Cirkulace vektorového pole

Oběh vektorového pole podél daného uzavřeného obrysu Γ je křivočarý integrál druhého druhu, převzatý Γ . Podle definice

C=\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {l} }=\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy +F_{z}dz)},

kde je vektorové pole (nebo vektorová funkce) definované v nějaké doméně D obsahující obrys Γ , je nekonečně malý přírůstek vektoru poloměru podél obrysu. Kruh na symbolu integrálu zdůrazňuje skutečnost, že integrace se provádí podél uzavřené kontury. Výše uvedená definice platí pro trojrozměrný případ, ale stejně jako hlavní vlastnosti uvedené níže ji lze přímo zobecnit na libovolnou prostorovou dimenzi. ${\mathbf {F}}=\{F_{{x}},F_{{y}},F_{{z}}\}$ $d{\mathbf {l}}=\{dx,dy,dz\}$ ${\mathbf {l}}$

Vlastnosti oběhu

Aditivita

Oběh podél obrysu ohraničujícího několik sousedních povrchů se rovná součtu cirkulací podél obrysů ohraničujících každý povrch samostatně, tj.

C=\sum \limits _{{i}}{C_{{i}}}.

Stokesův vzorec

Oběh vektoru F podél libovolného obrysu Г se rovná proudění vektoru libovolnou plochou S , ohraničenou tímto obrysem. $\operatorname {rot}{\mathbf {F}}$

\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {F}}d{\mathbf {l}}=\iint \limits _{{S}}{\operatorname {rot}}}{\mathbf { F}}\cdot {\mathbf {n}}dS,

kde je rotor (vír) vektoru F . $\operatorname {rot}{\mathbf {F}}=[\nabla ,{\mathbf {F}}]=\left|{\begin{matrix}{\mathbf {e}}_{{x}}&{ \mathbf {e}}_{{y}}&{\mathbf {e}}_{{z}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{ \partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{{x}}&F_{{y}}&F_{{z}}\\\end{matrix}}\right|$

Pokud je obrys plochý, například leží v rovině OXY, platí Greenova věta

\oint \limits _{\Gamma }{(F_{x}dx+F_{y}dy)}=\iint \limits _{\Gamma ^{\circ }}{\left({\frac { \partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)dxdy},

kde je rovina ohraničená obrysem (vnitřek obrysu). $\Gamma ^{\circ }$ $\Gamma$

Fyzická interpretace

Je-li F nějaké silové pole , pak cirkulace tohoto pole podél libovolného obrysu Γ je dílem tohoto pole, když se bod pohybuje po obrysu Г. Odtud přímo vyplývá kritérium potenciálu pole : pole je potenciální, když jeho cirkulace podél libovolné uzavřené kontury je nulová. Nebo, jak vyplývá ze Stokesova vzorce, v kterémkoli bodě oblasti D je rotor tohoto pole nulový.

\forall \Gamma \subset D:\oint \limits _({\Gamma }}{{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})d{\mathbf {l}}}=0\Leftrightarrow \ forall {\mathbf {r}}\in D:\jméno operátora {rot}{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {0}}.

Historické pozadí

Termín "cirkulace" byl původně zaveden v hydrodynamice pro výpočet pohybu tekutiny přes uzavřený kanál. Uvažujme proudění ideální nestlačitelné tekutiny. Zvolíme libovolnou konturu Γ . V duchu si představte, že jsme (okamžitě) zmrazili veškerou kapalinu v objemu, s výjimkou tenkého kanálku konstantního průřezu, který zahrnuje obrys Γ . Potom, v závislosti na počáteční povaze toku tekutiny, bude buď stát v kanálu, nebo se bude pohybovat podél obrysu (cirkulovat). Jako charakteristika takového pohybu se bere hodnota rovna součinu průměrné rychlosti tekutiny procházející kanálem a délky obrysu l : $u$

C=ul

protože je to rychlost , která bude nakonec v tomto případě stanovena všude v kanálu, a cirkulační hodnota C dá (zobecněnou) hybnost pro kapalinu jednotkové hustoty, konjugovanou s (zobecněnou) souřadnicí charakterizující polohu kapaliny jako celek v kanálu, což odpovídá, poněkud zjednodušeně, poloze jediného „zrnka prachu » v kapalině, měřeno pravítkem zakřiveným podél kanálu. $u$

Protože během tuhnutí stěn kanálu dojde ke zhasnutí složky rychlosti kolmé k obrysu (představujeme si, že k tomu dojde dříve, než se tangenciální rychlost v kanále stane všude stejnou kvůli nestlačitelnosti kapaliny), kapalina se bude pohybovat podél kanálu bezprostředně po ztuhnutí s tangenciální složkou počáteční rychlosti . Potom může být oběh reprezentován jako $v_{{\tau}}$

C=\oint \limits _{{\Gamma }}{v_{{\tau }}dl}=\oint \limits _{{\Gamma }}{{\mathbf {v}}d{\mathbf {l} }},

kde dl je prvek délky obrysu.

Později byl pojem „cirkulace“ rozšířen na jakákoli vektorová pole, dokonce i ta, ve kterých doslova není co „oběhnout“.

Literatura

Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. T.3. M.: "Nauka", 1960.
Savelyev IV Kurz obecné fyziky . T2. M.: Astrel • AST, 2004.