Gamma distribuce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. září 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Gamma distribuce
Hustota pravděpodobnosti
distribuční funkce
Označení	$\Gamma (k,\theta )$ nebo [1] $\Gamma (\alpha ,\beta )$
Možnosti	$k>0,\;\theta >0$
Dopravce	$x\in (0,\infty )$
Hustota pravděpodobnosti	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k))}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta ))))$
distribuční funkce	${\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Očekávaná hodnota	$k\theta$
Medián	Žádný explicitní uzavírací výraz
Móda	$(k-1)\theta$ v $k\geq 1$
Disperze	$k\theta ^{2}$
Koeficient asymetrie	${\frac {2}{{\sqrt {k))))$
Kurtózní koeficient	${\frac {6}{k))$
Diferenciální entropie	${\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned))$
Generující funkce momentů	${\displaystyle (1-\theta t)^{-k))$ v $t<{\frac {1}{\theta ))$
charakteristická funkce	$(1-\theta it)^{-k}$

Rozdělení gama v teorii pravděpodobnosti je dvouparametrová rodina absolutně spojitých rozdělení . Pokud parametr nabývá celočíselné hodnoty, pak se takové gama rozdělení také nazývá Erlangovo rozdělení . $k$

Definice

Nechť je rozdělení náhodné veličiny dáno hustotou pravděpodobnosti , která má tvar $X$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{{k-1}}{\frac {e^{{-x/\theta }}}{\theta ^{k} \,\Gamma (k)}},&x\geq 0\\0,&x<0\end{matrix}}\right.,

kde je Eulerova gama funkce .

\gamma (k)

Pak se říká, že náhodná veličina má gama rozdělení s kladnými parametry a . píšou . $X$ $\theta$ $k$ $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$

Komentář. Někdy se používá jiná parametrizace rodiny gama rozdělení. Nebo zadejte třetí parametr — shift.

Momenty

Matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny , která má gama rozdělení, má tvar $X$

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=k{\theta ))

\mathbb {D} [X]=k{\theta ^{2))

Vlastnosti gama distribuce

Pokud jsou nezávislé náhodné proměnné takové, že , pak $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},\theta ),\;i=1,\ldots ,n$

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta \ že jo)

Jestliže , a je libovolná konstanta, pak $X\thicksim \Gamma (k,\theta )$ $a>0$

aX\thicksim \Gamma (k,a\theta )

Rozdělení gama je nekonečně dělitelné .

Vztah s jinými distribucemi

Rozdělení gama je Pearsonovo rozdělení typu III [2] .
Exponenciální rozdělení je speciální případ gama rozdělení:

\Gamma (1,1/\lambda )\equiv \mathrm {Exp} (\lambda )

Jestliže jsou nezávislé exponenciální náhodné proměnné takové, že , pak $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda),\;i=1,\ldots ,k$

Y=\sum \limits _{i=1}^{k}X_{i}\sim \Gamma (k,1/\lambda )

Chí-kvadrát distribuce je speciální případ gama distribuce:

\Gamma \left({\frac {n}{2)),2\right)\equiv \chi ^{2}(n)

Podle centrální limitní věty lze obecně rozdělení gama aproximovat normálním rozdělením : $k$

\Gamma (k,\theta )\přibližně \mathrm {N} (k\theta ,k\theta ^{2})

v .

k\to\infty

Pokud jsou nezávislé náhodné proměnné takové, že , pak $X_{1}, X_{2}$ $X_{i}\sim \Gamma (k_{i},1),\;i=1,2$

{\frac {X_{1}}{X_{1}+X_{2}}}\sim {\mathrm {\mathrm{B} }}(k_{1},k_{2})

Rayleighovo rozdělení je redukováno na gama rozdělení změnou proměnné.
Obvyklé Weibullovo rozdělení se změnou proměnné redukuje na rozdělení gama.
Nakagamiho rozdělení se změnou proměnné redukuje na gama rozdělení.
Přirozeným zobecněním gama distribuce je zkrácené gama rozložení.

Simulace hodnot gama

Vzhledem k výše uvedené vlastnosti škálování parametrem θ stačí nasimulovat hodnotu gama pro θ = 1. Přechod na jiné hodnoty parametru se provádí prostým násobením.

S využitím skutečnosti, že rozdělení se shoduje s exponenciálním rozdělením, dostaneme, že pokud U je náhodná veličina rovnoměrně rozložená na intervalu (0, 1], pak . $\gamma(1,1)$ ${-\ln U}\sim \Gamma(1,1)$

Nyní pomocí vlastnosti k -sum tento výsledek zobecníme:

\sum _{i=1}^{n}{-\ln U_{i}}\sim \Gamma (n,1),

kde U i jsou nezávislé náhodné veličiny rovnoměrně rozložené na intervalu (0, 1].

Zbývá simulovat hodnotu gama pro 0 < k < 1 a znovu použít vlastnost k -summation. To je ta nejtěžší část.

Níže je uveden algoritmus bez důkazu. Je to příklad variačního vzorkování .

Nastavte m na 1.
Generujte a jsou nezávislé náhodné proměnné rovnoměrně rozložené v intervalu (0, 1]. $V_{{2m-1}}$ $V_{{2m}}$
Pokud , kde , přejděte ke kroku 4, jinak přejděte ke kroku 5. $V_{{2m-1}}\leq v_{0}$ $v_{0}={\frac e{e+\delta ))$
Dejte . Přejděte na krok 6. $\xi _{m}=\left({\frac {V_{{2m-1}}}{v_{0}}}\right)^{{{\frac 1\delta }}},\ \eta _ {m}=V_{{2m}}\xi _{m}^{{\delta -1}}$
Dejte . $\xi _{m}=1-\ln {{\frac {V_{{2m-1}}-v_{0}}{1-v_{0}}}},\ \eta _{m}=V_ {{2m}}e^{{-\xi _{m}}}$
Pokud , zvyšte m o jednu a vraťte se ke kroku 2. $\eta _{m}>\xi _{m}^{{\delta -1}}e^{{-\xi _{m}}}$
Přijmout k realizaci . $\xi =\xi _{m}$ $\Gamma (\delta ,1)$

Shrnout:

\theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),

kde [ k ] je celočíselná část k a ξ je generováno výše uvedeným algoritmem pro δ = { k } ( zlomková část k ); U i a Vl jsou distribuovány jako výše a jsou párově nezávislé.

Poznámky

↑ Rodionov, 2015 , str. 29.
↑ Koroljuk, 1985 , str. 134.

Literatura

Lagutin M.B. Vizuální matematická statistika. - M. : Binom, 2009. - 472 s.
Žukovskij M.E. , Rodionov I.V. Základy teorie pravděpodobnosti. - M. : MIPT, 2015. - 82 s.
Žukovskij M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Úvod do matematické statistiky. - M. : MIPT, 2017. - 109 s.
Koroljuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Příručka teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. - M. : Nauka, 1985. - 640 s.

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona