vlastnosti

Pro každé kladné n platí následující:

\Gamma (n+1)=n!

Hlavní vlastností funkce gama je její rekurzivní rovnice

\Gamma (z+1)=z\Gamma (z),

který za pevné počáteční podmínky jednoznačně definuje logaritmicky konvexní řešení, tedy samotnou funkci gama ( teorém o jedinečnosti ) [2] .

Pro funkci gama platí Eulerův doplněk:

\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}

Platí také vzorec Gaussova násobení:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^ {{{\frac {1}{2}}-nz}}\cdot (2\pi )^{{{\frac {n-1}{2}}}}\Gamma (nz),

Speciální případ tohoto vzorce pro n=2 získal Legendre:

\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\ Gamma(2z).

Funkce gama nemá v celé komplexní rovině žádné nuly. je meromorfní v komplexní rovině a má jednoduché póly v bodech [1] $\Gamma(z)$ $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$

Funkce gama má pól prvního řádu pro jakýkoli přirozený a nulový; srážka v tomto bodě je uvedena takto: $z=-n$ $n$

\operatorname{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}

Užitečná vlastnost, kterou lze získat z definice limity:

\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})

Funkce gama je diferencovatelná nekonečně mnohokrát a , kde , je často označována jako "funkce psy" nebo digamma funkce . Funkce gama a funkce beta spolu souvisí následujícím vztahem: $\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)$ $\psi(x)$

\Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

Logaritmus funkce gama

Z mnoha důvodů je spolu s funkcí gama často považován logaritmus funkce gama - primitivní funkce funkce digamma . Má následující integrální reprezentace:

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\right)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\left[{\frac {1}{e^{x }-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{{-xz}}}{x}}\,dx \,,\qquad \operatorname {Re}{z}>0

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\right)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,\název operátora {arctg}(x /z)\,}{e^{{2\pi x}}-1}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re}{z}>0

daný Jacquesem Binetem v roce 1839 (tyto vzorce se často nazývají první a druhý Binetův vzorec pro logaritmus funkce gama) [3] . Poněkud odlišné integrální vzorce pro logaritmus funkce gama se také objevily v práci Malmstena , Lercha a několika dalších. Malmsten tak získal vzorec podobný prvnímu Binetovu vzorci [3]

\ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\left[z-1-{\frac {1-e^{{-(z- 1)x}}}{1-e^{{-x}}}}\right]{\frac {e^{{-x}}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname { Re}{z}>0

a Lerkh ukazuje, že všechny integrály formy

\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi -1\,}{e^{ {4\pi x}}-2e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi +1}}\jméno operátora {arctg}{\frac {u}{x}}\;dx\,,\ qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u

také snížit na logaritmy funkce gama. Konkrétně vzorec podobný druhému Binetovu vzorci s "konjugovaným" jmenovatelem má následující tvar:

\ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z- {{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\!\right\}+{{\frac {1}{2}}}\ln 2\pi -\,2\!\int \ limity _{0}^{{\infty }}\!{\frac {\operatorname {arctg}{\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\big ]}}{e^{{2\pi x}}+1}}\,dx,\qquad \operatorname {Re}{z}>{\frac {1}{2}}

(viz cvičení 40 v [4] )

Kromě toho Malmsten také získal řadu integrálních vzorců pro logaritmus gama funkce obsahující hyperbolické funkce s logaritmem v integrandu (nebo ekvivalentně logaritmus logaritmu s polynomy). Zejména,

\ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\ ,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0} ^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\název operátora {ch}{x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\, ,\qquad 0<\jméno operátora {Re}z<1

(viz cvičení 2, 29-h, 30 in [4] )

Yaroslav Blagushin ukázal, že pro racionální argument , kde a jsou kladná celá čísla taková, která nepřesahuje , platí následující reprezentace: $z=k/n$ $k$ $n$ $k$ $n$

\ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{ \frac {1}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+

+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{{r=1}}^{{n-1}}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\ cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{{-nx}}\!\cdot \ln {x}\,}{\,\jméno operátora {ch}{ x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\qquad k\neq {\frac {n}{2}}

(viz příloha C [5] a také cvičení 60 a 58 [4] )

Navíc, a v obecnějších případech, integrály obsahující hyperbolické funkce s logaritmem (nebo arkustangens) v integrandu často redukují na logaritmy gama funkce a jejích derivátů , včetně komplexního argumentu, viz např. např. 4-b, 7-a a 13-b v [4] .

Logaritmus funkce gama také úzce souvisí s analytickým pokračováním zobecněné funkce zeta

\ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi

Tento nejdůležitější vztah, odvozený Lerkhem , vám umožňuje získat velké množství integrálních reprezentací pro logaritmus funkce gama pomocí známých vzorců pro zobecněnou funkci zeta .

Fourierova řada pro logaritmus funkce gama má následující tvar

\ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1 }{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{{n=1}}^({\infty }}{\frac {\sin 2\pi nx \cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1

Tento vzorec je obvykle připisován Ernstu Kummerovi , který jej odvodil v roce 1847 (v autoritativní literatuře [3] [6] [7] se tato řada dokonce nazývá Kummerova řada pro logaritmus funkce gama). Nedávno se však zjistilo, že tento vzorec získal již v roce 1842 Carl Malmsten (viz Yaroslav Blagushin [4] [8] ).

Kromě rozšíření Fourierovy řady existují další rozšíření řady. Jednou z nejznámějších je série Stirling .

\ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,} }\ln 2\pi +\součet _{{n=1}}^{N}{\frac {B_{{2n}}}{2n(2n-1)z^{{2n-1}}}} +O(z^{{-2N-1)))\,,\qquad |\arg z|<{\frac {\pi }{2))

Ve standardní verzi

\ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)

kde koeficienty znamenají Bernoulliho čísla . $B_{2n}$

Z definice funkce gama podle Weierstrasse vyplývá další důležité zobrazení [9]

\ln \Gamma (z)=-\gama z-\ln z+\součet _{{n=1}}^{\infty }\left[{\frac {z}{n}}-\ln \!\ vlevo(1+{\frac {z}{n}}\vpravo)\vpravo]

Soukromé hodnoty

Funkce gama celočíselných a polocelých argumentů je vyjádřena pomocí elementárních funkcí . Zejména

\Gamma(1)=0!=1

\Gamma(2)=1!=1

\Gamma(3)=2!=2

\Gamma(4)=3!=6

\Gamma(5)=4!=24

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \vyberte n}n!\right]

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \vyberte n}n!\right]

Hledání hodnoty funkce gama v bodech 1/4 a 1/3 bylo předmětem podrobného výzkumu Eulera, Gausse a Legendra, ale nepodařilo se jim tyto hodnoty vypočítat v uzavřené podobě [1] .

Pro Γ(1/4) existují následující reprezentace v neuzavřené podobě

\Gamma ({\tfrac 14})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{({\frac {3}{2))))}{{\mathrm {AGM))({\sqrt 2},1)}}}

\Gamma ({\tfrac 14})=(2\pi )^{({\frac {3}{4))))\prod _{{k=1))^{\infty }{\mathrm {th }}\left({\frac {\pi k}{2}}\vpravo)

\Gamma ({\tfrac 14})=A^{3}e^{{-{\frac {G}{\pi }}}}{\sqrt {\pi }}2^{{{\frac {1 }{6}}}}\prod _{{k=1}}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{{k(-1)^{ k}}}

kde AGM je aritmeticko-geometrická střední funkce , G je katalánská konstanta a A je Glaisher-Kinkelinova konstanta .

Zobecnění

V klasické integrální definici funkce gama jsou meze integrace pevně dané. Uvažuje se také neúplná gama funkce , která je definována podobným integrálem s proměnnou horní nebo dolní integrační mezí. Rozlišuje se horní neúplná funkce gama, často označovaná jako funkce gama dvou argumentů:

\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

a dolní neúplná funkce gama, podobně označená malým písmenem „gamma“:

\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

Někdy je neúplná funkce gama definována jako [10] :

I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (a)))\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t ^{a-1}\,dt}

Výpočet integrálů

Důležitou aplikací funkce Gamma je redukce integrálů následujícího tvaru na ni, kde jsou konstantní parametry $a,\alpha ,\beta$

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ beta ))}\cdot {\frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

Důkaz

Po nastavení parametru:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta })\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ beta ))}\int _{0}^{\infty }\left(a^{1/\beta }x\right)^{\alpha }\exp {\Big [}-(a^{1/\ beta }x)^{\beta }{\Big ]}\,d\left(a^{1/\beta }x\vpravo)

Diferenciální vstřikování:

a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta ))}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ={\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha +1-\beta }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ^{\beta }

A variabilní substituce:

{\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\varkappa ^{{\frac {\alpha +1}{\beta }}-1}\exp(-\varkappa )\,d\varkappa =a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\cdot {\ frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

■

Zejména pro integrály gaussovského typu, které se běžně vyskytují v aplikacích fyziky:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x^{2}/a^{2})\,dx=a^{\alpha +1}\cdot {\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{2}}\right)

A Eulerovy integrály:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x/a)\,dx=a^{\alpha +1}\cdot \Gamma \left(\alpha + 1\vpravo)

Viz také

Seznam objektů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi
K-funkce
Barnes G-funkce
funkce beta
Gamma distribuce
Neúplná funkce gama

Poznámky

↑ 1 2 3 4 Davis, PJ Leonhard Euler's Integral: Historical Profile of the Gamma Function // American Mathematical Monthly : journal . - 1959. - Sv. 66 , č. 10 . - S. 849-869 . - doi : 10.2307/2309786 . — .
↑ Kingman, JFC Konvexní vlastnost pozitivních matic // The Quarterly Journal of Mathematics : deník. - 1961. - Sv. 12 , č. 1 . - str. 283-284 . - doi : 10.1093/qmath/12.1.283 . - .
↑ 1 2 3 Harry Bateman a Arthur Erdélyi Vyšší transcendentální funkce [ve 3 svazcích] . Mc Graw-Hill Book Company, 1955.
↑ 1 2 3 4 5 Iaroslav V. Blagouchine Znovuobjevení Malmstenových integrálů, jejich vyhodnocení metodami vrstevnicové integrace a některé související výsledky. The Ramanujan Journal, sv. 35, č. 1, str. 21-110, 2014. Archivováno 12. prosince 2017 na Wayback Machine PDF Archivováno 7. května 2021 na Wayback Machine
↑ Iaroslav V. Blagouchine Věta pro hodnocení uzavřené formy první zobecněné Stieltjesovy konstanty při racionálních argumentech a některých souvisejících sumacích Journal of Number Theory (Elsevier), sv. 148, str. 537-592, 2015 . Staženo 1. 2. 2018. Archivováno z originálu 24. 9. 2015. (neurčitý)
↑ ET Whittaker a GN Watson Kurz moderní analýzy. Úvod do obecné teorie nekonečných procesů a analytických funkcí s popisem hlavních transcendentálních funkcí (třetí vydání). Cambridge v University Press, 1920.
↑ Řada HM Srivastava a J. Choi spojená se Zeta a souvisejícími funkcemi . Kluwer Academic Publishers. Nizozemsko, 2001
↑ Blagouchine, Iaroslav V. Erratum a dodatek k „Znovuobjevení Malmstenových integrálů, jejich vyhodnocení metodami vrstevnicové integrace a některé související výsledky“ // Ramanujan J. : deník. - 2016. - Sv. 42 , č. 3 . - str. 777-781 . - doi : 10.1007/s11139-015-9763-z .
↑ D.S. Kuzněcov. Speciální funkce (2. vydání). Vyšší škola, Moskva, 1965.
↑ Neúplná funkce gama - článek z Encyklopedie matematiky

Literatura a odkazy

V. Ya, Arsenin. Matematická fyzika: Základní rovnice a speciální funkce , kapitola X, ss. 225-233. Nauka, Moskva , 1966.
M. A. Evgrafov. Analytické funkce , kapitola VI, ss. 267-273. Nauka, Moskva, 1968.
M. A. Evgrafov a kol. , Sbírka problémů z teorie analytických funkcí , str. 307-316. Nauka, Moskva, 1969.
G. M. Fikhtengolts. Kurz diferenciálního a integrálního počtu (7. vyd.), kapitola XIV, ss. 750-794. Nauka, Moskva, 1969.
A. I. Markuševič. Teorie analytických funkcí (2. vyd.), díl 2, ss. 303-324. Nauka, Moskva, 1968.
N. N. Lebeděv. Speciální funkce a jejich aplikace (2. vyd.), kap. I, ss. 11-27. FM, Moskva, 1963.
A. F. Nikiforov a V. B. Uvarov. Speciální funkce matematické fyziky , ss. 263-268. Nauka, Moskva, 1978.
Pagurova V. I. Tabulky neúplné funkce gama. (Editor Ditkin V.A.). Moskva, Nakladatelství Výpočetního střediska Akademie věd SSSR, 1963. 236 s. [jeden]
R. Campbell. Aplikace Les Integres eulériennes et leurs , Dunod, Paříž, 1966.
M. Godefroy. Lafonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie , Gauthier-Villars, Paříž, 1901.
E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion , Teubner, Lipsko, 1931.
N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion , Teubner, Lipsko, 1906.

Slovníky a encyklopedie	Brockhaus a Efron Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	NDL : 00562231

↑ L. N. Bolšev, „V. I. Pagurová. Tabulky neúplné funkce gama. Recenze“, Zh. Vychisl. matematika. a mat. Fiz., 4:5 (1964), 977–978// http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=9070&option_lang=rus Archivováno 9. srpna 2021 na Wayback Machine