Funkce beta

V matematice je funkce beta ( -funkce, Eulerova beta funkce nebo Eulerův integrál prvního druhu) následující speciální funkcí dvou proměnných: $\mathrm{B}$

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

definováno na , . $\operatorname {Re} x>0$ $\operatorname {Re} y>0$

Beta funkci studoval Euler , Legendre[ kdy? ] a jméno jí dal Jacques Binet .

Vlastnosti

Funkce beta je symetrická vzhledem k permutaci proměnných, tzn.

\mathrm {B} (x,y)=\jméno operátora {\mathrm {B} } (y,x).

Funkci beta lze vyjádřit pomocí dalších funkcí:

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y))),

kde je funkce gama ; $\gamma (x)$

\mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y }}}\,dt,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {( y)_{n+1}}{n!(x+n)}},

kde je sestupný faktoriál roven . $(x)_{n}$ $x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)$

Stejně jako je funkce gama pro celá čísla zobecněním faktoriálu , funkce beta je zobecněním binomických koeficientů s mírně upravenými parametry:

{\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1))).

Funkce beta splňuje dvourozměrnou diferenční rovnici :

\mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.

Deriváty

Parciální derivace funkce beta jsou následující:

{\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x) }{\Gamma (x)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},

{\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y) }{\Gamma (y)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (y)-\psi (x+y){\big )},

kde je funkce digamma . $\psi(x)$

Neúplná funkce beta

Neúplná beta funkce je zobecněním funkce beta, která nahrazuje intervalový integrál integrálem s proměnnou horní hranicí: $[0, 1]$

\mathrm {B} _{x}(a,b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\, dt.

Pro , neúplná funkce beta se shoduje s úplnou. $x=1$

Regulovaná neúplná funkce beta je definována z hlediska úplných a neúplných funkcí beta:

I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b))).

Vlastnosti $já(x)$

I_{0}(a,b)=0,

I_{1}(a,b)=1,

I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a),

I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b )}}.

Poznámky

Literatura

Kuzněcov D. S. Speciální funkce (1962) — 249 s.

Viz také