Besselovy funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. října 2021; kontroly vyžadují 5 úprav .

Besselovy funkce v matematice jsou rodinou funkcí , které jsou kanonickým řešením Besselovy diferenciální rovnice :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0,

kde je libovolné reálné číslo (v obecném případě komplexní), nazývané pořadí . $\alpha$

Nejčastěji používané Besselovy funkce jsou funkce celočíselných řádů.

I když generují stejné rovnice, většinou se shodne, že jim odpovídají různé funkce (to se dělá např. tak, že Besselova funkce je hladká v ). $\alpha$ $(-\alpha)$ $\alpha$

Besselovy funkce byly poprvé definovány švýcarským matematikem Danielem Bernoullim a pojmenovány po Friedrichu Besselovi .

Aplikace

Besselova rovnice vzniká při hledání řešení Laplaceovy rovnice a Helmholtzovy rovnice ve válcových a sférických souřadnicích. Proto se Besselovy funkce používají při řešení mnoha problémů šíření vln, statických potenciálů atd., například:

elektromagnetické vlny ve válcovém vlnovodu ;
tepelná vodivost ve válcových předmětech;
průběhy tenké kulaté membrány;
rozložení intenzity světla ohýbaného kruhovým otvorem;
rychlost částic ve válci naplněném kapalinou a rotujícího kolem své osy;
vlnové funkce ve sféricky symetrické potenciálové skříni.

Besselovy funkce se používají i při řešení jiných problémů, například při zpracování signálu.

Besselova funkce je zobecněním sinusové funkce. Lze jej interpretovat jako kmitání struny s proměnnou tloušťkou, proměnným napětím (nebo oběma podmínkami současně); kolísání prostředí s proměnlivými vlastnostmi; vibrace membrány disku atd.

Definice

Protože výše uvedená rovnice je lineární diferenciální rovnicí druhého řádu, musí mít dvě lineárně nezávislá řešení. V závislosti na okolnostech se však volí různé definice těchto rozhodnutí. Níže jsou uvedeny některé z nich.

Besselovy funkce prvního druhu

Besselovy funkce prvního druhu, označované , jsou řešení, která končí tečkou pro celé číslo nebo nezáporné . Volba konkrétní funkce a její normalizace jsou určeny jejími vlastnostmi. Tyto funkce lze definovat pomocí expanze Taylorovy řady blízko nule (nebo obecnější mocninné řady pro necelá čísla ): $J_{\alpha } (x)$ $x=0$ $\alpha$ $\alpha$

J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m)){m!\,\Gamma (m+\alpha + 1))){\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.

Zde je Eulerova gama funkce , zobecnění faktoriálu na neceločíselné hodnoty. Graf Besselovy funkce je podobný sinusové vlně , jejíž oscilace se úměrně snižují , i když ve skutečnosti nuly funkce nejsou umístěny periodicky (vzdálenost mezi dvěma po sobě jdoucími nulami však bývá u ) [1] . $\Gamma(z)$ ${\frac {1}{{\sqrt {x))))$ $\pi$ $x\to \infty$

Níže jsou uvedeny grafy pro : $J_{\alpha } (x)$ $\alpha =0,1,2$

Pokud není celé číslo, funkce a jsou lineárně nezávislé a jsou tedy řešením rovnice. Ale pokud je to celé číslo, pak platí následující vztah: $\alpha$ $J_{\alpha } (x)$ $J_{{-\alpha }} (x)$ $\alpha$

J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).

To znamená, že v tomto případě jsou funkce lineárně závislé. Pak druhým řešením rovnice bude Besselova funkce druhého druhu (viz níže).

Besselovy integrály

Další definici Besselovy funkce pro celočíselné hodnoty lze zadat pomocí integrální reprezentace: $\alpha$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \ tau )\,d\tau .

Tento přístup použil Bessel, který jej použil ke studiu některých vlastností funkcí. Je také možné jiné integrální zobrazení:

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .

Abychom našli integrální reprezentaci Besselovy funkce v případě neceločíselných funkcí , je nutné vzít v úvahu, že existuje řez podél osy úseček. Je to proto, že integrand již není -periodický. Integrační obrys je tedy rozdělen do 3 částí: paprsek od do , kde , kružnice o jednotkovém poloměru a paprsek od do v . Po provedení jednoduchých matematických transformací můžete získat následující integrální reprezentaci: $\alpha$ $2\pi$ $-\infty$ $jeden$ $\phi =-\pi$ $jeden$ $+\infty$ $\phi =\pi$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsin(\phi )-\alpha \phi )}d\phi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{ -{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r))))}{{}r^{\alpha +1}}}dr.

Je snadné vidět, že pro celá čísla tento výraz přechází do předchozího vzorce. $\alpha$

Neumannovy funkce

Neumannovy funkce jsou řešením Besselovy rovnice, nekonečné v bodě . $Y_{\alpha } (x)$ $x=0$

Tato funkce souvisí s následujícím vztahem: $J_{\alpha } (x)$

Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{{-\alpha }}(x)}{\sin(\alpha \pi )}},

kde v případě celého čísla se bere limit na , který se vypočítá například pomocí L'Hospitalova pravidla . $\alpha$ $\alpha$

Neumannovy funkce se také nazývají Besselovy funkce druhého druhu. Lineární kombinace Besselovy funkce prvního a druhého druhu je úplným řešením Besselovy rovnice:

y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).

Níže je graf pro : $Y_{\alpha } (x)$ $\alpha =0,1,2$

V řadě knih jsou Neumannovy funkce označeny . $N_{\alpha }(x)$

Sférické Besselovy funkce

Při řešení Helmholtzovy rovnice ve sférických souřadnicích metodou separace proměnných má rovnice pro radiální část tvar

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n (n+1)\vpravo)y=0.

Dvě lineárně nezávislá řešení se nazývají sférické Besselovy funkce j n a y n a souvisí s obyčejnými Besselovými funkcemi J n a Neumann Y n pomocí [2]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x) ,\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^ {n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}

y n je také označováno n n nebo η n ; někteří autoři se odkazují na tyto funkce jako sférické Neumannovy funkce .

Sférické Besselovy funkce lze také zapsat jako ( Rayleighův vzorec ) [3]

{\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\ vpravo)^{n}{\frac {\sin x}{x)),\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}

Několik prvních sférických Besselových funkcí [4] :

{\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x)),\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x} {x^{2))}-{\frac {\cos x}{x)),\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2))} -1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left( {\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15} {x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}

a Neumann [5] :

{\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x)),\\y_{1}(x )&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2))}-{\frac {\sin x}{x)),\\y_{2}( x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\vpravo){\frac {\cos x}{x}}- {\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x ^{3))}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}} -1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}

Generování funkcí

Generující funkce sférických Besselových funkcí [6] :

{\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!)}}y_{n-1} (z).\end{aligned}}

Diferenciální vztahy

V následujících vzorcích může být f n nahrazeno j n , y n , h(1)
n, h(2)
n, kde h(1)
na h(2)
n jsou sférické Hankelovy funkce, pro n = 0, ±1, ±2, ... [7] :

{\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_ {n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{nm}(z),\\\left({\frac {1}{z)){\frac {d}{ dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-nm}f_{n+m }(z).\end{aligned}}

Vlastnosti

Ortogonalita

Nechť jsou nuly Besselovy funkce . Potom [1] : ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$ $J_{\alpha }(x)$

\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{ \begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.

Asymptotika

Pro Besselovy funkce prvního a druhého druhu jsou známy asymptotické vzorce . S malými a nezápornými argumenty vypadají takto [8] : $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1)))$ $\alpha$

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)))\left({\frac {x}{2))\right)^{\alpha },

Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\ mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{ \alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\vpravo.

kde je Eulerova konstanta - Mascheroni (0,5772 ...) a je Eulerova gama funkce . Pro velké argumenty ( ) vypadají vzorce takto: $\gamma$ $\Gamma$ $x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2))- {\frac {\pi }{4}}\right),

Y_{\alpha }(x)\šipka doprava {\sqrt ({\frac {2}{\pi x))))\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2))-{ \frac {\pi }{4}}\vpravo).

Použití dalšího členu asymptotického rozšíření umožňuje výrazně zpřesnit výsledek. Pro Besselovu funkci nultého řádu to vypadá takto:

J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos(x-{\frac {\pi }{4)))+{\frac {1}{ 4x{\sqrt {2\pi x))))\sin(x-{\frac {\pi }{4)))).

Hypergeometrické řady

Besselovy funkce lze vyjádřit pomocí hypergeometrické funkce :

J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1))){}_{0}F_{1}(\alpha +1 ;-z^{2}/4).

Pro celá čísla je tedy Besselova funkce jednohodnotová analytická a pro necelá čísla je vícehodnotová analytická . $\alpha$

Generující funkce

Existuje reprezentace pro Besselovy funkce prvního druhu a celočíselného řádu z hlediska koeficientů Laurentovy řady funkce určitého typu, tj.

e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\ infty }J_{n}(z)w^{n}.

Poměry

Jacobi-Angerův vzorec a související

Získáno z výrazu pro generující funkci na , [9] : $a=1$ $w=e^{i\phi }$

e^{{iz\sin \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n}}(z)\cos(2n\ phi )+2i\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n-1}}(z)\sin(2n-1)\phi .

Pro , [9] : $a=1$ $t=ie^{{i\phi }}$

e^{{iz\cos \phi }}=J_{0}(z)+2\součet _{{n=1}}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos (n\phi).

Opakující se vztahy

Pro Besselovy funkce existuje řada rekurentních vztahů. Tady jsou některé z nich:

J_{\alpha +1}={\frac {\alpha }{x))J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}J_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)

[10] .

Sčítací teorém

Pro jakékoli celé číslo n a komplexní máme [11] $z_{1}$ $z_{2}$

J_{n}(z_{1}+z_{2})=\součet _{{k=-\infty }}^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{{nk}}( z_{2}).

Integrální výrazy

Pro libovolné a (včetně složitých), [12] $A$ $b$

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{n}(bt){\mathrm d}t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^ {2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.

Speciálním případem poslední formule je výraz

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{0}(bt){\mathrm d}t={\frac {1}{{\sqrt {a^{2}+ b^{2}}}}}.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Zubov V. I. . Besselovy funkce . - M. : MIPT, 2007. Archivovaná kopie z 24. června 2016 na Wayback Machine
↑ Abramowitz a Stegun, s. 437, 10.1.1 Archivováno 2. září 2006 na Wayback Machine .
↑ Abramowitz a Stegun, s. 439, 10.1.25, 10.1.26 Archivováno 21. prosince 2009 na Wayback Machine .
↑ Abramowitz a Stegun, s. 438, 10.1.11 Archivováno 30. dubna 2009 na Wayback Machine .
↑ Abramowitz a Stegun, s. 438, 10.1.12 Archivováno 30. dubna 2009 na Wayback Machine .
↑ Abramowitz a Stegun, s. 439, 10.1.39 Archivováno 21. prosince 2009 na Wayback Machine .
↑ Abramowitz a Stegun, s. 439, 10.1.23, 10.1.24 Archivováno 22. prosince 2019 na Wayback Machine .
↑ Arfken G. B., Hans J. W. . Matematické metody pro fyziky. 6. vyd. - San Diego: Harcourt, 2005. - ISBN 0-12-059876-0 .
↑ 1 2 Bateman, Erdeyi, 1974 , str. patnáct.
↑ V. S. Gavrilov et al. Besselovy funkce v úlohách matematické fyziky Archivováno 26. listopadu 2019 na Wayback Machine , str. 7
↑ Lavrentiev, Šabat, 1973 , str. 670.
↑ Lavrentiev, Šabat, 1973 , str. 671.

Literatura

Watson G. Teorie Besselových funkcí. — M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. . Besselovy funkce, funkce parabolického válce, ortogonální polynomy // Vyšší transcendentální funkce. T. 2. 2. vyd. / Per. z angličtiny. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1974. — 296 s.
Lavrentiev M. A., Shabat B. V. . Metody teorie funkcí komplexní proměnné. — M .: Nauka , 1973. — 736 s.