Vícerozměrné normální rozdělení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. dubna 2020; kontroly vyžadují 5 úprav .

Vícerozměrné normální rozdělení (nebo vícerozměrné Gaussovo rozdělení ) v teorii pravděpodobnosti je zobecněním jednorozměrného normálního rozdělení . Náhodný vektor s vícerozměrným normálním rozdělením se nazývá Gaussův vektor [1] .

Definice

Náhodný vektor má vícerozměrné normální rozdělení, pokud platí jedna z následujících ekvivalentních podmínek: ${\mathbf {X}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})^{{\top }}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$

Libovolná lineární kombinace složek vektoru má normální rozdělení nebo je konstanta (toto tvrzení funguje pouze v případě, že matematické očekávání je 0). $\sum \limits _{{i=1}}^{n}a_{i}X_{i}$
Existuje vektor nezávislých standardních normálních náhodných proměnných , skutečný vektor a matice rozměrů , takže: ${\mathbf {Z}}=(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{{\top }}$ ${\mathbf {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{n})^{{\top }}$ $\mathbf {A}$ $n \krát m$

{\mathbf {X}}={\mathbf {A}}{\mathbf {Z}}+{\mathbf {\mu }}

Existuje vektor a nezáporná jednoznačná symetrická matice dimenze , takže charakteristická funkce vektoru má tvar: ${\mathbf {\mu }}\in {\mathbb {R}}^{n}$ ${\mathbf {\Sigma ))$ $n\krát n$ $\mathbf {X}$

\phi _{{{\mathbf {X}}}}({\mathbf {u}})=e^{{i{\mathbf {\mu }}^{{\top }}{\mathbf {u} }-{\frac {1}{2}}{\mathbf {u}}^{{\top }}\Sigma {\mathbf {u}}}},\;{\mathbf {u}}\in { \mathbb {R}}^{n}

Hustota nedegenerovaného normálního rozdělení

Pokud vezmeme v úvahu pouze distribuce s nesingulární kovarianční maticí , pak bude ekvivalentní také následující definice:

Existuje vektor a pozitivně definitní symetrická matice dimenze , takže hustota pravděpodobnosti vektoru má tvar [2] ::

{\mathbf {\mu }}\in {\mathbb {R}}^{n}

{\mathbf {\Sigma ))

n\krát n

\mathbf {X}

f_{{{\mathbf {X}}}}({\mathbf {x}})={\frac {1}{(2\pi )^{{n/2}}\vert \Sigma \vert ^{ {1/2}}}}e^{{-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }})^{{\top }}\Sigma ^{{-1}}({\mathbf {x}}-{\mathbf {\mu }}))),\;{\mathbf {x}}\in {\mathbb {R}}^{n }

, kde je determinant matice a je matice inverzní k

\vert \Sigma \vert

\Sigma

\Sigma ^{{-1}}

\Sigma

Vektor je střední vektor a je jeho kovarianční maticí . ${\mathbf {\mu ))$ $\mathbf {X}$ $\Sigma$
V případě , vícerozměrné normální rozdělení se redukuje na běžné normální rozdělení. $n=1$
Pokud má náhodný vektor vícerozměrné normální rozdělení, napište . $\mathbf {X}$ $\mathbf {X} \sim {\mathcal {N))(\mathbf {\mu } ,\Sigma )$

Dvourozměrné normální rozdělení

Speciálním případem vícerozměrného normálního rozdělení je dvourozměrné normální rozdělení. V tomto případě máme dvě náhodné proměnné s matematickými očekáváními , rozptyly a kovariance . V tomto případě má kovarianční matice velikost 2 a její determinant je $X_{1},X_{2}$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$ $\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}$ $\sigma_{12}$

\mathrm {det} \Sigma =\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{12}^{2}=\sigma _{1}^ {2}\sigma _{2}^{2}(1-\rho ^{2}),

kde je korelační koeficient náhodných veličin. $\rho ={\frac {\sigma _{12}}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}$

Potom hustotu dvourozměrného nedegenerovaného (korelační koeficient v absolutní hodnotě není roven jednotce) normálního rozdělení můžeme zapsat jako:

f(x_{1},x_{2})={\frac {1}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2} }}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[{\frac {(x_{1}-\mu _{1} )^{2)){\sigma _{1}^{2))}-\rho {\frac {2(x_{1}-\mu _{1})(x_{2}-\mu _{ 2})}{\sigma _{1}\sigma _{2}}}+{\frac {(x_{2}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{2}^ {2}}}\vpravo]\vpravo\}

. V případě, že (tj. jsou závislé), je jejich součet stále normálně rozdělen, ale ve rozptylu se objeví další člen : .

