Tenzor energie-hybnosti

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. října 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Tenzor energie a hybnosti (EMT) je symetrický tenzor druhého stupně (valence), který popisuje hustotu a tok energie a hybnost hmotných polí [1] a určuje interakci těchto polí s gravitačním polem .

Energie-tenzor hybnosti je další relativistické zobecnění pojmů energie a hybnosti v klasické mechanice kontinua . Pojem-zobecnění jemu blízké je 4-vektor energie-hybnosti částice ve speciální teorii relativity .

Komponenty tenzoru energie-hybnosti

Tenzor energie-hybnosti lze zapsat jako skutečnou symetrickou matici 4x4:

T^{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right).

Obsahuje následující fyzikální veličiny:

T 00 - objemová hustota energie . Zpravidla by měl být kladný , nicméně existence lokálních prostorových regionů se zápornou hustotou energie je teoreticky povolena. Takovou oblast lze vytvořit zejména pomocí Casimirova efektu [2] .
T 10 , T 20 , T 30 jsou složky hustoty hybnosti násobené c .
T 01 , T 02 , T 03 jsou složky toku energie ( Poyntingův vektor ) dělené c . Vzhledem k symetrii T μν je dodržena následující rovnost: T 0μ = T μ0
3 x 3 submatice čistě prostorových složek

T^{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{21} & T^{22} & T^{ 23} \\ T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right)

je 3-rozměrný tenzor hustoty toku hybnosti nebo tenzor napětí se znaménkem mínus.

Složky tenzoru energie-hybnosti tedy mají rozměr ML −1 T −2 .

Speciální případy

V mechanice tekutin odpovídají jeho diagonální složky tlaku a ostatní složky tangenciálním silám (napětím nebo ve staré terminologii tahům) způsobeným viskozitou .

Pro kapalinu v klidu se tenzor hybnosti energie redukuje na diagonální matici , kde je hustota hmoty a hydrostatický tlak. ${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $p$

V jednoduchém případě prašné hmoty je tenzor energie-hybnosti zapsán jako

T^{ik} = \rho\, u^iu^k

kde je hmotnostní ( klidová ) hustota, jsou 4-rychlostní složky - píše se i pro nejjednodušší případ, kdy se všechny prachové částice alespoň lokálně pohybují stejnou rychlostí, a pokud tomu tak není, výraz musí lze také sčítat (integrovat) přes rychlosti. $\rho$ $u^i, u^k$

Kanonický tenzor energie-hybnosti

Ve speciální teorii relativity jsou fyzikální zákony ve všech bodech časoprostoru stejné, takže překlady 4-souřadnic by neměly měnit pohybové rovnice pole. Podle Noetherova teorému tedy musí infinitezimální časoprostorové translace odpovídat konzervovanému noetherovskému toku, který se v tomto případě nazývá kanonický EMT.

Pro Lagrangian (hustotu Lagrangeovy funkce) , který závisí na funkcích polí a jejich prvních derivacích, ale nezávisí na souřadnicích, bude akční funkcionál při překladech invariantní : $\mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i )$ ${\displaystyle \phi _{i))$

\begin{cases} x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\ \phi_i(x) \to \phi_i^{ \prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x). \end{cases}

Z Noetherovy věty bude následovat zákon zachování kanonické EMT (zapsaný v galileovských souřadnicích)

{{T_c}^\mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M)) {\partial (\partial_ {\mu} \phi_{i})} \partial_{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu ,

který vypadá jako

\partial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.

Kanonický EMT ve své plně kontravariantní formě má formu

T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L }_\mathrm{M)) {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g ^{\mu\nu} .

Tento tenzor je nejednoznačný. Vlastnost nejednoznačnosti může být použita k převedení, obecně řečeno, asymetrického tenzoru do symetrizované formy přidáním tenzorové veličiny , kde je tenzor v posledních dvou indexech antisymetrický . Opravdu, pro symetrizované EMT $T^{\mu \nu }$ $\frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\částečné x^{\lambda}}\;,$ $\psi^{\mu\nu\lambda}\;$ ${\displaystyle \psi ^{\mu \nu \lambda }=-\psi ^{\mu \lambda \nu ))$

\Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda}

automaticky se řídí zákonem zachování $\partial_\nu \Theta^{\mu\nu} = 0 .$

Metrický tenzor energie-hybnosti

V obecné teorii relativity je takzvaná metrická EMT vyjádřena jako variační derivace vzhledem k metrickému tenzoru v bodě časoprostoru z Lagrangovy hustoty akčního funkcionálu, který je invariantní při změnách souřadnic. : $T^ {\mu \nu} (x)$ $g_{\mu \nu }$ $X$

{T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g)) \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M} )}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\ mathrm{M}}{\delta g_{\mu \nu}}=

=\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \partial g_{\mu \ nu} (x)}-\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\frac {\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial\ styl zobrazení\frac{\částečné g_{\mu \nu} (x)}{\částečné x^\lambda))+\ldots\right),

kde Tento tenzor energie-hybnosti je zjevně symetrický. Metrická EMT je součástí Einsteinových rovnic jako externí zdroj gravitačního pole: $g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \right ).$

\frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R + \Lambda g_{ \mu \nu } \right ) = T_{ \mu \nu } (x),

kde je Ricciho tenzor , je skalární zakřivení . Pro tento tenzor platí v důsledku neměnnosti akce vzhledem k souřadnicovým substitucím diferenciální zákon zachování ve tvaru $R_{ \mu \nu }$ $R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu }$

T^\mu_{\nu;\mu}=0.

Tenzor energie a hybnosti v klasické elektrodynamice

V klasické elektrodynamice má tenzor energie-hybnosti elektromagnetického pole v Mezinárodní soustavě jednotek (SI) tvar:

T_{00} = \frac{\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf B \cdot \mathbf H}{2}

\begin{pmatrix} T_{01} & T_{02} & T_{03} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{10} & T_{20} & T_{30} \end{pmatrix} = \frac{1}{c} \left[ \mathbf E \times \mathbf H \right]

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}T_{00}.

Prostorové složky tvoří trojrozměrný tenzor, který se nazývá Maxwellův tenzor napětí [3] nebo Maxwellův tenzor napětí [4] . $T_{ij}$

V kovariantní formě můžeme psát:

T^{\mu\nu} = -\frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F_{\alpha}{}^{\nu} + \frac{1}{4} \ eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}]\,.