Barnes G-funkce

Barnesova G-funkce (obvykle označovaná ) je funkce, která rozšiřuje pojem superfaktoriálu na pole komplexních čísel . Souvisí s funkcí gama , funkcí K a Glaisher-Kinkelinovou konstantou . -funkce je pojmenována po anglickém matematikovi Ernestu Williamu Barnesovi [1] . $G(z)$ $G$

Formálně je Barnesova funkce definována (ve formě Weierstrassova součinu ) jako $G$

G(z+1)=(2\pi )^{z/2}e^{-\left[z(z+1)+\gamma z^{2}\right]/2}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+z^{2}/(2n)}\right]

kde je Euler-Mascheroniho konstanta . $\gamma$

Diferenciální rovnice, funkcionální rovnice a dílčí hodnoty

$G$ -Barnesova funkce splňuje diferenční rovnici

G(z+1)=\Gamma (z)G(z)

Takto,

G(n)=\operatorname {sf} (n-2)

, kde je superfaktoriál .

\operatorname {sf} (x)

x

Například,

G(8)=\operatorname {sf} (6)=6!\cdot 5!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2!\cdot 1!=24883200

pokud to přijmeme . V diferenciální rovnici se předpokládá, že pro celočíselné hodnoty argumentu nabývá následujících hodnot : $G(1)=1$ $G$

G(n)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n-2}i!&{\mbox{if }}n=1,2,\dots \end{cases}}

tím pádem

G(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{K(n)}}

kde Γ je funkce gama a K je funkce K. Diferenciální rovnice jednoznačně definuje -funkci, pokud je přidána podmínka konvexity: [2] . $G$ ${\frac {d^{3}}{dx^{3}}}G(x)\geq 0$

Diferenciální rovnice pro -funkci a funkcionální rovnice pro funkci Gama vedou k následujícím funkčním rovnicím pro -funkci, ověřené Hermanem Kinkelinem : $G$ $G$

G(1-z)=G(1+z){\frac {1}{(2\pi )^{z}}}\exp \int _{0}^{z}\pi x\cot \pi x\,dx.

Vzorec násobení

Podobně jako funkce Gamma má i funkce -násobící vzorec [3] : $G$

G(nz)=K(n)n^{n^{2}z^{2}/2-nz}(2\pi )^{-{\frac {n^{2}-n}{2}}z}\prod _{i=0}^{n-1}\prod _{j=0}^{n-1}G\left(z+{\frac {i+j}{n}}\right),

kde

K(n)=e^{-(n^{2}-1)\zeta ^{\prime }(-1)}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}\,=\,(Ae^{-{\frac {1}{12}}})^{n^{2}-1}\cdot n^{\frac {5}{12}}\cdot (2\pi )^{(n-1)/2}.

Zde je Riemann zeta funkce , je Glaisher-Kinkelin konstanta . $\zeta ^{\prime }$ $A$

Poznámky

↑ EW Barnes, "Teorie G-funkce", Čtvrtletní deník. Pure and Appl. Matematika. 31 (1900), 264-314.
↑ MF Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL $(2,\mathbb {Z} )$ , Astérisque 61 , 235-249 (1979).
↑ I. Vardi, Determinanty Laplaciánů a více gama funkcí , SIAM J. Math. Anální. 19 , 493-507 (1988).