X\sim {\mathcal {N}} (\mu _{1},\sigma _{1}^{2}),Y\sim {\mathcal {N}} (\mu _{2} ,\sigma _{2}^{2}),cov(X,Y)=\sigma _{12}

X,Y

2\sigma _{12}

X+Y\sim {\mathcal {N))(\mu _{1}+\mu _{2},\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2 }+2\sigma _{12})

Vlastnosti vícerozměrného normálního rozdělení

Pokud má vektor vícerozměrné normální rozdělení, pak jeho složky mají jednorozměrné normální rozdělení. Opak je pravdou, když jsou komponenty nezávislé [3] . $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$ $X_{i},i=1,\ldots ,n,$
Jestliže náhodné proměnné mají jednorozměrné normální rozdělení a jsou společně nezávislé , pak náhodný vektor má vícerozměrné normální rozdělení. Kovarianční matice takového vektoru je diagonální. $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$ $\Sigma$
Pokud má vícerozměrné normální rozdělení a jeho složky jsou párově nekorelované , pak jsou nezávislé. Pokud však některé náhodné proměnné mají jednorozměrná normální rozdělení a nekorelují párově, pak z toho nevyplývá , že jsou nezávislé a mají vícerozměrné normální rozdělení. $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$ $X_{i},\;i=1,\ldots ,n$

Příklad. Nechť , a se stejnou pravděpodobností a jsou nezávislé na zadané normální hodnotě. Pak jestliže , pak korelace a je rovna nule. Tyto náhodné proměnné jsou však závislé a na základě prvního tvrzení odstavce nemají vícerozměrné normální rozdělení.

X\sim {\mathcal {N}} (0,1)

\alpha =\pm 1

Y=\alpha X\sim {\mathcal {N}}(0,1)

X

Y

Vícerozměrné normální rozdělení je stabilní pod lineárními transformacemi . Jestliže , a je libovolná matice dimenze , pak $\mathbf {X} \sim {\mathcal {N))(\mathbf {\mu } ,\Sigma )$ $\mathbf {A}$ $m\krát n$

{\mathbf {A}}{\mathbf {X}}\sim {\mathrm {N}}\left({\mathbf {A}}{\mathbf {\mu }}, {\mathbf {A}}\ Sigma {\mathbf {A}}^{{\top }}\vpravo).

Takovou transformací a posunem lze jakékoli nedegenerované normální rozdělení redukovat na vektor nezávislých standardních normálních hodnot.

Momenty vícerozměrného normálního rozdělení

Nechť vycentrujeme (s nulovým matematickým očekáváním) náhodné proměnné s vícerozměrným normálním rozdělením, pak momenty pro liché jedničky jsou rovny nule a pro sudé se vypočítá podle vzorce $X$ $\mu _{i_{1}i_{2}i_{3}...i_{k}}=E(X_{i_{1}}X_{i_{2}}X_{i_{3} }...X_{i_{k}})$ $k$ $k=2m$

\sum \sigma _{i_{t_{1}}i_{t_{2}}}\sigma _{i_{t_{3}}i_{t_{4}}}\sigma _{i_{t_ {4}}i_{t_{5}}}}...\sigma _{i_{t_{k-1}}i_{t_{k}}}

kde se sumace provádí přes všechna možná rozdělení indexů do párů. Počet faktorů v každém termínu je , počet termínů je $m$ ${\frac {(2m)!}{2^{m}m!}}={\frac {(2m-1)!}{2^{m-1}(m-1)!}}$

Například pro momenty čtvrtého řádu v každém termínu existují dva faktory a celkový počet termínů se bude rovnat . Odpovídající obecný vzorec pro momenty čtvrtého řádu je: $4!/(2^{2}\cdot 2!)=(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)/(4\cdot 2\cdot 1)=3$

\mu _{ijkm}=E(X_{i}X_{j}X_{k}X_{m})=\sigma _{ij}\sigma _{km}+\sigma _{ik}\ sigma _{jm}+\sigma _{im}\sigma _{kj}

Zejména pokud $i=j=k=m$

{\displaystyle \mu _{iiii}=E(X_{i}^{4})=3{\sigma }_{ii}^{2}=3{\sigma }_{i}^{4))

V $i=j\not=k=m$

{\displaystyle \mu _{iijj}=E(X_{i}^{2}X_{j}^{2})={\sigma }_{ii}{\sigma }_{jj}+2{\ sigma }_{ij}={\sigma }_{i}^{2}{\sigma }_{j}^{2}+2{\sigma }_{ij))

V $i=j=k\not=m$

\mu _{iij}=E(X_{i}^{3}X_{j})={\sigma }_{ii}{\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ii }{\sigma }_{ij}+{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ii}=3{\sigma }_{ij}{\sigma }_{ii}=3{\sigma } _{i}^{2}{\sigma }_{ij}

Podmíněné přidělení

Nechť náhodné vektory a mají společné normální rozdělení s matematickými očekáváními , kovarianční matice a kovarianční matice . To znamená, že kombinovaný náhodný vektor sleduje vícerozměrné normální rozdělení s vektorem očekávání a kovarianční maticí, kterou lze reprezentovat jako následující blokovou matici $X$ $Y$ $\mu _{X},\mu _{Y}$ $V_{X},V_{Y}$ $C_{{XY}}$ ${\boldsymbol Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol X}\\{\boldsymbol Y}\end{bmatrix}}$ ${\boldsymbol {\mu }}_{Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\mu }}_{X}\\{\boldsymbol {\mu }}_{Y}\end {bmatrix}}$

{\boldsymbol V}_{Z}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol V}_{X}&{\boldsymbol C}_{{XY}}\\{\boldsymbol C}_{{YX}} &{\boldsymbol V}_{{Y}}\end{bmatrix}}

kde . $C_{{YX}}=C_{{XY}}^{T}$

Pak má náhodný vektor , daný hodnotou náhodného vektoru, (mnohorozměrné) normální podmíněné rozdělení s následující podmíněnou střední a podmíněnou kovarianční maticí $Y$ $X$

$E(Y|X=x)=\mu _{Y}+C_{{YX}}V_{X}^{{-1}}(x-\mu _{X}),\qquad V(Y| X=x)=V_{Y}-C_{{YX}}V_{X}^{{-1}}C_{{XY}}$ .

První rovnost definuje lineární regresní funkci (závislost podmíněného očekávání vektoru na dané hodnotě x náhodného vektoru ) a matice je maticí regresních koeficientů. $Y$ $X$ $C_{{XY}}V^{{-1}}$

Podmíněná kovarianční matice je náhodná chybová kovarianční matice lineárních regresí složek vektor po vektoru . V případě, že je obyčejná náhodná proměnná (jednosložkový vektor), podmíněná kovarianční matice je podmíněný rozptyl (v podstatě rozptyl náhodné chyby regrese na vektoru ) $Y$ $X$ $Y$ $Y$ $X$

Poznámky

↑ A. N. Širjajev. Pravděpodobnost. Svazek 1. MTSNMO, 2007.
↑ Groot, 1974 , str. 58-63.
↑ A.A. Novoselov. Oblíbené: Normálnost společné distribuce . Moderní rizikové systémy (28. 3. 2014). Staženo 8. 5. 2017. Archivováno z originálu 17. 5. 2017. (neurčitý)

Literatura

M. de Groot Optimální statistická rozhodnutí = Optimal Statistical Decisions. —M.: Mir, 1974. — 492 s.

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona