Kelvinovy věty

Pod Kelvinovou větou v hydrodynamice obvykle znamenají hlavní Kelvinovu větu , jsou však známy i dvě další Thomsonovy (Kelvinovy) věty.

Kelvinova věta o irrotačním pohybu

V roce 1849 William Thomson dokázal větu o minimální kinetické energii pro tekutinu:

jestliže na hranici nějaké jednoduše spojené oblasti se vírový pohyb shoduje s irrotačním pohybem , pak je kinetická energie irrotačního pohybu v uvažované oblasti menší než kinetická energie vírového pohybu.

Důkaz první Kelvinovy věty

Kelvinovu větu lze dokázat na základě skutečnosti, že rychlost při irotačním pohybu je potenciální ( v = gradφ) a že divergence rychlosti nestlačitelné tekutiny je nulová, a to jak pro irotační, tak pro vírový pohyb. Vskutku, nechejte Δ Něco = Něco vířit. - Něco bez víru. . Pak pro rozdíl v kinetických energiích můžeme napsat:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }[(\mathbf {V} +\mathbf {\Delta \!V} )^{2 }-V^{2}]d\tau =\rho \iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau +{\frac {\rho }{2)) \iiiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau ,

kde ρ je hustota kapaliny a τ je objem kapaliny . Dále zvažte pouze první integrál vpravo:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau ,

a protože div(φ a ) = φ div a + gradφ a , integrál lze transformovat následovně:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {div} (\varphi \mathbf {\Delta \!V} )d\tau -\iiint \limits _{\tau }\ varphi \operatorname {div} (\mathbf {\Delta \!V} )d\tau =\iint \limits _{\sigma }\varphi (\mathbf {\Delta \!V} )_{n}d\sigma -\iiiint \limits _{\tau }\varphi \Delta \!(\operatorname {div} \mathbf {V} )d\tau ,

kde σ je plocha ohraničující objem τ a index n označuje normálovou složku vektoru. Z podmínek věty vyplývá, že na ploše σ se vírové a irrotační pohyby shodují, tedy ΔV = 0, navíc podmínkou nestlačitelnosti div V = 0. V poslední rovnosti jsou tedy všechny členy rovny nule a pro rozdíl kinetických energií se ukazuje:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau >0,

ze kterého vyplývá Kelvinova věta.

Kinematická Kelvinova věta

Kelvinova kinematická věta umožňuje předpovídat chování vírové trubice v čase z čistě kinematického hlediska. Formulace věty je následující:

částečná časová derivace cirkulace rychlosti podél uzavřeného okruhu kapaliny je rovna zrychlení cirkulace podél stejného okruhu.

Důkaz druhé Kelvinovy věty

Vypočítejme parciální časovou derivaci cirkulace rychlosti podél libovolného obrysu C , aniž bychom nejprve předpokládali, že je uzavřený.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{C}\mathbf {V\delta r} =\int \limits _{C}{\frac {d} {dt))(\mathbf {V\cdot \delta r} )=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} + \int \limits _{C}\mathbf {V\cdot {\frac {d}{dt))(\delta r)} =\\=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf { V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \delta \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt }}\right)=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\delta \ vlevo({\frac {V^{2}}{2}}\vpravo).\end{aligned}}

Je zřejmé, že když je obvod uzavřen, poslední integrál zmizí. Takto:

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =\Gamma _{C}(\mathbf {\tečka { V}}).

Kelvinova věta o barotropní tekutině

Kelvinova věta o barotropní tekutině se také nazývá Kelvinova základní věta , která dokládá možnost existence irotačního pohybu:

když se barotropní ideální tekutina pohybuje působením potenciálních sil, rychlost cirkulace v uzavřeném tekutinovém okruhu se nemění.

Důkaz třetí Kelvinovy věty

Větu lze snadno dokázat na základě předchozí věty dosazením na pravou stranu výrazu pro zrychlení v případě potenciálních sil : $\mathbf {\dot {V}}=-\operatorname {grad} \Pi$

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =-\oint \limits _{C}\operatorname {grad } \Pi \cdot \delta \mathbf {r} =-\oint \limits _{C}\delta \Pi =0,

je tedy konstanta. $\Gamma$

Větu formuloval a dokázal W. Thomson v roce 1869 . Diferenciální forma Kelvinovy věty je vírová rovnice .

Literatura

Loytsyansky L.G. Mechanika kapaliny a plynu. - 7. vydání, Rev. - M .: Drop, 2003. - 840 s. - (Klasici ruské vědy). — ISBN 5-7107-6327-6 .
Sychev V. V., Bashkin V. A. Ch. I // Lectures on Theoretical Hydrodynamics. - M. : MIPT, 2003. - 188 s. — ISBN 5-7417-0222-8 .

Kelvinovy ​​věty