Hankelovy funkce

Hankelovy (Hankelovy) funkce (Besselovy funkce třetího druhu) jsou lineární kombinace Besselových funkcí prvního a druhého druhu, a tedy řešení Besselovy rovnice . Pojmenován po německém matematikovi Hermannu Hankelovi .

H_{{\nu }}^{{(1)}}(z)=J_{{\nu }}(z)+iN_{{\nu }}(z)

je Hankelova funkce prvního druhu;

H_{{\nu }}^{{(2)}}(z)=J_{{\nu }}(z)-iN_{{\nu }}(z)

je Hankelova funkce druhého druhu.

Hankelovy funkce s indexem 0 jsou základním řešením Helmholtzovy rovnice .

Vlastnosti

$H_{{\nu }}^{{(1)}}(z)={\frac {J_{{-\nu }}(z)-e^{{-\nu \pi i}}J_{{ \nu }}(z)}{i\sin(\nu \pi )}}$

$H_{{\nu }}^{{(2)}}(z)={\frac {J_{{-\nu }}(z)-e^{{\nu \pi i}}J_{{\ nu }}(z)}{-i\sin(\nu\pi )}}$

$W\left[H_{{\nu }}^{{(1)}}(z),H_{{\nu }}^{{(2)))(z)\right]=-{\frac { 4i}{\pi z}}$

$H_{{-\nu }}^{{(1)}}(z)=e^{{\nu \pi i}}H_{{\nu }}^{{(1)}}(z)$

$H_{{-\nu }}^{{(2)}}(z)=e^{{-\nu \pi i}}H_{{\nu }}^{{(2)))(z)$

$H_{{-\nu }}^{{(1)}}(z)\sim {\sqrt ({\frac {2}{\pi z}}}}e^{{{\frac {i}{ 4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}$ , jestliže ; $|z|\to \infty ,-\pi <\arg z<2\pi$

$H_{{-\nu }}^{{(2)}}(z)\sim {\sqrt ({\frac {2}{\pi z}}}}e^{{-{\frac {i} {4}}(4z-2\pi \nu -\pi )}}$ pokud . $|z|\to \infty ,-2\pi <\arg z<\pi$

Watson G. Teorie Besselových funkcí. Ve 2 svazcích - M .: IL , 1949.
Bateman G. , Erdeyi A. Vyšší transcendentální funkce. Besselovy funkce, funkce parabolického válce, ortogonální polynomy. — M.: Fizmatgiz , 1966. — 296 s. — (Referenční matematická knihovna).

Abramowitz a Stegun, s. 358, 9.1.3, 9.1.4 .
Olver F. Gl. 9. Besselovy funkce celočíselného řádu // Příručka speciálních funkcí se vzorci, grafy a tabulkami, Ed. M. Abramowitz a I. Steegan; za. z angličtiny. vyd. V. A. Ditkin a L. N. Karamzina. - M .: Nauka, 1979. - S. 177-255. — 832 s. — 50 000 výtisků.