Zákon rozptylu

Disperzní zákon nebo disperzní vztah v teorii vln je funkcí závislosti vlnové frekvence na vlnovém vektoru :

\omega =\omega (\mathbf {k} )

Matematická podoba této závislosti, která vyjadřuje vztah mezi časovou a prostorovou periodicitou vlny, je určena vlastnostmi uvažovaných kmitů a prostředím, ve kterém se šíří.

Z disperzního zákona lze získat fázovou a skupinovou rychlost vlny:

\mathbf {v} _{\text{ph}}={\frac {\omega }{k}}\cdot {\frac {\mathbf {k} }{k)),\quad \mathbf { v} _{\text{gr}}={\frac {d\omega }{d\mathbf {k} }}

V nejjednodušším případě lineárního spojení se tyto rychlosti také shodují. $\omega$ $k$

Zákony rozptylu existují pro vlny jakékoli povahy, včetně elektromagnetických a elastických vln . Koncept duality vlna-částice nám umožňuje napsat tento zákon také pro de Broglieho vlny spojené s částicemi, jako jsou elektrony.

Někdy je disperzní vztah uveden jako závislost

E=E(\mathbf {k} )

pro energii oscilačního kvanta ( foton , fonon ) nebo částice, kde je Planck-Diracova konstanta . $E=\hbar \omega$ $\hbar$

Vlnová rovnice a disperze

Při harmonickém řešení klasické vlnové rovnice nezávisí fázová rychlost na vlnovém čísle. Různé efekty vznikající v prostředí však mohou vést k výskytu dalších členů v diferenciální rovnici popisující šíření vln v tomto prostředí. Při dosazení harmonické funkce do takové rovnice můžete vidět, že je to stále řešení, ale vztah mezi frekvencí a vlnovým číslem již není lineární, což je ekvivalentní závislosti fázové rychlosti na vlnovém čísle.

Nalezení disperzního vztahu

Disperzní vztahy lze vypočítat v rámci různých modelů média.

Experimentálně nejsou přímo měřeny, ale musí být stanoveny na základě analýzy šíření vln. Například zákon rozptylu elektromagnetické vlny v určitém prostředí lze získat na základě měření frekvenční závislosti indexu lomu .

Příklady pro vlny různých typů

Rozptyl viditelného světla v optice

K disperzi dochází, pokud fázová rychlost šíření vlny závisí na jejím vlnovém čísle, ke kterému dochází, když je zákon rozptylu nelineární. Prostředí, ve kterém dochází k disperzi, se nazývá disperzní nebo disperzní prostředí . Sklo je takové médium. Lze ukázat, že nelineární disperzní vztah pro vlny šířící se ve skle vede k závislosti indexu lomu na vlnové délce .

Skleněná disperze a Snellův zákon vedou k možnosti použití skleněného hranolu jako nejjednoduššího spektrálního přístroje (viz obrázek).

Elastické vibrace atomů v řetězci

Nechť existuje jednorozměrný lineární řetězec atomů s hmotností , vzdálenost mezi nimi . Posuňme tý atom o malou vzdálenost . Vzhledem k nepatrnosti odchylky bude síla interakce atomů kvazielastická. $m$ $d$ $n$ $u_{n}$

S přihlédnutím k nejbližším sousedům lze smla působící na tý atom zapsat jako $n$

F_{n}=-\beta (u_{n}-u_{{n+1}})-\beta (u_{n}-u_{{n-1}})=\beta (u_{{n+ 1 }}-2u_{n}+u_{{n-1}}),

kde je koeficient. Pohybová rovnice pro tý atom má tvar $\beta$ $n$

ma_{n}=F_{n}\quad \Longleftrightarrow \quad m{\cfrac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}=\beta (u_{n+1 }-2u_{n}+u_{n-1})

Jeho řešení se hledá ve tvaru , kde je vlnočet, konst a je frekvence. Pak ${\displaystyle Ae^{i(kd-\omega t)))$ $k$ $A=\,$ $\omega$

-m\omega ^{2}=\beta (e^{ikd}+e^{-ikd}-2)=-2\beta (1-\cos kd)=-4\beta \sin ^ {2}(kd/2),

Odkud to pochází:

\omega =\pm \omega _{m}\sin {kd/2},\,\,

kde .

\,\,\omega _{m}=2{\sqrt {\beta /m))

To je závislost frekvence na vlnovém čísle, tedy zákon disperze, pro monatomický řetězec.

Disperzní zákony pro elektrony

Ve fyzice pevných látek zákon disperze vyjadřuje vztah mezi energií elektronu a jeho vlnovým vektorem . Takové závislosti mohou být poměrně složité. Na jejich základě se vypočítá efektivní hmotnost elektronu v různých kvantových stavech.

V polovodičích , v oblasti energie elektronů blízko minima vodivostního pásma, disperzní vztah často opakuje odpovídající výraz pro případ vakua, ale s efektivní hmotností odlišnou od hmotnosti volného elektronu: $E$ $E_{c}$ $m^{*}$

E=E_{c}+\hbar ^{2}k^{2}/2m^{*}

S přibývající energií se však výraz výrazně modifikuje.

Viz také

Vlnová disperze

Poznámky

Literatura

Stefan A. Tau. Lineární vlny v prostředí s disperzí // Nelineární vlny . — M.: Mir, 1977.