Geometrické rozložení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. května 2014; kontroly vyžadují 53 úprav .

Geometrické rozdělení v teorii pravděpodobnosti znamená jedno ze dvou rozdělení diskrétní náhodné veličiny :

rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné rovnající se počtu prvního „úspěchu“ v sérii Bernoulliho pokusů a přebírání hodnot ; $X$ $n=1,2,3,...$
rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny rovné počtu „selhání“ před prvním „úspěchem“ a převzetí hodnot . $Y=X-1$ $n=0,1,2,...$

Definice

Říká se, že náhodná proměnná má geometrické rozdělení s parametrem a je zapsána , pokud nabývá hodnot s pravděpodobnostmi . Náhodná veličina s tímto rozdělením má význam počtu prvního úspěšného pokusu v Bernoulliho schématu s pravděpodobností úspěchu . $X$ $p\in(0,1)$ $\mathrm {Geom} _{1}(p)$ $n=1,2,3,...$ $\mathbb {P} (X=n)=(1-p)^{n-1}p$ $p$

Nechť je nekonečná posloupnost nezávislých náhodných veličin s Bernoulliho rozdělením , tj. $Z_{1},\ldots ,Z_{n},\ldots$

Z_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&p\\0,&q\equiv 1-p\end{matrix}}\right.,\;i=1,2,\ ldots

. Sestavme náhodnou veličinu – počet „selhání“ před prvním „úspěchem“. Rozdělení náhodné veličiny se nazývá geometrické s pravděpodobností "úspěchu" , která je označena následovně: . Pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny má tvar: .

Y=\min \left\{i\mid Z_{i}=1\right\}-1

Y

p

Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)

Y

\mathbb{P}(Y = n) = q^np,\; n=0,1,2,\ldots

Poznámka

Někdy se z definice předpokládá, že je to číslo prvního „úspěchu“. Potom má pravděpodobnostní funkce tvar kde . Tabulka vpravo ukazuje vzorce pro obě možnosti. $X$ $\mathbb {P} (X=n)=q^{n-1}p,\;$ $n=1,2,3,\ldots$
Pravděpodobnostní funkce je geometrická progrese , odkud pochází název rozdělení.

Momenty

Nechte a . Potom má generující funkce momentů geometrického rozdělení tvar: $X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p)$ $Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p)$

M_{Y}(t)={\frac {pe^{t}}{1-qe^{t}}}

kde

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{p}}

{\displaystyle \mathrm {D} [X]={\frac {q}{p^{2))))

. To je fér .

\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X-1]={\frac {1}{p}}-1={\frac {1-p}{p}}={ \frac {q}{p}}

Vlastnosti geometrického rozdělení

Ze všech diskrétních rozdělení s podporou a pevným průměrem je geometrické rozdělení jedním z rozdělení s maximální informační entropií . $\{1,2,3,\tečky\}$ $\mu>1$ $\mathrm{Geom}(1/\mu)$
Pokud a jsou nezávislí , pak $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}\sim \mathrm {Geom} (p_{i}),\;i=1,\ldots ,n$

X=\min \limits _{i}(X_{i})\sim \mathrm {Geom} \left(1-\prod \limits _{i=1}^{n}(1-p_{ i})\vpravo)

Geometrické rozdělení je nekonečně dělitelné .

Nedostatek paměti

Pokud , tedy počet minulých "selhání" neovlivňuje počet budoucích "selhání". $X\sim \mathrm {Geom} (p)$ $\mathbb {P} (X>m+n\mid X\geq m)=\mathbb {P} (X>n)\;,\forall m,n\in \mathbb {N} \cup \ {0\}$

Geometrické rozdělení je jediné diskrétní rozdělení s vlastností no-memory .

Vztah s jinými distribucemi

Geometrické rozdělení je speciální případ záporného binomického rozdělení : . $\mathrm{Geom}(p) \equiv \mathrm{NB}(1,p)$
Pokud a jsou nezávislí , pak $Y_1,\ldots, Y_n$ $Y_i \sim \mathrm{Geom}(p),\; i=1,\ldots,n$

\sum\limits_{i=1}^n Y_i \sim \mathrm{NB}(n,p)

Pokud je parametr r=1 v záporném binomickém rozdělení, pak se záporné binomické rozdělení stává geometrickým rozdělením . Poslední distribucí je Bose-Einsteinova distribuce pro jeden zdroj [1]

Příklad

Nechte házet kostkou , dokud nepadne prvních šest.

Vypočítejte pravděpodobnost, že počet pokusů provedených před prvním úspěchem, včetně posledního úspěšného pokusu, nebude větší než tři.

Nechte _ Pak

X\sim \mathrm {Geom} _{1}(p=1/6)

\mathbb {P} (X\leq 3)=\mathbb {P} (X=1)+\mathbb {P} (X=2)+\mathbb {P} (X=3)=

= \left(\frac{5}{6}\right)^{\!0} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right) ^{\!1} \left(\frac{1}{6}\right) + \left(\frac{5}{6}\right)^{\!2} \left(\frac{1}{ 6}\vpravo) \přibližně 0{,}42

Vypočítejte pravděpodobnost, že počet „neúspěchů“ před prvním „úspěchem“ nebude větší než dva.

Nechte _ Pak

Y\sim \mathrm {Geom} _{0}(p=1/6)

\mathbb {P} (Y\leq 2)=\mathbb {P} (Y=0)+\mathbb {P} (Y=1)+\mathbb {P} (Y=2)=

=\left({\frac {5}{6}}\right)^{0}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5} {6}}\right)^{1}\left({\frac {1}{6}}\right)+\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}\left ({\frac {1}{6}}\right)\cca 0{,}42

Viz také

Binomické rozdělení .

Odkazy

↑ Schopper H. (Ed.) Interakce elektron - pozitron. Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag. 1992. S. 133// https://www.twirpx.org/file/3458790/ Archivováno 10. května 2021 na Wayback Machine

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona