Základní řešení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. října 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Základní řešení lineárního diferenciálního operátoru L nebo ekvivalentně odpovídající lineární parciální diferenciální rovnice je matematický koncept, který zobecňuje myšlenku Greenovy funkce pro diferenciální operátory, bez spojení s jakoukoli doménou a okrajovými podmínkami.

Základním řešením diferenciálního operátoru L je totiž řešení F (obecně řečeno, patřící do třídy zobecněných funkcí ) lineární nehomogenní rovnice

LF = δ ( x ),

kde pravá strana δ ( x ) je Diracova delta funkce [1] .

Historicky se pojem fundamentálního řešení poprvé objevil u Laplaceova operátoru v dimenzích 2 a 3. V současnosti byla fundamentální řešení počítána pro mnoho konkrétních diferenciálních operátorů a bylo prokázáno, že každý diferenciální operátor s konstantními koeficienty má fundamentální řešení. .

Vlastnosti

Principiální řešení operátoru L není, obecně řečeno, jedinečné. Je definována až do přidání členu Z náležejícího k jádru operátoru L : nechť F je řešením rovnice LF = δ ( x ), pak F+Z je také jejím řešením, pokud LZ = 0 [1] .
Řešení nehomogenní rovnice LU = g ( x ) s libovolnou pravou stranou g je vyjádřeno pomocí fundamentálního řešení operátoru L pomocí konvolučního vzorce U = F ∗ g . Toto řešení je jedinečné ve třídě zobecněných funkcí, pro které existuje konvoluce s g [1] .
Funkce F je fundamentální řešení lineárního diferenciálního operátoru s konstantními koeficienty

L(\partial )=\sum _{|k|=0}^{m}a_{k}\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial _{x_ {n}}^{k_{n}},\quad k=(k_{1},\ldots ,k_{n}),

právě tehdy, pokud jeho Fourierova transformace vyhovuje kde

{\widehat {F}}

L(-i\xi )\,{\widehat {F))(\xi )=1,

L(\xi )=\sum _{|k|=0}^{m}a_{k}\xi _{1}^{k_{1}}\cdots \xi _{n}^{ k_{n}},\quad \xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}),

i je imaginární jednotka [1] .

Příklady

Základní řešení Laplaceova operátoru (dolní index označuje rozměr prostoru) je dáno vzorci [1] , kde je standardní skalární čtverec vektoru : $|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ $x \in \mathbb{R}^n$