Limit sekvence

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

V matematice , limit posloupnosti prvků metrického prostoru nebo topologického prostoru je prvek stejného prostoru, který má vlastnost "přitahovat" prvky dané sekvence. Limita posloupnosti prvků topologického prostoru je takový bod, jehož každé okolí obsahuje všechny prvky posloupnosti, počínaje nějakým číslem. V metrickém prostoru jsou okolí definována pomocí funkce vzdálenosti , takže pojem limity je formulován v jazyce vzdáleností. Historicky první byl koncept limity numerické posloupnosti , který vzniká v matematické analýze , kde slouží jako základ pro systém aproximací a je široce používán při konstrukci diferenciálního a integrálního počtu.

Označení: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$

(zní: limita posloupnosti x n-tá jako en inklinující k nekonečnu je a [1] [2] )

Vlastnost posloupnosti mít limitu se nazývá konvergence : pokud má posloupnost limitu, pak říkají, že daná posloupnost konverguje ; jinak (pokud posloupnost nemá limit) se říká, že se posloupnost rozchází . V Hausdorffově prostoru a zejména v metrickém prostoru [3] každá podposloupnost konvergentní posloupnosti konverguje a její limita se shoduje s limitou původní posloupnosti. Jinými slovy, posloupnost prvků v Hausdorffově prostoru nemůže mít dvě různé limity. Může se však ukázat, že posloupnost nemá limitu, ale existuje podposloupnost (dané posloupnosti), která limitu má. Jestliže nějaká posloupnost bodů v prostoru má konvergentní podposloupnost, pak daný prostor má vlastnost sekvenční kompaktnosti (nebo jednoduše kompaktnosti, pokud je kompaktnost definována výhradně v posloupnostech).

V topologických prostorech, které splňují první axiom počitatelnosti , je koncept limity posloupnosti přímo příbuzný konceptu limitního bodu (množiny): pokud má množina limitní bod, pak existuje posloupnost prvků tohoto nastavit konvergování k danému bodu. Pro libovolné topologické prostory taková sekvence nemusí existovat.

Definice

Nechť je dán topologický prostor a posloupnost Then, pokud existuje prvek takový, že $T$ $\{x_{n}\}.$ $x\v T$

\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\existuje N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n{\text{ }},n>N {\text{ }}\Šipka doprava x_{n}\v U(x)

kde je otevřená množina obsahující , pak se nazývá limita posloupnosti . Pokud je prostor metrický , pak lze limit definovat pomocí metriky: pokud existuje takový prvek , že $U(x)$ $X$ $X$ $x_n$ $x\v T$

\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{ }}\existuje N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n,n>N{\text{ }} \Rightarrow d(x_{n},x)<\varepsilon

kde je metrika, pak se nazývá limit . $d(x,y)$ $X$ $x_n$

Příklady

Pokud je prostor vybaven antidiskrétní topologií , pak limitem jakékoli sekvence je jakýkoli prvek prostoru.

Variace a zobecnění

Limita libovolné podposloupnosti se nazývá částečná limita posloupnosti.

Viz také

Poznámky

↑ „Znak „lim“ jsou první tři písmena latinského slova limes – limit, hranice; ale mělo by se číst v ruštině: „limit“ “( Khinchin A. Ya. Krátký kurz matematické analýzy. - M . : GITTL , 1953. - S. 38. - 624 s. )
↑ „Tento záznam zní takto:“ limit při sklonu k nekonečnu je roven „“ ( Shipachev V.S. Fundamentals of Higher Mathematics / Edited by academician A.N. Tikhonov . - M . : Higher School , 1989. - C 121. - 479 . - ISBN 5-06-000048-6 . ) $x_{n}$ $n$ $A$
↑ Každý metrický prostor je automaticky také Hausdorff.