Řešení integrální rovnice

Zvažte integrální rovnici :

f(s)+\lambda\int\limits_a^b K(s,\;t)\varphi(t)\,dt=\varphi(s).\qquad(*)

Resolvent integrální rovnice nebo její rozlišovací jádro je takovou funkcí proměnných a parametru , že řešení rovnice (*) je reprezentováno jako: $\Gamma(s,\;t,\;\lambda)$ $s$ $t$ $\lambda$

u^*(s)=f(s)+\lambda\int\limits_a^b\Gamma(s,\;t,\;\lambda)f(t)\,dt.

Nesmí to být vlastní hodnota rovnice (*). $\lambda$

Příklad

Nechť rovnice (*) má jádro , to znamená, že rovnice samotná má tvar: $K(s,\;t)=s+t$

\varphi (s)+\lambda \int \limits _{0}^{1}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).

Pak je jeho rozlišení funkcí

\Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t+\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}+st+{\dfrac {1} {3}}\right)}{1+\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.

Rozlišení lineárního operátoru

Dovolit být lineární operátor . Pak je jeho resolvent funkcí s hodnotou operátora [1] $A$

{\displaystyle R(z)=(A-zE)^{-1))

kde je operátor identity a je komplexní číslo z množiny rezolucí, tedy takové množiny, že existuje omezený operátor $E$ $z$ $R(z)$

Tento koncept se používá k řešení nehomogenní Fredholmovy rovnice druhého druhu .

Poznámky

↑ Funkce s hodnotou operátora je funkce, jejíž hodnota je operátor.

Viz také

Spektrum operátora