L'Hopitalovo pravidlo

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2021; kontroly vyžadují 13 úprav .

L'Hopitalova věta (také Bernoulliho - L'Hopitalovo pravidlo [1] ) je metoda pro hledání limit funkcí , odhalování neurčitostí tvaru a . Věta odůvodňující metodu říká, že za určitých podmínek je limita poměru funkcí rovna limitě poměru jejich derivací . $0/0$ $\infty /\infty$

Přesná formulace

L'Hopitalova věta:

If: jsou funkce s reálnou hodnotou diferencovatelné v punktovaném okolí bodu , kde je reálné číslo nebo jeden ze symbolů a $f(x),\,g(x)$ $U$ $A$ $A$ $+\infty ,-\infty ,\infty$

$\lim _{{x\to a}}{f(x)}=\lim _{{x\to a}}{g(x)}=0$ nebo ; $\infty$
$g'(x)\neq 0$ v ; $U$
existuje ; $\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f'(x)}{g'(x)))}$

pak existuje . $\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac {f(x)}{g(x)}}}=\lim \limits _{{x\to a}}{{\frac { f'(x)}{g'(x)}}}$

Limity mohou být i jednostranné.

Historie

Způsob, jak odhalit tento druh nejistoty, byl publikován v učebnici „Analyse des Infiniment Petits“ z roku 1696 od Guillauma Lopitala . Metodu sdělil Lopitalovi v dopise její objevitel Johann Bernoulli . [2]

Příklady

$\lim _{{x\to 0}}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{{x\to 0}}{\frac {2x+5}{3} }={\frac {5}{3}}$

$\lim _{{x\to \infty }}{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _ {{x\to \infty }}{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{{x\to \infty }}{\frac { 6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1$
Zde můžete 3x použít L'Hopitalovo pravidlo, ale můžete to udělat i jinak. Čitatele i jmenovatele je nutné dělit v největší míře (v našem případě ). Tento příklad má za následek: $X$ $x^{3}$ $\lim _{{x\to \infty }}{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1$
$\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {e^{{x}}}{x^{{a}}}}}=\lim _{{x\to +\infty } }{{\frac {e^{{x}}}{a\cdot x^{{a-1}}}}}=\ldots =\lim _{{x\to +\infty }}{{\ frac {e^{{x}}}{a!}}}=+\infty$ - uplatňování pravidla času; $A$
$\lim _{{x\to +\infty }}{{\frac {x^{{a}}}{\ln {x}}}}=\lim _{{x\to +\infty }}{ {\frac {ax^{{a-1}}}{{\frac {1}{x}}}}}=a\cdot \lim _{{x\to +\infty }}{x^{{ a}}}=+\infty$ v ; $a>0$
$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\int \limits _{x}^{+\infty }e^{-t^{2}}dt}{x^{-1 }e^{-x^{2}}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {-e^{-x^{2}}}{-x^{-2}e ^{-x^{2}}(1+2x^{2})}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{2}}{1+2x^{2} ))={\frac {1}{2))$ .

Důsledek

Jednoduchý, ale užitečný důsledek L'Hospitalova pravidla, kritéria diferencovatelnosti funkcí, je následující:

Nechť je funkce diferencovatelná v propíchnutém okolí bodu a v tomto bodě sama o sobě je spojitá a má derivační limitu . Pak je funkce diferencovatelná jak v bodě , tak (to znamená, že derivace je v bodě spojitá ). $f(x)$ $A$ $\lim _{x\to a}f'(x)=A$ $f(x)$ $A$ $f'(a)=A$ $f'(x)$ $A$

Abychom to dokázali, stačí použít L'Hopitalovo pravidlo na vztah . ${\frac {f(x)-f(a)}{xa))$

Viz také

Obdobou L'Hopitalova pravidla pro posloupnosti reálných čísel je Stolzův teorém .

Poznámky

↑ Archivovaná kopie . Datum přístupu: 14. prosince 2010. Archivováno z originálu 6. února 2009. (neurčitý)
↑ Paul J. Nahin, Imaginární příběh: Příběh , str. 216 ${\sqrt {-1}}$

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština