Poissonův integrál

Poissonův integrál je obecný název matematických vzorců vyjadřujících řešení okrajové úlohy nebo počáteční úlohy pro některé typy parciálních diferenciálních rovnic.

Dirichletův problém pro Laplaceovu rovnici

Poissonův integrál pro Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici v kouli je následující.

Nechť pro funkci u ( r , φ) harmonickou v kouli je podmínka rovnosti nastavena na hranici funkce u 0 : u ( R , φ) = u 0 (φ), přičemž funkce patří do následující hladkosti třídy: , kde ∂ D je hranice koule D a je její uzávěr. Pak řešení takového Dirichletova problému může být reprezentováno jako Poissonův integrál: $u(r,\varphi )\in C^{2}(D)\cap C({\overline {D))),\ u_{0}(\varphi )\in C^{1}( \část D)$ $\overline {D}$

u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{\omega _{n}R}}\int \limits _{\partial D}{\frac {u_{0}(\psi )}{|r-\psi |^{n}}}\,dS(\psi ),\ r\in [0;R),

kde ω n je plocha jednotkové koule a n je rozměr prostoru.

Odvození vzorce ve dvourozměrném případě

Je známo, že funkce

u(r,\varphi )=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}( a_{n}\cos n\varphi +{\tilde {a}}_{n}\sin n\varphi )

je řešením Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici v kruhu. Pojďme tento výraz transformovat s ohledem na výrazy pro Fourierovy koeficienty :

u(r,\varphi )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi +{ \frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\left(\cos n\ varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\cos n\psi d\psi +\sin n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\sin(n\psi )d\psi \right)=

={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left(\sum _{n=1}^{ \infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(\cos n\varphi \cos n\psi +\sin n\varphi \sin n\psi )\right)d \psi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi =

={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left({\frac {1}{2)) +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )\right)d\psi .

Poslední součet lze vypočítat pro 0≤ r < R :

{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n (\varphi -\psi )={\frac {1}{2}}+\jméno operátora {Re} \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}} e^{i(\varphi -\psi )}\right)^{n}={\frac {1}{2}}+\jméno operátora {Re} {\frac {{\frac {r}{R}} e^{i(\varphi -\psi )}}{1-{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )))}=

={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac ({\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\left(1 -{\frac {r}{R}}e^{-i(\varphi -\psi )}\right)}{1-2{\frac {r}{R}}\cos(\varphi -\psi )+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}}={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\left(R^{2 }+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )\right)}}.

V transformovaném tvaru tedy Poissonův integrál pro kruh nabývá tvaru:

u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).

Vzorec lze také získat metodou konformního mapování. Reálné a imaginární části funkce holomorfní na definičním oboru splňují dvojrozměrnou Laplaceovu rovnici. Je známo, že při konformním mapování rovinné domény na rovinnou doménu přechází Laplaceova rovnice pro funkci do rovnice . Pomocí lineárně zlomkové funkce lze snadno získat zobrazení původní kružnice o poloměru na jednotkovou kružnici, ve které libovolný bod směřuje do středu. Taková funkce vypadá takto: $U$ $U$ $z=x+iy$ $PROTI$ $w=\xi +i\eta$ $u(x,y)$ $\triangle u(\xi ,\eta )=0$ $R$ $z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0))$

w=\rho e^{i\psi }=f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{z-{\frac {R^{2}}{{\bar {z}}_{0}}}}}=\lambda {\frac {z-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{z-{\frac {R^{2}} {r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},

kde je zvoleno tak, že hraniční body původního kruhu jdou do bodů , Zatímco , a je libovolné. Požadovaná funkce přejde na funkci . Hraniční funkce přejde na . Potom pomocí věty o střední hodnotě : $\lambda$ $|w|=1$ ${\displaystyle |\lambda |={\frac {R}{r_{0))))$ ${arg}(\lambda )$ $u(r,\varphi )$ $U(\rho ,\psi )$ $u_{0}(\varphi )$ $U_{0}(\psi )=u_{0}(\varphi (1,\psi ))$

u(r_{0},\varphi _{0})=U\vert _{w=0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{ 2\pi }U_{0}(\psi )d\psi .

Z tohoto výrazu lze získat explicitní výraz pro řešení Dirichletova problému v kruhu, pokud je vyjádřen v termínech . Pro hraniční body kružnice a kružnice dává vzorec lineární-zlomkové transformace $U_{0}(\psi )$ $u_{0}(\varphi )$ $|z|\leqslant R$ $|w|\leqslant 1$

e^{i\psi }={\frac {R}{r_{0))}{\frac {Re^{i\varphi }-r_{0}e^{i\varphi _{0} }}{Re^{i\varphi }-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},

kde

d\psi ={\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\ varphi -\varphi _{0})}}d\varphi .

Změnou proměnné v integrálu získáme požadovaný výraz:

u(r_{0},\varphi _{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {R^ {2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}u_{ 0}(\varphi )d\varphi ,\r_{0}\in [0,R).

Tento výraz je ekvivalentní výše uvedenému:

u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).

Cauchyho problém pro rovnici tepla

Homogenní rovnice

Zvažte Cauchyho problém pro rovnici homogenního tepla :

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))-a^{2}\Delta u=0,\quad x\in {\mathbb {R))^ {n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\\ \end{array}}

kde je počáteční funkce spojitá a ohraničená celým prostorem a požadovaná funkce je spojitá a omezená pro všechny hodnoty argumentu . $\varphi(x)$ $u=u(x,t)$ $t\geq 0$ $X$

Základním řešením nebo jádrem rovnice tepla je řešení Cauchyho úlohy pro rovnici homogenního tepla s počáteční podmínkou , kde je Diracova delta funkce . Vypadá to, že: $\varphi(x)=\delta(x)$ $\delta(x)$

\Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{ 2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in {\mathbb {R}}^{n},\ t>0.

kde je standardní skalární čtverec vektoru .

|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

x \in \mathbb{R}^n

Poissonův integrál definuje jediné spojité a omezené řešení dané Cauchyho úlohy podle následujícího vzorce [1] :

u(x,t)=\int \limits _{{{\mathbf {R}}^{n}}}\Phi (xy,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1 }{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n))}\exp {\biggl (}-{\ frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.

Nehomogenní rovnice

Zvažte Cauchyho problém pro rovnici nehomogenního tepla:

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\částečné u}{\částečné t))-a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{ n}.\\\end{array}}

V tomto případě má Poissonův integrál tvar [2] :

u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n} }}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+

$+\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{({\mathbf {R}}^{n}}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (ts ))))^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}(ts))){\biggr )}\,f( y,s)\,dy\,ds.$

Zobecnění

Podle Riemannovy věty o doménách je spojená jednoduše spojená doména konformně ekvivalentní disku s Poincareho metrikou, tj . Lobachevského rovině . Připouští popis jako homogenní prostor , totiž . Jeho nejbližšími příbuznými jsou multidimenzionální Lobačevského prostor , stejně jako komplexní a čtveřice Lobačevských prostorů. $\mathbb {C}$ $\mathrm {SO} (2,1)/\mathrm {SO} (2)$ $\Lambda ^{n+1}=\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)$ $\Lambda _{\mathbb {C} }^{n+1}=\mathrm {SU} (n+1,1)/\mathrm {SU} (n+1)$ $\Lambda _{\mathbb {H} }^{n+1}=\mathrm {Sp} (n+1,1)/\mathrm {Sp} (n+1)$

V případě skutečného Lobačevského prostoru našel analog Poissonovy transformace pro vnější Cartanovy formy P.-I. Geyar . Spojuje vnější formu definovanou na absolutnu s harmonickou uzavřenou formou na Lobačevského prostoru. Konkrétně prostor , kde je absolutno, je homogenní prostor pro skupinu . Má invariantní vnější formy (tedy ty, které možná nabývají nenulových hodnot pouze tehdy, když se do nich dosadí vektorová pole vztahující se k faktoru a vektorová pole vztahující se k absolutnímu faktoru). Jestliže , pak jeho Poissonův integrál je definován jako vrstvený integrál vnějšího součinu , kde je projekce na faktor. Tyto formy jsou v podstatě vyšší Poissonova jádra. Invariantní formy na homogenním prostoru mohou být uvedeny v jednom bodě a odpovídají jedna ku jedné triviálním subreprezentacím vnějšího stupně odpovídajícího adjungovaného zobrazení skupiny, vůči níž je prostor homogenní; v případě reálného Lobačevského prostoru jsou takové formy jedinečné až proporcionalitou díky jednorozměrnosti příslušné triviální subreprezentace. ${\displaystyle \Lambda ^{n+1}\times S^{n))$ $S^{n}=\částečné \Lambda ^{n+1}$ $\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)$ $\pi _{k}\in \Omega ^{k,nk}(\Lambda ^{n+1}\times S^{n})$ $k$ $\Lambda ^{n+1}$ $nk$ $\alpha \in \Omega ^{k}(S^{n})$ $p_{S^{n}}^{*}\alpha \wedge \pi _{k}$ $p_{S^{n}}\colon \Lambda ^{n+1}\times S^{n}\to S^{n}$

V případě komplexních a kvaternionových Lobačevského prostorů již tyto subreprezentace nejsou jednorozměrné, takže není možné takto definovat žádnou kanonickou Poissonovu transformaci. To je však možné, vezmeme-li v úvahu jemnější geometrickou strukturu na absolutnu: jmenovitě absolutno komplexního Lobačevského prostoru (stejně jako hranice jakékoli komplexní variety obecně) má KP-strukturu , tj. neintegrovatelné rozdělení (které, pokud je koule realizována jako jednotková koule v prostoru , lze v každém bodě definovat jako maximální komplexní podprostor obsažený v prostoru tečny ke sféře). V případě kvaternionového Lobačevského prostoru hraje podobnou roli tzv. kvaternionová kontaktní struktura . S každou zcela neintegrovatelnou distribucí je spojen ryuminský komplex , který je analogický de Rhamovu komplexu hladkého manifoldu. Jeho analog, který může být definován v čistě algebraických termínech teorie reprezentace, se nazývá Bernstein - Gelfand - Gelfandův komplex . Má přirozené operace související s elementem Casimir . Dodatečné podmínky, jak se má Poissonovo jádro chovat s ohledem na takové operace, umožňují jeho jednoznačnou volbu až do proporcionality. [3] $S^{2n+1}$ ${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{n+1))$ $S^{2n+1}$ $\mathbb {C} ^{n+1}$ $x\in S^{2n+1}$ $T_{x}S^{2n+1}$

Literatura

Petrovský IG Přednášky o parciálních diferenciálních rovnicích. - ch. IV, § 40. - Libovolné vydání.
Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Rovnice matematické fyziky. - ch. III. - Jakékoli vydání.
Uroev V. M. Rovnice matematické fyziky. - M .: IF Yauza, 1998. - ISBN 5-88923-026-3 .
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. - M. : Nauka, 1974. - 320 s.

Poznámky

↑ Petrovský I. G. Přednášky o parciálních diferenciálních rovnicích. - ch. IV, § 40. - Libovolné vydání.
↑ Erich Miersemann. Partielle Differenzialgleichungen, str. 156 . Získáno 11. června 2015. Archivováno z originálu dne 27. března 2016. (neurčitý)
↑ Andreas Cap, Christoph Harrach, Pierre Julg. Poissonova transformace přizpůsobená komplexu Rumin Archivováno 2. června 2019 na Wayback Machine , 2019