Eliptická rovnice

Eliptické rovnice jsou třídou parciálních diferenciálních rovnic popisujících stacionární procesy.

Definice

Uvažujme obecný tvar skalární parciální diferenciální rovnice druhého řádu s ohledem na funkci : $u:R^{n}\rightarrow R$

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\částečné x_{j}}}+\součet _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\částečné u}{\částečné x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots ,x_{n})

V tomto případě je rovnice zapsána v symetrickém tvaru, tedy: . Pak ekvivalentní rovnice ve tvaru kvadratického tvaru : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

kde . Matice se nazývá matice hlavních koeficientů . Pokud mají všechna vlastní čísla matice stejné znaménko, pak je rovnice eliptického typu [1] . Další, ekvivalentní definice: rovnice se nazývá eliptická, pokud ji lze reprezentovat jako: $A=A^{T}$
$A$
$A$

Lu=f(x_{1},\ldots ,x_{{n}})

kde je eliptický operátor . $L$

Eliptické rovnice jsou protichůdné k parabolickým a hyperbolickým rovnicím , ačkoli tato klasifikace není vyčerpávající.

Řešení eliptických rovnic

Pro analytické řešení eliptických rovnic za daných okrajových podmínek se používá metoda Fourierovy proměnné separace , metoda Greenovy funkce a metoda potenciálu .

Příklady eliptických rovnic

V matematické fyzice vznikají eliptické rovnice v problémech, které se redukují pouze na prostorové souřadnice: buď nic nezávisí na čase (stacionární procesy), nebo je to nějak vyloučeno.

Laplaceova rovnice a Poissonova rovnice popisují různá stacionární fyzikální pole.
Stacionární analog Schrödingerovy rovnice , kdy se předpokládá harmonická závislost na čase.
Rovnice odvozené z Maxwellových rovnic . Takové jsou získány z předpokladu, že elektromagnetické pole se v čase buď nemění, nebo se mění podle harmonického zákona. Jednou z rovnic získaných za takových předpokladů je Helmholtzova rovnice .
Stokesova rovnice je stacionární obdobou Navier-Stokesovy soustavy rovnic pro ustálený tok.

Stejně jako mnoho dalších stacionárních analogů hyperbolických a parabolických rovnic.

Viz také

Poznámky

↑ Tichonov A.N. , Samarsky A.A. Rovnice matematické fyziky. - 5. vyd. — Moskva: Nauka, 1977.

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata