Okolí Epsilon

$\varepsilon$ -okolí množiny ve funkcionální analýze a příbuzných oborech je taková množina, jejíž každý bod je menší než . $\varepsilon$

Definice

Nechť existuje metrický prostor a -neighborhood je množina $(X,\varrho)$ $x_0 \in X,$ $\varepsilon > 0.$ $\varepsilon$ $x_{0}$

U_{\varepsilon}(x_0) = \{ x\in X \mid \varrho(x,x_0) < \varepsilon \}.

Proražené sousedství bodu je jeho sousedstvím bez sebe: $\varepsilon$ $x_{0}$ $\varepsilon$

{\dot {U}}_{\varepsilon }(x_{0})=U_{\varepsilon }(x_{0})\obrácené lomítko x_{0}

Nechť je dána podmnožina Potom -okolí této množiny je množina $A\subsetX.$ $\varepsilon$

U_{\varepsilon}(A) = \bigcup\limits_{x \in A} U_{\varepsilon}(x).

Poznámky

$\varepsilon$ -okolí bodu se tedy nazývá otevřená koule se středem v a poloměrem $x_{0}$ $x_{0}$ $\varepsilon.$
Z definice přímo vyplývá, že

U_{\varepsilon}(A) = \{ x\in X \mid \existuje y\in A\; \varrho(x,y) < \varepsilon\}.

$\varepsilon$ -sousedství je sousedství a zejména otevřený soubor .

Příklady

Nechť existuje skutečná čára se standardní metrikou Then $\mathbb {R}$ $\varrho(x,y) = |xy|,\; x,y \in \mathbb{R}.$

$U_2(1) = (-1,3);$
$U_1([5,7]) = (4,8).$