Pearsonova distribuce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. května 2019; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Pearsonovo rozdělení je spojité rozdělení pravděpodobnosti, jehož hustota pravděpodobnosti je řešením diferenciální rovnice , kde čísla jsou parametry rozdělení. [1] Speciálními případy Pearsonova rozdělení jsou beta rozdělení (rozdělení Pearsonova typu I), gama rozdělení (rozdělení Pearsonova typu III), Studentovo rozdělení (rozdělení Pearsonova typu VII), exponenciální rozdělení (rozdělení Pearsonova typu X), normální rozdělení $\frac{df(x)}{dx}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}f( X)$ $a_{0}, a_{1}, b_{0}, b_{1}, b_{2}$ (Pearsonova distribuce typu XI). Pearsonova rozdělení jsou široce používána v matematické statistice pro vyhlazování rozdělení empirických dat. Pro aproximaci pravděpodobnostního rozdělení experimentálních dat numerickými metodami jsou vypočteny jejich první čtyři momenty a na jejich základě jsou následně vypočteny parametry Pearsonova rozdělení. [2]

Vlastnosti

Pearsonova rozdělení jsou zcela určena prvními čtyřmi momenty náhodné veličiny. Nechť je centrální moment náhodné veličiny s Pearsonovým rozdělením. Pak když , tak $\mu_{k}$ $k$ $a_{1}=1$

a_{0}=\frac{\mu_{3}(\mu_{4}+3\mu_{2}^{2})}{A}

b_{0}=-\frac{\mu_{2}(4\mu_{2}\mu_{4}-3\mu_{3}^{2})}{A}

b_{1}=-\frac{\mu_{3}(4\mu_{2}\mu_{4}+3\mu_{2}^{2})}{A}

b_{2}=-\frac{2 \mu_{2} \mu_{4} - 3\mu_{3}^{2} - 6 \mu_{2}^{3}}{A}

kde . [jeden] $A = 10 \mu_{4} \mu_{2} - 18 \mu_{2}^{3} - 12 \mu_{3}^{2}$

Typy Pearsonových distribucí

V závislosti na rozdělení odmocnin čtvercového trinomu se rozlišuje 12 typů Pearsonových rozdělení. Označme , . [jeden] $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}$ $D = b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}$ $\lambda = \frac{b_{1}^{2}}{b_{0}b_{2}}$

Píšu

Pearsonovy distribuce typu I jsou beta distribuce. Podmínky: , , , Hustota pravděpodobnosti: , kde , . [jeden] $D<0$ $\lambda < 0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha+x)(-\beta+x)b_{2}$ $\alpha ,\beta >0$ $f(x)=\begin{cases} \frac{\alpha^{2m}\beta^{2n}}{(\alpha+\beta)^{m+n+1}B(m+1, n+1 )}(\alpha+x)^{m}(\beta - x)^{n}, & x \in [ -\alpha, \beta ] \\ 0, & x \notin [ -\alpha, \beta ]\end{cases}$ $B(m+1, n+1) = \frac{\Gamma(m+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(m+n+2)}$ $m > -1, n > -1$

Typ II

Podmínky jako u typu I s dalšími podmínkami . [jeden] $\alpha = \beta, m = n$

Typ III

Pearsonova distribuce typu III jsou gama distribuce. Podmínky: , , . Hustota pravděpodobnosti: . [jeden] $D<0$ $\lambda = \infty$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = 2(\alpha+x)b_{1}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{k^{m+1}}{\Gamma(m+1)}(\alpha+x)^{m}e^{-k(\alpha+x )}, &x > -\alpha, k > 0 \\ 0, &x \leqslant -\alpha \end{cases}$

Typ IV

Podmínky: , , . Hustota pravděpodobnosti: , , , kde . [3] $D>0$ $0 < \lambda < 1$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha^{2}+x^{2})b_{2}$ $f(x)=c(\alpha^{2}+x^{2})^{-m}\exp{-\nu \arctan{\frac{x}{\alpha))}$ $x \in (-\infty, \infty)$ $m \geqslant \frac{1}{2}$ $c^{-1}=\int_{-\infty}^{\infty}(\alpha^{2}+x^{2})^{-m}\exp{-\nu \arctan{\frac{ x}{\alpha}}}dx$

Typ V

Podmínky: , , . Hustota pravděpodobnosti: . [3] $D=0$ $\lambda=1$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha+x)^{2}b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{\gamma^{m-1}}{\Gamma{m-1}}x^{-m}e^{-\frac{\gamma}{x} }, & \gamma > 0, m > 1, x > 0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}$

Typ VI

Podmínky: , , . Hustota pravděpodobnosti: . [3] $D<0$ $\lambda > 1$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha+x)(x-\beta)b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{(\alpha+\beta)^{-(m+n+1)}}{B(-mn-1, n+1)}(x+\alpha)^ {m}(x-\beta)^{n}, & x > \beta, m - 1> 0, n > -1 \\ 0, & x \leqslant \beta \end{cases}$

Typ VII

Pearsonova distribuce typu VII je Studentova distribuce. Podmínky: , , . Hustota pravděpodobnosti: , , . [3] $D>0$ $\lambda=0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = (\alpha^{2}+x^{2})b_{2}$ $f(x)={\frac {\alpha ^{2m-1}}{B(m-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}))) } (\alpha ^{2}+x^{2})^{-m}$ $x \in (-\infty, \infty)$ $m \geqslant \frac{1}{2}$

Typ VIII

Podmínky: , , . Hustota pravděpodobnosti: . [3] $D<0$ $\lambda < 0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = x(x+\alpha)b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{m+1}{\alpha^{m+1}}(x+\alpha)^{m}, & x \in [ -\alpha, 0 ], - 1 < m < 0 \\ 0, & x \notin [ -\alpha, 0 ] \end{cases}$

Typ IX

Podmínky: , , . Hustota pravděpodobnosti: . [3] $D<0$ $\lambda < 0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = x(x+\alpha)b_{2}$ $f(x)=\begin{cases} \frac{m+1}{\alpha^{m+1}}(x+\alpha)^{m}, & x \in [ -\alpha, 0 ], m < -1 \\ 0, & x \notin [ -\alpha, 0 ] \end{cases}$

X typ

Distribuce typu Pearson X je exponenciální distribuce. Podmínky: , , , . Hustota pravděpodobnosti: [2] $D=0$ $\lambda=0$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = b_{0}$ $a_{1} = 0$ $f(x)=\begin{cases} \gamma e^{-\gamma x}, & x > 0, \gamma > 0 \\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}$

Typ XI

Rozdělení typu Pearson XI je normální rozdělení. Podmínky: , neurčitě, . Hustota pravděpodobnosti: . [2] $D=0$ $\lambda$ $b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2} = b_{0}$ $f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \exp{-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}}, x \in ( - \infty, \infty )$

Typ XII

Podmínky jako u typu I s dalšími podmínkami . [jeden] $\alpha = \beta, m = -n$

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Koroljuk, 1985 , str. 133.
↑ 1 2 3 Koroljuk, 1985 , str. 135.
↑ 1 2 3 4 5 6 Korolyuk, 1985 , str. 134.

Literatura

Koroljuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Příručka teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. - M. : Nauka, 1985. - 640 s.

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona