Homogenní funkce

Funkce homogenního stupně je numerická funkce taková, že pro kteroukoli doménu funkce a pro jakoukoli platí rovnost: $q$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $\lambda \in \mathbb {R}$

f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} ).\qquad \qquad (*)

Parametr se nazývá řád homogenity . Předpokládá se, že pokud je zahrnuto do definičního oboru funkce, pak jsou do definičního oboru funkce zahrnuty také všechny úhly pohledu. $q$ $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \mathbf {v}$

Jsou tu také

pozitivně homogenní funkce , pro které platí rovnost pouze pro kladné $(*)$ $\lambda$ $(\lambda >0),$
absolutně homogenní funkce , pro které platí rovnost
$f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} ),$
ohraničeně homogenní funkce , pro které platí rovnost pouze pro některé rozlišené hodnoty $(*)$ $\lambda ,$
komplexní homogenní funkce , pro které platí rovnost pro a nebo (stejně jako pro komplexní exponenty ). $f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ $(*)$ $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ $\lambda \in \mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $q\in \mathbb {C}$

Alternativní definice homogenní funkce

V některých matematických zdrojích se funkce nazývají homogenní, které jsou řešením funkcionální rovnice

F ( λ proti ) = G ( λ ) F ( proti ) {\displaystyle f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )}

f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )

s předem určenou funkcí a teprve poté se prokáže, že jednoznačnost řešení vyžaduje další podmínku, že funkce není shodně rovna nule a že funkce patří do určité třídy funkcí (například byla spojitá nebo monotónní) . Pokud je však funkce spojitá alespoň v jednom bodě s nenulovou hodnotou funkce, pak to musí být spojitá funkce pro všechny hodnoty , a tedy pro širokou třídu funkcí je tento případ jediný možný.

g(\lambda )

g(\lambda )=\lambda ^{q}.

{\displaystyle g(\lambda )=\lambda ^{q))

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

f(\mathbf {v} )

g(\lambda )

\lambda ,

f(\mathbf {v} )

{\displaystyle g(\lambda )\equiv \lambda ^{q))

Odůvodnění:

Funkce shodně rovna nule splňuje funkční rovnici pro jakoukoli volbu funkce, ale tento degenerovaný případ není zvlášť zajímavý. $f(\lambda \mathbf {v} )=g(\lambda )f(\mathbf {v} )$ $g(\lambda ),$

Pokud je v určitém okamžiku hodnota , pak: ${\mathbf {v}}_{0}$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$

$g(\lambda _{1}\lambda _{2})f(\mathbf {v} _{0})=f(\lambda _{1}\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})f(\lambda _{2}\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2 })f(\mathbf {v} _{0})$ , kde: ∀ λ jeden , λ 2 : G ( λ jeden λ 2 ) = G ( λ jeden ) G ( λ 2 ) ; {\displaystyle \forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});} $\forall \lambda _{1},\lambda _{2}:g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{ 2});$
$g(\lambda _{1}\lambda _{2})=g(\lambda _{1})g(\lambda _{2})\Leftrightarrow G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2}),$ kde $\mu =\log \lambda ,G(\mu )=\log g(\exp(\mu )).$

Funkční Cauchyova rovnice má řešení ve formě lineární funkce: navíc pro třídu spojitých nebo třídu monotónních funkcí je toto řešení jedinečné. Pokud je tedy známo, že spojitá nebo monotónní funkce, pak $G(\mu _{1}+\mu _{2})=G(\mu _{1})+G(\mu _{2})$ $G(t)=q\cdot t,$ $g(\lambda )$ $g(\lambda )\equiv \lambda ^{q}.$

Důkaz jednoznačnosti řešení funkcionální Cauchyho rovnice 1. U racionálních je to pravda , protože:

t=m/n

G(t\mu )=t\cdot G(\mu ),

a) tj

G(2\mu )=G(\mu +\mu )=G(\mu )+G(\mu )=2G(\mu ),

G(2\mu )=2G(\mu );

b) tj

2G(\mu /2)=G(\mu /2)+G(\mu /2)=G(\mu /2+\mu /2)=G(\mu ),

G(\mu /2)=(1/2)G(\mu);

atd.; 2. Protože iracionální čísla, která lze libovolně těsně „vmáčknout“ mezi dvě racionální, pro spojité nebo pro monotónní funkce, musí být vztah splněn i pro iracionální

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

t;

3. Poslední krok: měl by být nastaven poměr

G(t\mu )=t\cdot G(\mu )

\mu =1.

Poznámka: pro širší třídy funkcí může mít uvažovaná funkcionální rovnice i jiná, velmi exotická řešení (viz článek "Hamelův základ" ). Důkaz spojitosti , pokud je spojitý alespoň v jednom bodě

g(\lambda ),

f(\mathbf {v} )

Nechť je funkce spojitá v pevném bodě a zvažte identitu $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0.$

f((1+\varepsilon )\lambda _{0}\mathbf {v} _{0})=g((1+\varepsilon )\lambda _{0})f(\mathbf {v} _{0})=g(\lambda _{0})f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0}).

Když má hodnota tendenci v důsledku spojitosti funkce v bodě Od té doby to znamená, že má tendenci k , to znamená, že funkce je v bodě spojitá Protože ji může zvolit kdokoli, je spojitá ve všech bodech . $\varepsilon \to 0$ $f((1+\varepsilon )\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} _{0})$ $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0}.$ $f(\mathbf {v} _{0})\neq 0,$ $g((1+\varepsilon )\lambda _{0})$ $g(\lambda _{0}),$ $g(\lambda )$ $\lambda _{0}.$ $\lambda _{0}$ $g(\lambda )$

Důsledek: Pokud je homogenní funkce spojitá v bodě, pak bude spojitá také ve všech bodech formuláře (včetně když ). $f(\mathbf {v} )$ $\mathbf {v} _{0},$ $f(\mathbf {v} )$ ${\displaystyle \lambda \mathbf {v} _{0))$ $f(\mathbf {v} _{0})=0$

Vlastnosti

Pokud jsou homogenní funkce stejného řádu, pak jejich

lineární kombinace s konstantními koeficienty bude homogenní funkcí stejného řádu

f_{1},f_{2},\dots

q,

q.

Jsou-li homogenní funkce s objednávkami, pak jejich produkt bude homogenní funkcí s řádem

f_{1},f_{2},\dots

q_{1},q_{2},\dots ,

q=q_{1}+q_{2}+\tečky .

Jestliže je funkce homogenního řádu, pak její th mocnina (ne nutně celé číslo), pokud to dává smysl (tj. pokud je celé číslo nebo je-li hodnota kladná), bude funkce homogenního řádu na odpovídajícím oboru. Konkrétně, pokud je homogenní funkce řádu , pak to bude homogenní funkce řádu a definičního oboru v bodech, kde je definováno a není rovno nule.

F

q,

m

m

F

mq

F

q

1/f

(-q)

F

Pokud je homogenní funkcí řádu a jsou homogenními funkcemi řádu, pak superpozice funkcí bude homogenní funkcí řádu

f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)

p,

h_{k}\left(y_{1},y_{2},\tečky ,y_{m}\right)

q,

F\left(y_{1},y_{2},\tečky ,y_{m}\right)=f\left(h_{1},h_{2},\tečky ,h_{n}\ že jo)

pq.

Pokud je homogenní funkcí proměnných stupňů a nadrovina patří do jejího definičního oboru, pak funkce proměnných bude homogenní funkcí stupně

f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)

n

p,

x_{1}=x_{2}=\dots =x_{j}=0

\left(nj\right)

g\left(x_{j+1},x_{j+2},\tečky ,x_{n}\right)=f\left(0,\tečky ,0,x_{j+1}, \dots ,x_{n}\right)

p.

Logaritmus homogenní funkce nultého řádu nebo logaritmus modulu homogenní funkce nultého řádu je homogenní funkcí nultého řádu. Logaritmus homogenní funkce nebo logaritmus modulu homogenní funkce je homogenní funkcí právě tehdy, když je řád homogenity samotné funkce nulový.

Modul homogenní funkce nebo modul absolutně homogenní funkce je absolutně homogenní funkcí. Modul homogenní funkce nebo modul pozitivně homogenní funkce je pozitivně homogenní funkce. Modul homogenní funkce nultého řádu je homogenní funkcí nultého řádu. Absolutně homogenní funkce řádu nula je homogenní funkcí řádu nula a naopak.

Libovolná funkce homogenní funkce nultého řádu je homogenní funkcí nultého řádu.

Jsou-li pozitivně homogenní řádové funkce, kde a je pozitivně homogenní řádová funkce, pak tato funkce bude pozitivně homogenní řádovou funkcí ve všech bodech , ve kterých má soustava rovnic , ..., řešení. Pokud je navíc liché celé číslo, pak může být pozitivní homogenita nahrazena běžnou homogenitou. Důsledek: pokud existuje spojitá nebo monotónní funkce , a je homogenní nebo pozitivně homogenní funkce, kde je homogenní nebo pozitivně homogenní funkce

nenulového řádu, pak je mocninná funkce ve všech bodech , ve kterých má rovnice řešení. Zejména je jedinou monotónní nebo spojitou funkcí jedné proměnné, která je homogenní funkcí řádu . (Důkaz duplikuje argumenty ze sekce "Alternativní definice homogenní funkce" tohoto článku. Navíc, pokud odstraníme omezení, že funkce je spojitá nebo monotónní, pak mohou existovat jiná, velmi exotická řešení pro , viz článek "Hamelův základ" ).

h_{k}\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)

p,

p\neq 0,

f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)=g\left(h_{1},h_{2},\tečky ,h_{m}\ že jo)

q,

g\left(y_{1},y_{2},\tečky ,y_{m}\right)

q/p

y

y_{1}=h_{1}\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)

y_{m}=h_{m}\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)

p

g(y)

g\left(f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)\right)

f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)

{\displaystyle g(y)=cy^{m))

y

y=f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)

{\displaystyle f(x)=cx^{q))

q

g(y)

g(y)

Je- li funkce

polynomem v proměnných, pak bude homogenní funkcí stupně právě tehdy, když je homogenním polynomem stupně . Zejména v tomto případě musí být řád homogenity přirozené číslo nebo nula. (Pro důkaz je třeba seskupit monočleny polynomu se stejnými řády homogenity , výsledek dosadit do rovnosti a využít toho, že mocninné funkce s různými exponenty, včetně neceločíselných, jsou lineárně nezávislé.) Tvrzení lze zobecnit na případ lineárních kombinací monočlenů tvaru s neceločíselnými indexy.

F

n

q

F

q.

q

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\tečky

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Pokud je konečným součinem polynomů homogenní funkce, pak je každý faktor homogenním polynomem . (Pro důkaz volíme v každém faktoru monočleny s minimálním a maximálním řádem homogenity . Protože po vynásobení musí výsledný polynom sestávat z

monočlenů se stejným řádem homogenity, pak pro každý faktor minimální a maximální řády homogenity musí být stejné číslo.) Tvrzení lze zobecnit na případ lineárních kombinací monočlenů tvaru s neceločíselnými indexy.

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k=i_{1}+i_{2}+\tečky +i_{n))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Pokud jsou čitatel a jmenovatel zlomkové racionální funkce homogenní polynomy , bude funkce homogenní s řádem homogenity rovným rozdílu mezi řády homogenity čitatele a jmenovatele. Je-li zlomková racionální funkce homogenní, jsou jejím čitatelem a jmenovatelem až do společného faktoru homogenní polynomy . Tvrzení lze zobecnit na případ zlomkově-racionálního vztahu lineárních kombinací monočlenů tvaru s neceločíselnými indexy.

f={\frac {P_{n}(x_{1},\tečky ,x_{n})}{Q_{m}(x_{1},\tečky ,x_{m)))))

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

Homogenní funkce nenulového stupně v nule je rovna nule, pokud je tam definována: (Získá se dosazením hodnoty do rovnosti nebo v případě záporného stupně homogenity do hodnoty ) Homogenní funkce stupně nula, pokud je definována jako nula, může v tomto bodě nabývat libovolné hodnoty.

f(\mathbf {0} )=0.

(*)

\lambda =0

\mathbf {v} =0.

Pokud je homogenní funkce stupně nula spojitá v nule, pak je konstanta (libovolná). Pokud je homogenní funkce záporného stupně spojitá v nule, pak je shodně nulová. (Transformace může přiblížit libovolný bod k nule, jak chcete. Pokud je tedy funkce v nule spojitá, můžete hodnotu funkce v bodě vyjádřit prostřednictvím její hodnoty v bodě pomocí vztahu )

\mathbf {v'} =\lambda \mathbf {v}

\mathbf{v}

\mathbf{v}

\mathbf {0}

\lim _{\lambda \to 0}\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {0} ).

Homogenní funkce kladného stupně v nule inklinuje k nule v jakémkoli směru, který vstupuje do její definiční oblasti, a homogenní funkce záporného stupně inklinuje k nekonečnu, jehož znaménko závisí na směru, pokud funkce není podél daného směru shodně nulová. směr. Homogenní funkce kladného stupně je spojitá v nule nebo může být rozšířena na spojitou v nule, pokud její definiční obor zahrnuje okolí nuly. Homogenní funkce stupně nula může být buď nespojitá, nebo spojitá v nule, a pokud nespojitá, je směrově závislá konstanta podél každého paprsku s vrcholem v počátku, pokud je směr v jeho definiční oblasti. (Získá se dosazením hodnoty do rovnosti )

\varepsilon

(*)

\lambda \to 0.

Pokud je homogenní funkce v nule

analytická (tj. expanduje do konvergentní Taylorovy řady s nenulovým poloměrem konvergence), pak je to polynom ( homogenní polynom ). Zejména v tomto případě musí být řád homogenity přirozené číslo nebo nula. (Abyste to dokázali, postačí reprezentovat funkci jako Taylorovu řadu , seskupit členy Taylorovy řady se stejnými řády homogenity , dosadit výsledek do rovnosti a použít mocninné funkce s různými exponenty, včetně neceločíselných. jedničky, jsou lineárně nezávislé.)

F

cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}

{\displaystyle k_{j}=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n))

(*)

\lambda ^{k_{1)),\lambda ^{k_{2)),\tečky

Funkce , kde je funkcí proměnných, je homogenní funkce s řádem homogenity Funkce kde je funkcí proměnných, je absolutně homogenní funkce s řádem homogenity

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1})

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

(n-1)

q.

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

h(t_{2},t_{3},...,t_{n})

(n-1)

q.

Eulerův vztah : pro diferencovatelné homogenní funkce je skalární součin jejich gradientu a vektoru jejich proměnných úměrný samotné funkci s koeficientem rovným řádu homogenity: nebo, v ekvivalentní notaci, Získáno derivováním rovnosti vzhledem k

\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} )

\sum x_{k}f'_{x_{k))=qf.

(*)

\lambda

\lambda =1.

Jestliže je diferencovatelná homogenní funkce s řádem homogenity , pak její první parciální derivace vzhledem ke každé z nezávislých proměnných jsou homogenní funkce s řádem homogenity . K prokázání stačí rozlišit na pravou a levou stranu identity a identitu získat

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q-1

x_k

f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{q-1}f'_{ x_{k}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).

Jestliže je homogenní funkce s řádem homogenity , pak její integrál (za podmínky, že takový integrál existuje) nad jakoukoliv nezávislou proměnnou počínaje nulou jsou homogenní funkce s řádem homogenity . Důkaz: (zde nahrazení integrační proměnné je vyrobeno ).

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}f(t,x_{2},... ,x_{n})dt

q+1.

F(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}f(t,\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}f(\lambda t',\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}\int _{0}^{x_{1}}f(t',x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+1}F(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

Je-li homogenní funkce s řádem homogenity , pak její

zlomková derivace ( různý integrál ) řádu , vypočtená jako pro jakoukoli nezávislou proměnnou počínaje nulou (za předpokladu, že existuje odpovídající integrál, pro který je třeba vybrat ), jsou homogenní funkce s řádem homogenity Uvažujme funkci . Potom (zde se provede změna integrační proměnné ). Po násobné diferenciaci vzhledem k proměnné se funkce homogenního řádu stává homogenní funkcí s řádem homogenity .

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

\alpha

G(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha ))){\frac {d^{n }}{dx_{1}^{n}}}\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,x_{2 },...,x_{n})\,dt

n>\alpha

q-\alpha .

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t)^{n- \alpha -1}f(t,x_{2},...,x_{n})\,dt

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}(\lambda x_{1}-t)^{n-\alpha -1}f(t,\lambda x_{2},.. .,\lambda x_{n})\,dt=

\lambda \int _{0}^{x_{1}}(\lambda x_{1}-\lambda t')^{n-\alpha -1}f(\lambda t',\lambda x_ {2},...,\lambda x_{n})\,dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }\int _{0}^{x_{1}}(x_{1}-t')^{n-\alpha -1}f(t', x_{2},...,x_{n})dt'=

\lambda ^{q+n-\alpha }H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t=\lambda t'

n

x_{1}

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q+n-\alpha

q-\alpha

Jestliže je homogenní funkce s řádem homogenity , pak její rozměrová konvoluce se zobecněným abelovským jádrem, počítaná jako (za podmínky, že existuje odpovídající integrál) je homogenní funkcí s řádem homogenity . Důkaz: , kde je provedena změna integračních proměnných . (Poznámka: Snížit lze pouze část proměnných.)

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})

q

n

H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\int _{0}^{x_{1}}\tečky \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}} \dots (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\tečky dt_{n}

{\displaystyle q+\mu _{1}+\tečky +\mu _{n))

H(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=

\int _{0}^{\lambda x_{1}}\tečky \int _{0}^{\lambda x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1}^ {k_{1}}-t_{1}^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1}}\tečky (\lambda ^{k_{ n}}x_{n}^{k_{n}}-t_{n}^{k_{n}})^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f (t_{1},...,t_{n})\,dt_{1}\tečky dt_{n}=

\lambda ^{n}\int _{0}^{x_{1}}\tečky \int _{0}^{x_{n}}(\lambda ^{k_{1}}x_{1 }^{k_{1}}-\lambda ^{k_{1}}t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{ 1}}\tečky (\lambda ^{k_{n}}x_{n}^{k_{n}}-\lambda ^{k_{n}}t_{n}'^{k_{n}})^ {\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n}}f(\lambda t_{1}',...,\lambda t_{n}')\,dt_{1}' \dots dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\tečky +\mu _{n}}\int _{0}^{x_{1}}\tečky \int _{0}^{x_{ n}}(x_{1}^{k_{1}}-t_{1}'^{k_{1}})^{\left(\mu _{1}-1\right)/k_{1} }\tečky (x_{n}^{k_{n}}-t_{n}'^{k_{n)))^{\left(\mu _{n}-1\right)/k_{n} }f(t_{1}',...,t_{n}')\,dt_{1}'\tečky dt_{n}'=

\lambda ^{q+\mu _{1}+\tečky +\mu _{n}}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})

t_{k}=\lambda t_{k}'

Věta . Ve formě může být reprezentována jakákoli homogenní funkce s řádem homogenity $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

kde je nějaká funkce proměnných. Jakákoli absolutně homogenní funkce s řádem homogenity může být reprezentována jako $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x|^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},x_{3} /x_{1},...,x_{n}/x_{1}),

kde je nějaká funkce proměnných. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$

Důkaz.

Vezměte homogenní funkci stupně nula. Poté při výběru získáme konkrétní verzi požadovaného vztahu: $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda =1/x_{1}$

g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n })=g(1,x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{ n}/x_{1}).

Pro homogenní funkci stupně se tato funkce ukáže jako homogenní funkce stupně nula. Proto _ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q\neq 0,$ $g(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})/x_{1 }^{q}$ $g(x_{1},...,x_{n})=h(x_{2}/x_{1},...,x_{n}/x_{1})$ $f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot h(x_{2}/x_{1},...,x_{n} /x_{1}).$

Následek. Jakákoli homogenní stupňová funkce (absolutně homogenní stupňová funkce ) může být reprezentována ve tvaru $q$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})\cdot h (\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_ {n}),...,\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})),

kde je nějaká vhodná funkce proměnných, je pevná homogenní funkce stupně (pevná absolutně homogenní funkce stupně ), a , ..., jsou pevné funkčně nezávislé homogenní funkce nulového stupně. Pro pevnou volbu funkcí tato reprezentace definuje vzájemnou korespondenci mezi homogenními stupňovými funkcemi proměnných a funkcemi proměnných . $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$ $\phi (x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $q$ $\phi _{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $\phi _{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ $\phi _{n-1}(x_{1},x_{2},...,x_{n}))$ ${\displaystyle \phi ,\phi _{1},\phi _{2},...,\phi _{n-1))$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $q$ $n$ $h(t_{1},t_{2},...,t_{n-1})$ $(n-1)$

Eulerův teorém pro homogenní funkce . Aby diferencovatelná funkce byla homogenní funkcí s řádem homogenity , je nutné a postačující , aby platil Eulerův vztah $f(x_1,x_2,...,x_n)$ $q,$

\součet x_k f'_{x_k}(x_1,x_2,...,x_n) = qf(x_1,x_2,...,x_n).

Důkaz.

Nutnost získáme z diferenciace rovnosti pro Abychom prokázali dostatečnost, vezmeme funkci pro „zmrazené“ Rozlišujme ji s ohledem na $(*)$ $\lambda =1.$ $\varphi (\lambda )=\lambda ^{-q}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}.$ $\lambda :$

\varphi '(\lambda )=-q\lambda ^{-q-1}f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})+ \lambda ^{-q}\součet f'_{x_{k}}(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})x_{k}.

Na základě podmínky získáme a Konstanta je určena z podmínky Výsledkem je $\sum (\lambda x_{k})\cdot f'_{x_{k))(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n}) =qf(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})$ $\varphi '(\lambda )=0$ $\varphi (\lambda )=c=konst.$ $C$ $\varphi (1)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$ $\lambda ^{q}\varphi (\lambda )=f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{q} f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$

Následek. Pokud je funkce diferencovatelná a v každém bodě prostoru platí vztah homogenity v určitém rozsahu hodnot , pak platí pro všechny $(*)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]\subset \left[0,\infty \right),$ $\lambda>0.$

Důkaz.

Rozlišujte vztah vzhledem k bodu $(*)$ $\lambda$ $\lambda =\lambda _{0}:$

\sum x_{k}f'_{x_{k))(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0 }x_{n})=q\lambda _{0}^{q-1}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})={\frac {q}{\ lambda _{0}}}f(\lambda _{0}x_{1},\lambda _{0}x_{2},...,\lambda _{0}x_{n}).

To znamená, že v bodě platí Eulerův vztah a vzhledem k libovolnosti bodu je bod také libovolný. Zopakováním výše uvedeného důkazu Eulerovy věty o homogenní funkci dostaneme, že vztah homogenity platí v bodě a pro libovolný bod lze zvolit takový bod, aby se bod shodoval s jakýmkoli předem určeným bodem v prostoru. V každém bodě prostoru je tedy vztah splněn pro jakýkoli ${\displaystyle y_{k}=\lambda _{0}x_{k))$ $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $\lambda >0.$ $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $(*)$ $\lambda >0.$

Lambda homogenní funkce

Nechť je dán vektor Funkce proměnných se nazývá -homogenní s řádem homogenity , pokud pro jakoukoli a jakoukoli identitu $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}).$ $n$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $q$ $t>0$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n))$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{q}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).

Pro -homogenní funkce přecházejí na běžné homogenní funkce. Někdy se místo řádu homogenity zavádí stupeň homogenity , který se určuje ze vztahu $\lambda _{k}=1$ $\lambda$ $q$ $m$

f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},...,t^{\lambda _{n}}x_ {n})=t^{m{\frac {|\mathbf {\lambda } |}{n}}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),

kde Pro běžné homogenní funkce jsou řád homogenity a stupeň homogenity stejné. $|\mathbf {\lambda } |=\sum |\lambda _{k}|.$ $q$ $m$

Pokud jsou parciální derivace spojité v , pak pro -homogenní funkce platí vztah zobecňující

Eulerův vztah a získaný derivací identity pro -homogenitu v bodě :

f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})

\mathbb {R} ^{n}

\lambda

\lambda

t = 1

\sum \lambda _{x}x_{k}f'_{x_{k}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=qf(x_{1 },x_{2},...,x_{n}).

Stejně jako v případě běžných homogenních funkcí je tento vztah nezbytný a postačující k tomu, aby funkce byla -homogenní funkcí s vektorem a řádem homogenity $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q.$ $\varphi (t)=t^{-q}f(t^{\lambda _{1}}x_{1},t^{\lambda _{2}}x_{2},... ,t^{\lambda _{n}}x_{n})$ $\varphi (t)\equiv \varphi (1).$

Jestliže je -homogenní funkce s vektorem a řádem homogenity , pak je to také -homogenní funkce s vektorem a řádem homogenity (vyplývá ze substituce do identity za -homogenitu nového parametru ). Z tohoto důvodu se při zvažování -homogenních funkcí stačí omezit na případ . Zejména lze normalizaci zvolit tak, aby se řád homogenity rovnal předem stanovené hodnotě. Navíc bez ztráty obecnosti to můžeme předpokládat $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\alpha \lambda _{1},\alpha \lambda _{2},...,\alpha \lambda _{n})$ $\alpha q$ $\lambda$ ${\displaystyle t'\to t^{\alpha ))$ $\lambda$ $\sum |\lambda _{k}|=konst.$ $\sum |\lambda _{k}|$ $q$ $\lambda _{k}\neq 0.$

Při změně proměnných se -homogenní funkce s vektorem a řádem homogenity transformuje na obyčejnou homogenní funkci s řádem homogenity . Z toho vyplývá, že obecná reprezentace pro -homogenní funkce s vektorem a řádem homogenity je: $x_{k}=y_{k}^{\lambda _{k))$ $\lambda$ $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$ $g(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ $q$ $\lambda$ $\mathbf {\lambda } =(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n})$ $q$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q/\lambda _{1}}\cdot h(x_{2}^{ 1/\lambda _{2}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}},x_{3}^{1/\lambda _{3}}/x_{1}^{1/ \lambda _{1}},\ldots ,x_{n}^{1/\lambda _{n}}/x_{1}^{1/\lambda _{1}}),

kde je nějaká funkce proměnných. $h(t_{2},t_{3},...,t_{n})$ $(n-1)$

Zdroj: Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky, Vyšší matematika: učebnice pro univerzity (ve 3 svazcích), V.2: Diferenciální a integrální počet ( http://www.sernam.ru/lect_math2.php Archivní kopie z října 1, 2012 u Wayback Machine ), oddíl 8.8.4.

Eulerův operátor

Diferenciální operátor

{\displaystyle x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2))}+\ldots + x_{n}{\frac {\částečné f}{\částečné x_{n))))

někdy nazývaný Eulerův operátor, analogicky s Eulerovou identitou pro homogenní funkce. Z výše uvedené Eulerovy věty pro homogenní funkce vyplývá, že vlastní funkce tohoto operátoru jsou homogenní funkce a pouze ony, a vlastní hodnota pro takovou funkci je řádem homogenity.

V souladu s tím jsou funkce, které mění Eulerův operátor na konstantu, logaritmy homogenních funkcí a pouze ony. Funkce, které zmizí z Eulerova operátoru, jsou homogenní funkce nultého řádu a pouze ony ( logaritmus homogenní funkce nultého řádu je sám o sobě homogenní funkcí nultého řádu).

Podobně pro diferenciální operátor

{\displaystyle \lambda _{1}x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+\lambda _{2}x_{2}{\frac {\partial f}{ \částečné x_{2))}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}{\frac {\částečné f}{\částečné x_{n))))

vlastní funkce jsou -homogenní funkce s vektorem a pouze ony, a vlastní číslo je řád homogenity -homogenní funkce. Tento diferenciální operátor je převeden na konstantu

logaritmy -homogenních funkcí s vektorem a žádnými jinými funkcemi.

\lambda

(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})

\lambda

\lambda

(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})

Dalším zobecněním Eulerova operátoru je diferenciální operátor

\lambda _{1}x_{1}^{\mu _{1}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+\lambda _{2}x_{2} ^{\mu _{2}}{\frac {\částečné f}{\částečné x_{2}}}+\ldots +\lambda _{n}x_{n}^{\mu _{n}}{ \frac {\partial f}{\partial x_{n}}},

který se změnou na Eulerův operátor redukuje na at Také všechny diferenciální operátory formuláře se změnou redukují na Eulerův operátor ${\displaystyle y_{1}{\frac {\partial f}{\partial y_{1))}+y_{2}{\frac {\partial f}{\partial y_{2))}+\ldots + y_{n}{\frac {\částečné f}{\částečné y_{n))))$ $y_{k}=\exp \left({\frac {x^{1-\mu _{k))}{\lambda _{k}\left(1-\mu _{k}\right )}}\že jo)$ $\mu _{k}\neq 1;$ $y_{k}=x^{1/\lambda _{k))$ $\mu _{k}=1.$ $y_{k}=\exp \left(\int _{a_{k))^{x}{\frac {dt}{h_{k}(t)))\right)$ $h_{1}(x_{1}){\frac {\částečné f}{\částečné x_{1))}+h_{2}(x_{2}){\frac {\částečné f}{ \částečné x_{2))}+\ldots +h_{n}(x_{n}){\frac {\částečné f}{\částečné x_{n))}.$

Zdroj: Chi Woo, Igor Khavkine, Eulerův teorém o homogenních funkcích Archivováno 2. srpna 2012 na Wayback Machine ( PlanetMath.org )

Ohraničeně homogenní funkce

O funkci se říká, že je omezeně homogenní s exponentem homogenity vzhledem k množině kladných reálných čísel (tzv. množina homogenity), pokud identita platí pro všechny a pro všechny $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $q$ $\lambda$ ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\lambda \in \Lambda$

f(\lambda {\vec {x)))=\lambda ^{q}f({\vec {x))).

Množina homogenity vždy obsahuje jednotku. Množina homogenity nemůže obsahovat libovolně malý spojitý segment — jinak se ohraničeně homogenní funkce ukáže jako obyčejná homogenní funkce (viz níže část „Některé funkční rovnice související s homogenními funkcemi“). Proto jsou zajímavé ty omezeně homogenní funkce, pro které a pro které je množina homogenity čistě diskrétní. $\lambda$ $\lambda$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right]$ ${\displaystyle \Lambda \neq \{1\))$ $\lambda$

Příklad 1. Funkce je omezeně homogenní s exponentem homogenity vzhledem k množině , kde jsou celá čísla. $f(x)=x^{q}\sin(\log |x|)$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi m}\},$ $m$

Příklad 2. Funkce je omezeně homogenní s exponentem homogenity vzhledem k množině , kde jsou celá čísla. $f(x,y,z)=(x^{2}+2y^{2}+3z^{2})^{q/2}\cos(\log {\sqrt {x^{2 }-xy+y^{2}}})$ $q$ $\Lambda =\{e^{2\pi k}\},$ $k$

Teorém. Aby funkce definovaná v byla omezeně homogenní s řádem homogenity , je nutné a postačující , aby měla tvar $f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),$ $x_{1}>0,$ $q,$

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log x_{1},x_{2}/x_ {1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),

kde je funkce, která je

periodická v proměnné s alespoň jednou periodou nezávislou na V tomto případě se množina homogenity skládá z čísel , kde jsou periody funkce nezávislé na

H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n})

y

t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.

\lambda

\{e^{Y_{k))\},

Y_{k}

H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),

t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}.

Důkaz. Dostatečnost se ověřuje přímo, nezbytnost musí být prokázána. Udělejme změnu proměnných

x_{1},x_{2},...,x_{n}\to x_{1},t_{2},...,t_{n},

kde

t_{k}=x_{k}/x_{1},

takže Pokud nyní uvažujeme funkci, pak z podmínky homogenity získáme pro všechny přípustné rovnost $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n}).$ $h(x_{1},t_{2},...,t_{n})=g(x_{1},t_{2},...,t_{n})/x_{1 }^{q},$ $x_{1}$

h(\lambda x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{1},t_{2},t_{3},...,t_{ n}),

který bude platný, když Pokud se pouze množina neskládá pouze z jednoho, pak po nahrazení , funkce $\lambda \in \Lambda .$ $\lambda$ $x_{1}=\exp(y)$

H(y,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},...,t_{n})=h(x_{ 1},t_{2},...,t_{n})

se ukáže jako periodické v proměnné s nenulovou periodou pro kteroukoli zvolenou pevným způsobem, protože výše uvedená rovnost implikuje vztah $y$ $\log \lambda$ $\lambda \in \Lambda ,$

H(\log x_{1}+\log \lambda ,t_{2},...,t_{n})=H(\log x_{1},t_{2},..., t_{n}).

Je zřejmé, že zvolená pevná hodnota bude periodou funkce najednou pro všechny $\log \lambda$ $H(y,t_{2},...,t_{n})$ $t_{2},...,t_{n}.$

Důsledky:

Pokud existuje nejmenší kladná perioda nezávislá na pak má množina homogenity tvar kde jsou libovolná celá čísla. (Pokud je nejmenší kladná perioda funkce, pak všechny jsou její periody, takže čísla budou zahrnuta do množiny homogenity. Pokud existuje taková hodnota homogenity, něco se ukáže jako kladná perioda, nezávisle na tom, být menší než ) $Y>0,$ $t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n},$ $\lambda$ $\{e^{mY}\},$ $m=0,\pm 1,\pm 2,\tečky$ $Y$ $H(y,...),$ $Y_{m}=mY$ $\{e^{mY}}\}$ $\lambda _{*}=e^{Y_{*)),$ $e^{mY}<e^{Y_{*}}<e^{(m+1)Y},$ $Y_{*}-mY$ $t_{2},...,t_{n},$ $Y.$
Pokud je funkce vzhledem k proměnné konstanta, pak nemá nejmenší kladnou periodu (jakékoli kladné číslo je její periodou). V tomto případě nezávisí na proměnné a funkce je obyčejná pozitivně homogenní funkce (alespoň). Nastavená homogenita je v tomto případě celá kladná poloosa (alespoň). $H(y,\ldots )$ $y,$ $H(y,\ldots )$ $y,$
$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(x_{2}/x_{1},x_{3 }/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})$
$\lambda$ $\lambda >0$
Jsou možné exotické případy, kdy periodická funkce nemá nejmenší kladnou periodu, ale zároveň není konstanta. Například

Dirichletova funkce , rovna 1 v racionálních bodech a rovna 0 v iracionálních bodech, má periodu libovolného racionálního čísla. V tomto případě může mít soubor homogenity poměrně složitou strukturu. Pokud však pro každou sadu hodnot má periodická funkce limit v proměnné alespoň v jednom bodě, má tato funkce buď nejmenší kladnou periodu (a všechny ostatní periody jsou násobky nejmenší kladné periody) nebo je konstanta v proměnné

H(y,...)

\lambda

{\displaystyle t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n))

H(y,...)

y

y

Ohraničeně homogenní funkce definované v mají tvar s vhodně zvolenou funkcí periodickou v proměnné

x<0,

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(-x_{1})^{q}\cdot H(\log(-x_{1}), x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1})

H(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),

y

Ohraničeně homogenní funkce definované na celé reálné ose mínus bod mají tvar se správně zvolenou funkcí periodické v proměnné (kde zápis zdůrazňuje, že pro interval hodnot a pro interval hodnot obecně řečeno různé periodické funkce jsou vybrány, každý s doménou definice , ale nutně se stejnou periodou).

x=0,

f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=|x_{1}|^{q}\cdot H_{\pm }(\log |x_{1} |,x_{2}/x_{1},x_{3}/x_{1},\ldots ,x_{n}/x_{1}),

H_{\pm }(y,t_{2},t_{3},\ldots ,t_{n}),

y

H_{\pm }(\ldots )

x_{1}>0

x_{1}<0

H(y)

y\in (-\infty ,+\infty )

Vzorec je univerzální, ale neodráží rovnost všech proměnných. Je možné reprezentovat funkci tak , že perioda funkce je rovna normalizačnímu faktoru nezávisí na a funkce je zvolena jako pevná. S takovým zápisem získávají tvar ohraničeně homogenní funkce _ _ _

f(x_{1},...,x_{n})=x_{1}^{q}\cdot H(\log |x_{1}|,x_{2}/x_{1} ,\ldots ,x_{n}/x_{1}),

H(y,t_{2},\tečky ,t_{n}\ldots )

G\left(w\cdot y+\log W(t_{2},\tečky ,t_{n}),t_{2},\tečky ,t_{n}\right),

G\left(t,t_{2},\tečky ,t_{n}\right)

2\pi ,

w

t_{2},\dots ,t_{n},

W(t_{2},\tečky ,t_{n})

f(x_{1},...,x_{n})=F(\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{1},\ldots ,x_{ n}),

F(y,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})

q

{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n))

2\pi

y,

Q(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),

w

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},

m=0,\pm 1,\pm 2,\tečky

Rozšířením periodické funkce z předchozího odstavce na Fourierovu řadu můžeme získat výraz Tento vzorec je nejobecnějším způsobem zápisu pro po částech spojité ohraničeně homogenní funkce s řádem homogenity a množinou homogenity . Zejména nahrazení pevné funkce sadou libovolných homogenních funkcí nepřidá tomuto vzorci obecnost, ale pouze diverzifikovat formu reprezentace pro stejnou omezeně homogenní funkci.

F(y,x_{1},\ldots ,x_{n})

A_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\součet A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cos k\log Q(x_ {1},\ldots ,x_{n})+B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})\sin k\log Q(x_{1},\ldots ,x_{n} ),

A_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})

B_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})

q,

Q(x_{1},\ldots ,x_{n})

w,

\Lambda =\{e^{mY}\},

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\},

m

q

\Lambda =\{e^{2\pi m/w}\}.

Q(x_{1},\ldots ,x_{n})

Q_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})

Bibliografie: Konrad Schlude, Bemerkung zu beschränkt homogenen Funktionen . - Elemente der Mathematik 54 (1999).

Informační zdroj: J.Pahikkala. Ohraničeně homogenní funkce Archivováno 23. srpna 2012 na Wayback Machine ( PlanetMath.org ).

Přidružené homogenní funkce

[sekce dosud nenapsána]

Zdroj: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Homogenní funkce a jejich aplikace. Advances in Mathematical Sciences, vol. 10 (1955) no. 3, str. 3-70.

Vzájemně homogenní funkce

[sekce dosud nenapsána]

Zdroj: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro. Homogenní funkce a jejich aplikace. Advances in Mathematical Sciences, vol. 10 (1955) no. 3, str. 3-70.

Některé funkcionální rovnice související s homogenními funkcemi

1. Nechat

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\tečky ,\lambda x_{n}\right)=C\left(\lambda \right)f\left(x_{1 },x_{2},\tečky ,x_{n}\vpravo)

pro nějakou funkci na intervalu Jaká by měla být funkce $C\left(\lambda\right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$ $f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\vpravo)?$

Řešení. Rozlišujte obě strany tohoto vztahu s ohledem na Dostáváme $\lambda .$

x_{1}{\frac {\částečné f(\lambda x_{1},\tečky ,\lambda x_{n})}{\částečné (\lambda x_{1)))))+x_{ 2 }{\frac {\částečné f(\lambda x_{1},\tečky ,\lambda x_{n})}{\částečné (\lambda x_{2)))))+\tečky +x_{n} {\ frac {\částečné f(\lambda x_{1},\tečky ,\lambda x_{n})}{\částečné (\lambda x_{n)))))={\frac {\částečné C\left (\lambda \right)}{\částečný \lambda }}f(x_{1},\tečky ,x_{n}).

Rozlišujme obě strany stejného vztahu s ohledem na získání vztahů $x_{k},$

\lambda {\frac {\částečné f(\lambda x_{1},\tečky ,\lambda x_{n})}{\částečné (\lambda x_{k)))))=C\left( \ lambda \right){\frac {\částečné f(x_{1},\tečky ,x_{n})}{\částečné x_{k))}.

Odtud

{\frac {1}{f(x_{1},\tečky ,x_{n)))))\left(x_{1}{\frac {\částečné f(x_{1},\tečky) , x_{n})}{\částečné x_{1))}+\tečky +x_{n}{\frac {\částečné f(x_{1},\tečky ,x_{n})}{\částečné x_ { n}}}\right)={\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\částečné C\left(\lambda \right)}{\částečné \lambda } } .

Pravá strana závisí pouze na levé straně závisí pouze na Proto jsou obě rovny stejné konstantě, kterou označíme Z podmínek a podmínek vyplývá, že je tedy homogenní funkce s parametrem homogenity . jsou posuzovány samostatně a nejsou zajímavé. $\lambda ,$ $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}$ $q.$ ${\frac {\lambda }{C\left(\lambda \right)}}{\frac {\částečné C\left(\lambda \right)}{\částečné \lambda }}=q$ $C\left(1\right)=1$ $C\left(\lambda \right)=\lambda ^{q}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)$ $q.$ $C\left(\lambda \right)\equiv 0$ $f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)\equiv 0$

Poznámka. Není nutné používat podmínku , obecně řečeno, původně nespecifikovanou, a také vynutit, aby byla funkce uvažována mimo interval . Od rovnosti $C\left(1\right)=1,$ $C\left(\lambda\right)$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right].$

{\frac {1}{f))\left(x_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}+x_{2}{\frac {\partial f} {\částečné x_{2))}+\tečky +x_{n}{\frac {\částečné f}{\částečné x_{n))}\right)=q

podle Eulerovy věty o homogenních funkcích z toho také vyplývá, že jde o homogenní funkci s parametrem homogenity.Z toho zejména vyplývá, že platí-li vztah homogenity pro určitý interval, pak platí pro všechny $f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)$ $q.$ $\lambda \in \left[\lambda _{0}-\varepsilon ,\lambda _{0}+\varepsilon \right],$ $\lambda>0.$

2. Nechat

f\left(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\tečky ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)

pro některé pevné a libovolné hodnoty Jaká by měla být funkce $C\neq 0,$ $\lambda \neq 1$ $x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}.$ $f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\vpravo)?$

Řešení. Pokud se pak problém redukuje na funkční rovnici nižší dimenze $x_{1}=0,$

f\left(0,\lambda x_{2},\tečky ,\lambda x_{n}\right)=Cf\left(0,x_{2},\tečky ,x_{n}\right) ,

až se to zredukuje na případ se zřejmou odpovědí . Proto dále můžeme uvažovat pouze případ $f\left(0,0,\tečky ,0\right)=Cf\left(0,0,\tečky ,0\right)$ $f\left(0,0,\tečky ,0\right)=0.$ $x_{1}\neq 0.$

Provedeme změnu proměnných , pak má tvar i funkcionální rovnice $x_{1}=y,$ $x_{2}=t_{2}\cdot y,$ $x_{3}=t_{3}\cdot y,$ $x_{n}=t_{n}\cdot y.$ $f(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})\to F(y,t_{2},\tečky ,t_{n})$

F\left(\lambda y,t_{2},\tečky ,t_{n}\right)=CF\left(y,t_{2},\tečky ,t_{n}\right).

Měli bychom samostatně uvažovat případy a a a Nechat a Potom, po logaritmování obou částí rovnosti a nahrazení, získáme podmínku $C>0$ $C<0,$ $\lambda >0$ $\lambda <0,$ $y>0$ $y<0.$ $C>0,$ $\lambda >0$ $y>0.$ $\log y\to t,$ $\log F(y,\tečky )\to \Phi (t,\tečky )$

\Phi \left(t+\log \lambda ,\tečky \right)=\log C+\Phi \left(t,\tečky \right),

odkud plyne, že má tvar kde je funkce periodická v proměnné s tečkou . $\Phi \left(t,\tečky \right)$ $\Omega \left(t,\dots \right)+{\frac {\log C}{\log \lambda }}t,$ $\Omega \left(t,\tečky \right)$ $t$ $\log \lambda .$

f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log x_{1},{\frac {x_{2}}{ x_{1}}},\tečky {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\vpravo)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{ \log \lambda}}\right),

kde je funkce, která je periodická v proměnné s periodou a splňuje požadovaný funkční vztah pro $\Omega \left(t,\tečky \right)$ $t$ $\log \lambda ,$ $x_{1}>0.$

Pro semiaxis je použita náhrada a po podobném uvažování dostáváme konečnou odpověď: $x_{1}<0$ $\log(-y)\to t$

a) pokud pak

x_{1}>0

f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)=\Omega _{+}\left(\log(+x_{1}),x_{2 }/x_{1},\tečky x_{n}/x_{1}\vpravo)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(+x_{1})}{\log \lambda }}\že jo),

b) pokud pak

x_{1}<0

f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)=\Omega _{-}\left(\log(-x_{1}),x_{2 }/x_{1},\tečky x_{n}/x_{1}\vpravo)\exp \left({\frac {\log C\cdot \log(-x_{1})}{\log \lambda }}\že jo),

nebo ve zkratce

f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\tečky {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log C\cdot \ log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

kde zápis zdůrazňuje, že pro a pro jsou obecně řečeno dvě různé periodické funkce a , každá s definičním oborem a různými hodnotami pro tento obor, ale zároveň se stejnou periodou. $\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,\tečky \right)$ $x_{1}>0$ $x_{1}<0$ $\Omega _{+}\left(t,\tečky \right)$ $\Omega _{-}\left(t,\tečky \right)$ $t\in (-\infty ,+\infty )$

Případ je zjednodušen tím, že z řetězce vztahů $C<0,$ $\lambda >0$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\tečky ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\tečky ,t_{n }\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\tečky ,t_{n}\right)

následuje případ, který jsme již zvažovali. Funkci lze tedy zapsat jako $f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)=\Omega _{\pm }\left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\tečky {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\ cdot \log |x_{1}|}{\log \lambda }}\right),

kde je nějaká funkce, která je periodická v proměnné s periodou Dosazení tohoto výrazu do původní rovnice ukazuje, že nejde jen o periodickou funkci s periodou, ale o antiperiodickou funkci s periodou $\Omega _{\pm }\left(t,\tečky \right)$ $t$ $2\log \lambda .$ $\Omega _{\pm }\left(t,\tečky \right)$ $2\log \lambda ,$ $\log \lambda :$

\Omega _{\pm }\left(t+\log \lambda ,\tečky \right)=-\Omega _{\pm }\left(t,\tečky \right)

(Je zřejmé, že antiperiodicita s tečkou znamená periodicita s tečkou ). Opak je zřejmý: uvedený vzorec s antiperiodickou funkcí splňuje požadovanou funkcionální rovnici. $\log \lambda$ $2\log \lambda$ $\Omega _{\pm }\left(t,\tečky \right)$

Pouzdro má navíc tu vlastnost, že se poloosy a poloosy navzájem ovlivňují. Zvažte případ Potom z řetězce vztahů $\lambda <0$ $y<0$ $y>0$ $y>0.$

F\left(\lambda ^{2}y,t_{2},\tečky ,t_{n}\right)=CF\left(\lambda y,t_{2},\tečky ,t_{n }\right)=C^{2}F\left(y,t_{2},\tečky ,t_{n}\right)

z toho vyplývá, že pro , funkce musí mít tvar $x_{1}>0$ $f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)$

f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2} }{x_{1}}},\tečky {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\vpravo)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_ {1}|}{\log |\lambda |}}\right),

kde je funkce, která je periodická v proměnné s periodou a definičním oborem. Od té doby je každý kladný bod jedna ku jedné se záporným bodem s hodnotou funkce rovnou . Výsledkem je, že s přihlédnutím k periodicitě funkce je funkce vypočtena jako $\Omega \left(t,\tečky \right)$ $t$ $2\log |\lambda |$ $t\in (-\infty ,+\infty ).$ $\lambda <0,$ $x_{1}>0$ $\lambda x_{1}<0$ $Cf\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\vpravo).$ $\Omega \left(t,\tečky \right)$ $f\left(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}\right)$

a) při

x_{1}>0:

f(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})=\Omega \left(\log |x_{1}|,{\frac {x_{2}}{x_{ 1}}},\tečky {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\vpravo)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}| }{\log |\lambda |}}\right),

b) kdy

x_{1}<0:

f(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})=znak(C)\cdot \Omega \left(\log |x_{1}|+\log |\lambda | ,{\frac {x_{2}}{x_{1}}},\tečky {\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)\exp \left({\frac {\log |C|\cdot \log |x_{1}|}{\log |\lambda |}}\right),

kde je funkce periodická v proměnné s periodou Je snadné ověřit , že takto definovaná funkce pro případ skutečně splňuje požadovanou funkcionální rovnici jak pro $\Omega \left(t,\tečky \right)$ $t$ $2\log |\lambda |.$ $f(x_{1},x_{2},\tečky,x_{n})$ $\lambda <0$ $x_{1}>0,$ $x_{1}<0.$

Poznámka. Pokud některá funkce splňuje zadanou funkcionální rovnici pro některé , pak je snadné vidět, že splňuje stejnou funkcionální rovnici pro jiné množiny hodnot . V tomto případě tedy bude množina takových párů pro všechny nenulové celočíselné hodnoty . _ _ _ _ _ _ Nahrazení přináší zobrazení ohraničeně homogenních funkcí do obvyklé podoby. $C_{0},\lambda _{0},$ $\left(C,\lambda\right).$ $C_{0}>0,\lambda _{0}>0$ $\lambda _{k}=\lambda _{0}^{k/m},$ ${\displaystyle C_{k}=C_{0}^{k/m))$ $k=\pm 1,\pm 2,\tečky ,$ $m$ $|\log \lambda _{0}|/m$ $\Omega _{\pm }\left(t,\dots \right).$ ${\displaystyle q=\log C_{0}/\log \lambda _{0))$ $C_{0}=\lambda _{0}^{q},$ $C_{k}\equiv \left(\lambda _{k}\right)^{q},$ $\exp \left({\frac {\log C\cdot \log x_{1}}{\log \lambda }}\right)\to x_{1}^{q}$

3. Další funkcionální rovnice jsou k dispozici v částech "Přidružené homogenní funkce" a "Vzájemně homogenní funkce" tohoto článku.

Homogenní zobecněné funkce

Zobecněné funkce nebo distribuce jsou definovány jako lineární spojité funkcionály definované na prostoru „dostatečně dobrých“ funkcí. V případě homogenních zobecněných funkcí je vhodné použít prostor funkcí , které mají derivace libovolného řádu a klesají rychleji než jakýkoli stupeň jako „dostatečně dobré" funkce. V tomto případě je jakákoli běžná funkceintegrovatelná v libovolné konečné oblasti spojena s funkční $\mathbb{S}$ $\varphi (x)=\varphi (x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}),$ $\left|x\right|\to \infty$ ${\frac {1}{\left|x\right|}}.$ $f(x)$

T_{f}\left[\varphi \right]=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\varphi (x)dx,

definované v prostoru a zjevně lineární a spojité. Zobecněné funkce umožňují zjednodušit zvažování mnoha problémů analýzy (například jakákoli zobecněná funkce má derivace libovolného řádu, připouští Fourierovu transformaci atd.), jakož i legitimizovat takové exotické objekty, jako je funkce - a její deriváty . . $\varphi \in \mathbb {S}$ $\delta$

Pro běžné integrovatelné funkce , které jsou homogenní s exponentem homogenity , platí snadno ověřitelná identita $f(x_{1},\tečky ,x_{n}),$ $q,$

T_{f}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\tečky ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{f}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ tečky ,x_{n}\vpravo)\vpravo].\qquad \qquad \qquad (**)

Tato identita je brána jako definice zobecněné homogenní funkce: homogenní zobecněná funkce s exponentem homogenity (obecně řečeno komplexní) je lineární spojitý funkcionál definovaný v prostoru a splňující identitu (**). $q$ $\varphi \in \mathbb {S}$

Přidružené homogenní zobecněné funkce jsou definovány podobným způsobem. Přidružená homogenní zobecněná uspořádaná funkce s exponentem homogenity je lineární spojitý funkcionál, který pro libovolný splňuje vztah $T_{k}\left[\varphi \right]$ $k$ $q$ $\lambda >0$

T_{k}\left[\varphi \left({\frac {x_{1)){\lambda )),{\frac {x_{2)){\lambda )),\tečky ,{\ frac {x_{n}}{\lambda }}\right)\right]=\lambda ^{q+n}T_{k}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2},\ tečky ,x_{n}\right)\right]+\lambda ^{q+n}\log \lambda \cdot T_{k-1}\left[\varphi \left(x_{1},x_{2} ,\tečky ,x_{n}\vpravo)\vpravo],

kde je nějaká přidružená homogenní zobecněná funkce tého řádu s exponentem homogenity $T_{k-1}\left[\varphi \right]$ $(k-1)$ $q.$ $q$ $q.$

Příklad. Zobecněná funkce je homogenní zobecněná funkce s exponentem homogenity od $\delta (x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})$ $(-n)$ $\delta [\varphi ({x_{1}}/\lambda ,{x_{2}}/\lambda ,\dots ,{x_{n}}/\lambda )]=\varphi (0,0 ,\dots ,0)=\delta [\varphi (x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})].$

Studium homogenních zobecněných funkcí umožňuje dát smysluplný význam integrálům se singulárními singularitami, které nejsou integrovatelné v obvyklém smyslu. Uvažujme například zobecněnou funkci. Tato funkcionalita je definována pro a jak lze snadno zkontrolovat, jedná se o homogenní zobecněnou funkci s exponentem homogenity . S pevnou volbou testovací funkce lze hodnotu považovat za funkci komplexní proměnné a obecně lze v ní analyticky pokračovat mimo daný rozsah. Totiž pravá a levá strana rovnosti $T_{q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx.$ $Re(q)>-1$ $q.$ ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $\varphi \left(x\right)$ $q$

\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+ \int _{0}^{1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k) }(0)}{k!}}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1) }},

jsou analytické v proměnné a identicky si rovny pro . Pravá strana rovnosti však dává smysl a je také analytická pro . Z tohoto důvodu je pravá strana rovnosti analytickým pokračováním levé -strana rovnosti pro V důsledku toho rovnost $q$ $Re(q)>-1.$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n.$

T_{q}^{+}[\varphi (x)]=\int _{1}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx+\int _{0}^{ 1}x^{q}\left(\varphi (x)-\sum _{k=0,n}x^{k}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k! }}\right)dx+\sum _{k=0,n}{\frac {\varphi ^{(k)}(0)}{k!(q+k+1))),

definuje lineární spojitý funkcionál, který je rozšířením dříve definovaného funkcionálu až na hodnoty . Vzorce pro a pro dávají stejný výsledek pro stejné hodnoty , při kterých oba dávají smysl: tato definice je konzistentní. Zobecněná funkce nyní definovaná pro všechny je stále homogenní zobecněnou funkcí, protože vztah homogenity je zachován při analytickém pokračování. ${\displaystyle T_{q}^{+))$ $Re(q)>-n.$ $Re(q)>-n$ $Re(q)>-m$ $q,$ $T_{q}^{+},$ $q,$

S pomocí jsou určeny

regularizované hodnoty integrálu , které mají smysl pro jakýkoli komplex . Výjimkou jsou celočíselné hodnoty , kde je regularizovaný integrál singulární: funkcionál jako funkce proměnné v bodě má jednoduchý pól s zbytek

T_{q}^{+}\left[\varphi \right]

\int _{0}^{+\infty }x^{q}\varphi (x)dx,

q.

q=-1,-2,\tečky ,-n,\tečky ,

T_{q}^{+}\left[\varphi \right]

q

q=-n

\varphi ^{(n-1)}(0)/(n-1)!.

Podle stejného schématu lze analyticky pokračovat v přidružené homogenní funkci , s její pomocí se určují regularizované hodnoty pro integrály , které mají smysl při $Re(q)\leq -1$ $T_{p,q}^{+}\left[\varphi \right]=\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x^{q}\log ^{p}(x)\varphi (x)dx,$ $Re(q)\leq -1.$

Podobným, ale složitějším způsobem jsou pro případ proměnných konstruovány homogenní zobecněné funkce a s nimi spojené homogenní zobecněné funkce. Podrobnosti lze nalézt ve zde citované bibliografii. Teorie homogenních zobecněných funkcí umožňuje konstruktivně pochopit, jak je aplikováno na prostor zobecněných funkcí, obyčejné funkce, které mají neintegrovatelné singularity – vypočítat integrály takových funkcí, najít jejich Fourierovu transformaci atd. $n$

Bibliografie: I. M. Gelfand, Z. Ya. Shapiro . Homogenní funkce a jejich aplikace. Advances in Mathematical Sciences, vol. 10 (1955) no. 3, str. 3-70.

Homogenní funkce

Alternativní definice homogenní funkce

Vlastnosti

Lambda homogenní funkce

Eulerův operátor

Ohraničeně homogenní funkce

Přidružené homogenní funkce

Vzájemně homogenní funkce

Některé funkcionální rovnice související s homogenními funkcemi

Homogenní zobecněné funkce

Viz také