Friedmanova rovnice

Friedmannova rovnice je rovnice v kosmologii , která popisuje vývoj homogenního a izotropního vesmíru ( Friedmannův vesmír ) v čase v rámci obecné teorie relativity . Pojmenována po Alexandru Alexandroviči Fridmanovi , který tuto rovnici poprvé odvodil v roce 1922 [1] .

Friedmannova rovnice

Friedmanova rovnice je napsána pro Friedmannovu metriku, což je synchronní metrika homogenního izotropního prostoru (prostoru konstantní křivosti) [2] ,

ds^{2}=c^{2}dt^{2}-a(t)^{2}dl^{2}\,,

kde je prvek délky v prostoru konstantního zakřivení, je měřítko („velikost“) vesmíru. $dl^{2}$ $v)$

Prostor konstantního zakřivení může být tří typů - sférický (uzavřený), pseudosférický (otevřený) a plochý prostor.

Sférické souřadnice

Uzavřený (konečný) vesmír s kladným zakřivením prostoru

Pro uzavřený vesmír je Friedmannova metrika

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\sin ^{{2}} \chi (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\right)\,,

kde je fotometrická vzdálenost , ; - sférické úhly; — odstupňovaný čas, . $r=a\cdot\sin\chi$ $\chi \in [0,\pi ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Komponenty Ricciho tenzoru pro tuto metriku jsou

R_{{\chi }}^{{\chi }}=R_{{\theta }}^({\theta }}=R_{{\phi }}^{{\phi }}=-{\frac { 1}{a^{{4}}}}(2a^{{2}}+a'^{{2}}+aa'')\;,

R_{{\eta }}^{{\eta }}={\frac {3}{a^{{4}}}}(a'^{{2}}-aa'')\;,

R=-{\frac {6}{a^{{3}}}}(a+a'')\;,

kde prvočíslo znamená diferenciaci s ohledem na . $\eta$

Pro ideální tekutinu je tenzor energie-hybnosti

T_{ab}=(\epsilon +p)u_{a}u_{b}-pg_{ab}\,,

kde je hustota energie, je tlak. V synchronních souřadnicích je hmota v klidu, takže 4-rychlost je . $\epsilon$ $p$ $u^{a}=\{{\frac {1}{a(t)}},0,0,0\}$

Časová složka Einsteinovy rovnice

R_{{\eta }}^{{\eta }}-{\frac {1}{2}}R=\kappa {}T_{{\eta }}^{{\eta }}\,,

se zadaným Ricciho tenzorem a tenzorem energie-hybnosti a je to Friedmannova rovnice ,

{\frac {3}{a^{{4}}}}(a^{{2}}+a'^{{2}})=\kappa \epsilon \,.

Pokud je znám vztah mezi hustotou energie a tlakem (stavová rovnice), pak závislost hustoty energie na měřítku vesmíru lze zjistit pomocí rovnice zachování energie $\epsilon$ $p$ $A$

d\epsilon =-(\epsilon +p){\frac {3da}{a}}\,.

V tomto případě lze řešení Friedmannovy rovnice vyjádřit jako integrál,

\eta =\pm \int {\frac {da}{a{\sqrt {{\frac {1}{3}}\kappa \epsilon a^{2}-1))))\,.

Otevřený (nekonečný) vesmír s negativním zakřivením prostoru

Pro otevřený vesmír je Friedmannova metrika

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\sinh ^{{2}} \chi (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\right)\,,

kde , ; - sférické úhly; — odstupňovaný čas, . $r=a\cdot\sinh\chi$ $\chi \in [0,\infty ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Je zřejmé, že tato metrika je získána z metriky uzavřeného vesmíru substitucí . $\{a,\eta ,\chi \}\do \{ia,i\eta ,i\chi \}$

V souladu s tím platí Friedmannova rovnice pro otevřený vesmír

{\frac {3}{a^{{4}}}}(-a^{{2}}+a'^{{2}})=\kappa \epsilon \,.

Otevřený (nekonečný) a plochý vesmír

Pro plochý vesmír je Friedmannova metrika

ds^{{2}}=a(\eta )^{{2}}\left(d\eta ^{{2}}-d\chi ^{{2}}-\chi ^{{2}} (d\theta ^{{2}}+\sin ^{{2}}\theta d\phi ^{{2}})\right)\,,

kde , ; - sférické úhly; — odstupňovaný čas, . $r=a\chi$ $\chi \in [0,\infty ]$ $\theta ,\,\phi$ $\eta$ $ad\eta=dt$

Je zřejmé, že tato metrika je formálně získána z metriky uzavřeného vesmíru v limitě . $r\ll a\to \infty$

Všimněte si, že , kde , Friedmannova rovnice pro plochý vesmír je získána v uvedeném limitu jako $a'/a^{2}={\tečka a}/a$ ${\tečka a}\ekviv da/dt$

3{\frac {{{\dot a}}^{2}}{a^{{2}}}}=\kappa \epsilon \,.

Snížené radiální souřadnice

V těchto souřadnicích je metrika prostoru s konstantním zakřivením

dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}d\Omega ^{2},

kde jsou sférické úhlové souřadnice; $\theta ,\phi$

r

- redukovaná radiální souřadnice, definovaná takto: obvod poloměru se středem v počátku je roven

r

2\pi r;

k

je konstanta, která má hodnotu 0 pro plochý prostor, +1 pro prostor s konstantním kladným zakřivením, −1 pro prostor s konstantním záporným zakřivením;

d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.

Řešení Friedmannovy rovnice

Friedmannova rovnice může být integrována analyticky pro dva důležité omezující případy, vesmír naplněný prachem a vesmír naplněný zářením.

Poznámky

↑ Friedman , A. Über die Krümmung des Raumes (německy) // Zeitschrift für Physik : časopis. - 1922. - Bd. 10 , č. 1 . - S. 377-386 . - doi : 10.1007/BF01332580 . - . (Anglický překlad: Friedman, A. On the Curvature of Space (anglicky) // General Relativity and Gravitation : journal. - 1999. - Vol. 31 , no. 12. - S. 1991-2000 . - doi : 10.1023 / A : 1026751225741. - . ). Původní ruský rukopis tohoto článku je zachován v archivu Ehrenfest Archived 29. července 2020 na Wayback Machine .
↑ Gerard 't Hooft, Úvod do obecné relativity , ISBN 978-1589490000 , ISBN 1589490002

Odkazy

Liebscher, Dierck-Ekkehard. Expanze // Kosmologie. - Berlin : Springer, 2005. - S. 53-77. — ISBN 3-540-23261-3 .

Kosmologie
Základní pojmy a objekty	Vesmír pozorovatelný vesmír Červený posuv kosmologické CMB záření Gravitační vlny Expanze vesmíru zrychlený skrytá hmota Temná hmota temná energie
Historie vesmíru	Velký třesk velký odskok Chronologie velkého třesku Inflace Primární nukleosyntéza Rekombinace Evoluce galaxií Věk vesmíru Budoucnost vesmíru
Struktura vesmíru	Struktura vesmíru ve velkém měřítku Nadkupa galaxií Velká skupina kvasarů Galaktické vlákno Neplatné Hubbleova bublina Tvar Vesmíru
Teoretické pojmy	Historie vývoje představ o vesmíru Hubbleův zákon Gravitační nestabilita Kosmologický princip Kosmologické modely Kosmologická singularita Model De Sitter model horkého vesmíru Friedmanův vesmír Vzdálenost společníka Kritická hustota Friedmanova rovnice Kosmologická stavová rovnice Model lambda-CDM
Experimenty	Pozorovací kosmologie 2dF 6dF Bumerang COBE SDSS WMAP Planck DES
Portál: Astronomie