Multinomické rozdělení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. dubna 2018; kontroly vyžadují 6 úprav .

Multinomické (polynomiální) rozdělení v teorii pravděpodobnosti je zobecněním binomického rozdělení na případ n>1 nezávislých pokusů náhodného experimentu s k>2 možnými výsledky.

Definice

Nechť jsou nezávislé shodně rozdělené náhodné veličiny , takové, že jejich rozdělení je dáno pravděpodobnostní funkcí [1] : $X_{1},\ldots ,X_{n}$

\mathbb {P} (X_{i}=j)=p_{j},\;j=1,\ldots ,k

Intuitivně událost znamená, že pokus s číslem vedl k výsledku . Nechť se náhodná proměnná rovná počtu pokusů, které vedly k výsledku : ${\displaystyle \{X_{i}=j\))$ $i$ $j$ ${\displaystyle Y_{j))$ $j$

Y_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{\{X_{i}=j\}},\;j=1,\ldots ,k

Pak má vektorové rozdělení pravděpodobnostní funkci ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{k})^{\top ))$

{\displaystyle p_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )=\left\{{\begin{matrix}{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}p_{1} ^{y_{1}}\ldots p_{k}^{y_{k}},&\sum \limits _{j=1}^{k}y_{j}=n\\0,&\součet \ limity _{j=1}^{k}y_{j}\not =n\end{matrix}}\right.,\quad \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{k} )^{\top }\in \mathbb {N} _{1}^{k))

kde

{n \choose {y_{1}\ldots y_{k))}\equiv {\frac {n!}{y_{1}!\ldots y_{k}!))

je multinomický koeficient .

Střední vektor a kovarianční matice

Matematické očekávání náhodné veličiny má tvar [1] : . Diagonální prvky kovarianční matice jsou rozptyly binomických náhodných veličin , a proto ${\displaystyle Y_{j))$ ${\displaystyle \mathbb {E} [Y_{j}]=np_{j))$ $\Sigma =(\sigma _{{ij}})$

\sigma _{jj}=\mathrm {D} [Y_{j}]=np_{j}(1-p_{j}),\;j=1,\ldots ,k

Pro zbytek prvků, které máme

\sigma _{ij}=\mathrm {cov} (Y_{i},Y_{j})=-np_{i}p_{j},\;i\not =j

Hodnost kovarianční matice multinomiálního rozdělení je . $k-1$

Poznámky

↑ 1 2 Groot, 1974 , str. 55-56.

Literatura

M. de Groot Optimální statistická rozhodnutí = Optimal Statistical Decisions. —M.: Mir, 1974. — 492 s.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4263656-5

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona