Náhodný proces

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. října 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Náhodný proces (pravděpodobnostní proces, náhodná funkce, stochastický proces) v teorii pravděpodobnosti je rodina náhodných proměnných indexovaných nějakým parametrem , nejčastěji hrajícím roli času nebo souřadnice .

Definice

Nechť je měřitelný prostor , množina hodnot parametru . Parametrická funkce , jejíž hodnoty jsou náhodné proměnné v prostoru elementárních událostí ve fázovém prostoru, se nazývá náhodný proces ve fázovém prostoru . [jeden] $(E,{\mathfrak {B}})$ $T$ $t$ $\xi =\xi (t)$ $v T$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $(E,{\mathfrak {B}})$

Terminologie

Klasifikace a terminologie používaná v oblasti výzkumu a aplikované aplikace náhodných procesů nejsou striktní. Zejména termín „náhodný proces“ je často používán jako bezpodmínečné synonymum pro termín „náhodná funkce“. [2] V závislosti na typu sady se často používají následující termíny. $T$

Pokud , pak lze parametr interpretovat jako čas . Pak se náhodná funkce nazývá náhodný proces . Pokud je množina například diskrétní, pak se takový náhodný proces nazývá náhodná posloupnost . $T\subset \mathbb {R}$ $v T$ $\{X_{t}\}$ $T$ $T\subset {\mathbb {N}}$

If , where , pak lze parametr interpretovat jako bod v prostoru a pak se náhodná funkce nazývá náhodné pole . $T\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $n\geqslant 1$ $v T$

Základní informace

Všechna možná společná rozdělení pravděpodobnosti hodnot : $\xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}\in T$

P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\left\{\xi (t_{1}) \in B_{1},...,\xi (t_{n})\in B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B} })

se nazývají konečnorozměrná rozdělení pravděpodobnosti náhodného procesu . Náhodné procesy a přebírání hodnot ve fázovém prostoru se nazývají ekvivalentní , pokud pro jakékoli odpovídající hodnoty a jsou ekvivalentní . $\xi =\xi (t)$
$\xi =\xi (t)$ $\eta =\eta (t)$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $v T$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $\eta (t)=\eta (\omega ,t)$

Pro každý pevný parametr funkce s hodnotami ve fázovém prostoru se nazývá implementace nebo trajektorie náhodného procesu . Náhodný proces se nazývá přímo specifikovaný , pokud je každý elementární výsledek popsán odpovídající trajektorií ve funkčním prostoru všech funkcí na množině s hodnotami ve fázovém prostoru ; přesněji if a — algebra je generována všemi možnými válcovými množinami , kde a , a hodnoty mají tvar , . Jakýkoli náhodný proces může být spojen s přímo daným náhodným procesem se stejnými konečnorozměrnými distribucemi. Pro každou konzistentní rodinu konečněrozměrných rozdělení pravděpodobnosti ( takových, že , jsou husté míry ve fázovém topologickém prostoru ), existuje přímo daný náhodný proces se stejnými konečnorozměrnými rozděleními pravděpodobnosti. $\omega \in \Omega$ $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ $t$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\xi =\xi (t)$ $\xi =\xi (t)$ $x=x(t)$ $E=E^{T}$ $T$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\Omega =X$ $\sigma$ ${\mathfrak {A}}$ ${x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n))$ $t_{1},...,t_{n}\in T$ $B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B)))$ $\xi (t)=\xi (x,t)$ $\xi (x,t)=x(t)$ $x\in X$ $P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})$ $t_{1},...,t_{n}\in T,B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B))$ $P_{t}=P_{t}(B),t\in T$ $(E,{\mathfrak {B}})$ $\xi =\xi (t)$

kovarianční funkce . Nechť skutečný nebo složitý náhodný proces na množině mající druhé momenty: . Hodnoty náhodného procesu lze považovat za prvky Hilbertova prostoru - prostoru všech náhodných proměnných , se skalárním součinem $\xi =\xi (t)$ $T$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $\xi =\xi (t)$ $L^{2}(\Omega )$ $\eta$ $E|\eta (t)|^{2}<\infty$

({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}

Nejdůležitějšími charakteristikami takového náhodného procesu jsou jeho matematické očekávání $\xi (t)$

A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)

a kovarianční funkce

B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))=(\xi (s),\xi (t))

Místo kovarianční funkce lze použít korelační funkci , což je kovarianční funkce procesu s nulovým matematickým očekáváním. Pokud jsou argumenty ( ) stejné, korelační funkce je rovna rozptylu náhodného procesu $B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)))-A(s){\overline {A(t)))$ $\xi (t)-A(t)$
$s=t$

B(s,s)=E(\xi (s)-A(s))({\overline {\xi (s)-A(s))))=D(s)

Funkce dvou proměnných a je kovarianční funkcí nějakého náhodného procesu , , právě tehdy, pokud splňuje následující pozitivní podmínku určitosti pro všechny: $B(s,t)$ $s$ $t$ $\xi (t)$ $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ $n=1,2,...$

\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k)){\overline {c_ {j}}}\geqslant 0

pro libovolná komplexní čísla . $t_{1},t_{2},...t_{n}\in T$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}...,c_{n))$

Klasifikace

Náhodný proces se nazývá proces diskrétní v čase , pokud systém, ve kterém proudí, mění své stavy pouze v časech , jejichž počet je konečný nebo spočetný. Náhodný proces se nazývá kontinuální časový proces , pokud přechod ze stavu do stavu může nastat kdykoli. $X(t)$ $\;t_{1},t_{2},\ldots$
Náhodný proces se nazývá proces se spojitými stavy , jestliže hodnota náhodného procesu je spojitá náhodná veličina. Náhodný proces se nazývá náhodný proces s diskrétními stavy , pokud je hodnotou náhodného procesu diskrétní náhodná proměnná:
Náhodný proces se nazývá stacionární , pokud všechny zákony vícerozměrného rozdělení závisí pouze na relativní poloze časových okamžiků , ale ne na hodnotách těchto veličin samotných. Jinými slovy, náhodný proces se nazývá stacionární , pokud se jeho pravděpodobnostní vzorce v čase nemění. Jinak se nazývá nestacionární . $\;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$
Náhodná funkce se nazývá stacionární v širokém smyslu , pokud jsou její matematické očekávání a rozptyl konstantní a ACF závisí pouze na rozdílu v časových bodech, pro které jsou souřadnice náhodné funkce brány. Tento koncept představil A. Ya. Khinchin .
Náhodný proces se nazývá proces se stacionárními přírůstky určitého řádu, pokud se pravděpodobnostní vzorce takového přírůstku v čase nemění. Takové procesy zvažoval Yaglom [3] .
Jestliže ordináty náhodné funkce dodržují zákon normálního rozdělení , pak se funkce sama nazývá normální .
Náhodné funkce, jejichž zákon rozdělení souřadnic v budoucím časovém okamžiku je zcela určen hodnotou souřadnic procesu v současném časovém okamžiku a nezávisí na hodnotách souřadnic procesu v předchozích okamžicích se nazývají Markov .
Náhodný proces se nazývá proces s nezávislými přírůstky , pokud pro jakoukoli množinu , kde , a , jsou náhodné proměnné , , , vzájemně nezávislé. $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ $n>2$ $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ $(X_{{t_{2}}}-X_{{t_{1}}})$ $(X_{{t_{3}}}-X_{{t_{2}}})$ $\ldots$ $(X_{{t_{n}}}}-X_{{t_{{n-1}}}})$
Jestliže při určování momentových funkcí stacionárního náhodného procesu lze operaci průměrování nad statistickým souborem nahradit průměrováním v čase, pak se takový stacionární náhodný proces nazývá ergodický .
Mezi náhodné procesy se rozlišují impulsní náhodné procesy .
Větvící se náhodný proces může popisovat jevy spojené s reprodukcí, dělením nebo transformací objektů.

Příklady

$\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ , kde se nazývá standardní Gaussova (normální) náhodná posloupnost. $\;X_{i}\sim {\mathrm {N}} (0,1)$
Dovolit , a být náhodná proměnná. Pak $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $Y$

X_{t}(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )

je náhodný proces.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Prochorov Yu.V., Rozanov Yu.A. Teorie pravděpodobnosti (Základní pojmy. Limitní věty. Náhodné procesy) - M .: Hlavní vydání fyzikální a matematické literatury, Nauka Publishing House, 1973. - 496 stran.
↑ Náhodná funkce . www.booksite.ru _ Staženo: 20. srpna 2021. (neurčitý)
↑ Yaglom A. M. Korelační teorie procesů s náhodnými stacionárními parametrickými přírůstky // Matematická sbírka. T. 37. Vydání. 1. S. 141-197. — 1955.

Literatura

Sveshnikov AA Aplikované metody teorie náhodných funkcí. - Vedoucí redaktor fyzikální a matematické literatury, 1968.
Baskakov S.I. Rádiové/technické obvody a signály. - Vyšší škola, 2000.
Natan A. A. , Gorbačov O. G., Guz S. A. Základy teorie náhodných procesů : učebnice. příručka ke kurzu "Náhodné procesy" - M .: MZ Press - MIPT, 2003. - 168 s. ISBN 5-94073-055-8 .
Ventzel E. S. , Ovcharov L. A. Teorie náhodných procesů a její inženýrské aplikace. - M. : Nauka, 1991. - 384 s. — ISBN 5-02-014125-9 .
Kulikov EI Metody měření náhodných procesů. - M . : Rozhlas a komunikace, 1986. - 272 s.
Ralph prosinec Nelineární transformace náhodných procesů. - M . : Sovětský rozhlas, 19656. - 206 s.

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX4576445 BNF : 119326416 GND : 4057630-9 J9U : 987007536303605171 LCCN : sh85128181 NDL : 00564752 NKC : ph116285