Wienerův proces

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. ledna 2020; kontroly vyžadují 10 úprav .

Wienerův proces v teorii náhodných procesů je matematický model Brownova pohybu nebo náhodné procházky se spojitým časem .

Definice

Náhodný proces , kde se nazývá Wienerův proces, pokud $W_{t}$ $t\geq 0$

$W_{0}=0$ téměř jisté .
$W_{t}$ je proces s nezávislými přírůstky .
$W_{t}-W_{s}\sim \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(ts))$ .. _ $\forall 0\leq s<t<\infty$

kde je normální rozdělení se střední hodnotou a rozptylem . Hodnota , která je pro proces konstantní, bude dále považována za rovnou . $\mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(ts))$ $0$ $\sigma ^{2}(ts)$ $\sigma ^{2}$ $jeden$

Ekvivalentní definice:

$W_{t}$ je Gaussův proces .
$\mathbb {E} W_{t}=0$ , . $\forall t\geqslant 0$
${\text{cov}}(W_{t},W_{s})=\min(t,s)$ , . $\forall t,s\geqslant 0$

Spojitost trajektorií

Existuje jedinečný Wienerův proces, takže téměř všechny jeho trajektorie jsou všude spojité . Vzhledem k tomu, že tento proces je obvykle uvažován, je podmínka spojitosti trajektorií často zahrnuta do definice Wienerova procesu.

Vlastnosti Wienerova procesu

$W_{t}$ je Gaussův proces .
$W_{t}$ je Markovův proces .
$W_{t}\sim \mathrm {N} (0,t)$ . V souladu s tím a $\mathbb {E} [W_{t}]=0$ $\mathrm {D} [W_{t}]=t$

$\mathrm {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)$ .
$W_{t}$ - martingal. Zde myslíme martingalem ${\displaystyle \mathbb {E} [W_{t}|W_{s},s\leqslant \tau ]=EW_{\tau ))$
Jestliže je Wienerův proces, pak , bude také Wienerovým procesem. $W_{t}$ $tW_{1/t},t>0$ $0,t=0$

Wienerův proces je měřítko-invariantní nebo sobě podobný . If je Wienerův proces, a , pak $W_{t}$ $c>0$

V_{t}={\frac {1}{\sqrt {c}}}W_{ct}

je také Wienerův proces.

Korelační funkcí pro derivaci Wienerova procesu je funkce delta .

Trajektorie Wienerova procesu nejsou nikde téměř jistě rozlišitelné . Derivát (v obecném smyslu) Wienerova procesu je normální bílý šum .

Pro jakýkoli daný segment trajektorie Wienerova procesu je funkce neomezené variace na tomto segmentu téměř jistá .

Pro Wienerův proces platí zákon iterovaného logaritmu .

\limsup \limits _{t\rightarrow \infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\ln \ln t}}}=1

skoro pravděpodobně .

$\int \limits _{0}^{t}W_{s}ds\sim N(0,t^{3}/3)$

Vícerozměrný Wienerův proces

Vícerozměrný ( -rozměrný) Wienerův proces je -hodnotný náhodný proces složený z nezávislých jednorozměrných Wienerových procesů, tzn. $n$ $\mathbf {W} _{t}$ $\mathrm {R} ^{n}$ $n$

\mathbf {W} _{t}=\left(W_{t}^{1},\ldots ,W_{t}^{n}\right)^{\top },\quad t\geq 0

kde jsou procesy společně nezávislé . $\left\{W_{t}^{i}\right\},\;i=1,\ldots ,n$

Propojení s fyzickými procesy

Wienerův proces popisuje Brownův pohyb částice vykonávající náhodné pohyby pod vlivem dopadů molekul tekutiny. Konstanta v tomto případě závisí na hmotnosti částice a viskozitě kapaliny. $\sigma ^{2}$

Odkazy

Stochastický svět – jednoduchý úvod do stochastických diferenciálních rovnic