Hustota stavů

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. června 2019; kontroly vyžadují 9 úprav .

Hustota stavů je veličina, která určuje počet energetických hladin v intervalu jednotkové energie na jednotku objemu v trojrozměrném případě (na jednotku plochy ve dvourozměrném případě). Je to důležitý parametr ve statistice a fyzice pevných látek . Termín lze použít pro fotony, elektrony, kvazičástice v pevné látce atd. Používá se pouze pro problémy s jednou částicí, to znamená pro systémy, kde lze interakci zanedbat (neinteragující částice) nebo přidat interakci jako perturbace (to povede k úpravě hustoty stavů) .

Definice

Pro výpočet hustoty stavů (počet stavů v intervalu jednotkové energie) částice nejprve najdeme hustotu stavů v reciprokém prostoru (hybnost nebo -prostor). "Vzdálenost" mezi státy je určena okrajovými podmínkami . Pro volné elektrony a fotony v oblasti nebo pro elektrony v krystalové mřížce o velikosti mřížky používáme Born-von Karman periodické okrajové podmínky pro vlnovou funkci : . S vlnovou funkcí volné částice získáme vztahy $k$ ${\displaystyle 0<x<L_{x))$ ${\displaystyle L_{x))$ $\psi (x)=\psi (x+L_{x})$ $\psi (x)={\mbox{const}}\cdot e^{ikx}$

2\pi N=kL_{x}\qquad {\frac {2\pi }{L_{x}}}=\Delta k

kde je jakékoli celé číslo a je vzdálenost mezi státy s různými . Podobné vztahy platí pro ostatní kartézské souřadnice ( , ). $N$ $\Delta k$ $k$ $y$ $z$

Celkový počet -stavů dostupných pro částici je množství -prostoru, které má k dispozici, děleno množstvím -prostoru obsazeného jedním stavem. Dostupný objem je jednoduše integrál od do . $k$ $k$ $k$ $0$ $k$

Objem -space pro jeden stav v případě -dimenzionální lze zapsat jako $k$ $n$

G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{ n}{{\mathbf {k}}}},

kde je degenerace úrovně (obvykle je to degenerace rotace rovna 2). Tento výraz musí být diferencován, abychom našli hustotu stavů v -space: . Abychom našli hustotu stavů z hlediska energie, potřebujeme znát disperzní zákon pro částici, to znamená vyjádřit a v podmínkách a . Například pro volný elektron: $g_s$ $k$ $g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk))\,dk$ $k$ $dk$ $g(k)dk$ $E$ $dE$ $E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}$ $dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.$

S obecnější definicí souvisí vztah

D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})

(obvykle znamenají jednotkový objem, ale k obecné formě zápisu se přidává násobitel ), kde index odpovídá nějakému stavu diskrétního nebo spojitého spektra a je delta funkcí . Při přechodu od sčítání k integraci přes fázový prostor dimenzí je třeba použít pravidlo $1/V$ $s$ $\delta$ $2n$

{\displaystyle \sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n))))

kde je Planckova konstanta , je hybnost, jsou prostorové souřadnice (pokud je objem jednotný, tento integrál je vynechán). $\hbar$ $p$ $q$

Příklady

Tabulka obsahuje výrazy pro hustotu stavů elektronů s parabolickým disperzním zákonem :

	Dostupný objem	Objem pro jeden stát	Hustota stavů
$3D$	${\frac {4}{3}}\pi k^{3}$	${\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}$	${\frac {{\sqrt {2m^{3}}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}$
$2D$	$\pi k^{2}$	${\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}$	${\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{z))}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})$
$1D$	$2k$	${\frac {2\pi }{L_{x}}}$	${\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{y}L_{z}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l} }}}$
$0D$			${\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})$

kde je velikost kvantizačního subpásmového indexu, je Heavisideova funkce . Vzorce popisují případ, kdy je kvantování v jednom nebo více směrech spojeno s určitým omezujícím potenciálem. $l$ $\Theta$

Všechny vzorce pro , uvedené ve sloupci úplně vpravo, mají rozměr J -1 m -3 a strukturu "nějaký výraz dělený součinem lineárních rozměrů kvantizační oblasti" - těchto rozměrů je tolik, kolik je pohybu je omezen podél souřadnic. Pokud se takové dělení neprovede (odstraní vše ), pak zůstane s rozměrem [ ] = J -1 m -3 , J -1 m -2 , J -1 m -1 a J -1 , resp. dvourozměrné (2D), jednorozměrné (1D) a nulové (0D) případy. "Hustota stavů" v závislosti na kontextu může znamenat nejen , ale také . $D(E)$ $\rho (E)$ $L$ $\rho (E)$ $\rho$ $D(E)$ $\rho (E)$

Použití

Hustota stavů se objevuje ve výrazech pro výpočet koncentrace částic s jejich známou distribucí energie. Pro fermiony , což jsou elektrony, za rovnovážných podmínek toto rozdělení odpovídá Fermi-Diracově statistice a pro bosony , včetně fotonů, Bose-Einsteinově statistice .

Řekněme , že koncentrace elektronů ( děr ) ve vodivém pásu ( valenčním pásmu ) polovodiče v rovnováze jsou vypočteny jako

n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (E)F(E)\,dE,\quad p=\int \limits _{-\infty }^ {E_{v}}\rho (E)(1-F(E))\,dE

kde je Fermiho funkce, ( ) je energie spodní části vodivostního pásma ( horní části valenčního pásma ). Stejně jako zde je třeba dosadit vzorec pro objekt příslušného rozměru: pro tloušťku materiálu (a pak budou koncentrace v m -3 ), pro kvantovou studnu (a pak dostaneme koncentraci v m - 2 ), pro kvantový drát (dostaneme koncentraci vm -1 ) nebo (v případě kvantové tečky nezískáme koncentraci, ale počet částic). $F$ $E_{c}$ $E_{v}$ $\rho$ ${\displaystyle \rho _{3D))$ $\rho _{2D}$ $\rho _{1D}$ $\rho _{0D}$

Externí odkazy

Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics Archived 14. května 2011 na Wayback Machine