D s pomlčkovou transformací

D s bar-transformací je integrální transformace spojená se spojitými a diskrétními Laplaceovými transformacemi. Přímé D s čárovou transformací spojuje obraz spojité funkce s obrazem odpovídající diskrétní funkce. Je široce používán v částech teorie řízení souvisejících s diskrétními systémy.

Definice

Dovolit být Laplaceův obraz nějaké spojité funkce , A být obrazem odpovídající diskrétní funkce , kde T je vzorkovací perioda, . $X_{T}(p)$ $x_{T}(t)$ $X^{*}(q,\varepsilon )$ $x[n,\varepsilon ]=x_{T}((n+\varepsilon )T)$ $n\in \mathbb {N} \cup \{0\}$

Představme si funkci . Pak $X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)$

X^{*}(q,\varepsilon )={\overline {\mathcal {D))}\{X(q)\}={\frac {1}{2\pi j))\int \limits _{cj\infty }^{c+j\infty }X(\eta ){\frac {e^{q}}{e^{q}-e^{\eta }}}e^{\ varepsilon \eta }d\eta ,~\mathrm {Re} \,q>c

Dá se ukázat [1] , že

X^{*}(q,\varepsilon )=\sum _{k=1}^{l}{\underset {\eta =\eta _{k)){\mathrm {Res} }}{ \frac {e^{q}e^{\varepsilon \eta }}{e^{q}-e^{\eta }}}X(\eta ),

kde jsou zbytky převzaty všechny póly funkce , a to $X(q)$

X^{*}(q,\varepsilon )=\sum _{r=-\infty }^{+\infty }e^{\varepsilon (q+2\pi jr)}X(q+2 \pi jr)

Vzorec pro inverzní D s převodem čárek:

X(q)={\overline {\mathcal {D))}^{-1}\{X^{*}(q,\varepsilon )\}=\int \limits _{0}^{ 1}e^{-q\varepsilon }X^{*}(q,\varepsilon )d\varepsilon

Vlastnosti

Linearita: ${\overline {\mathcal {D))}\left\{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}X_{i}(q)\right\}=\součet _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\overline {\mathcal {D}}}\{X_{i}(q)\}$
Vynásobte : $e^{kq},~k\in \mathbb {Z}$ ${\overline {\mathcal {D}}}\{e^{kq}X(q)\}=e^{kq}{\overline {\mathcal {D}}}\{X(q) \}$
Vynásobte : $e^{-\gamma q},~0<\gamma <1$ ${\overline {\mathcal {D))}\{e^{-\gamma q}X(q)\}={\begin{cases}e^{-q}X^{*}(q ,1+\varepsilon -\gamma ),&0\leqslant \varepsilon <\gamma ,\\X^{*}(q,\varepsilon -\gamma ),&\gamma \leqslant \varepsilon <1\end{případy} }$
Posun q o ±λ: ${\overline {\mathcal {D))}\{X(q\pm \lambda )\}=e^{\mp \lambda \varepsilon }X^{*}(q\pm \lambda ,\ varepsilon)$
Násobení q: ${\overline {\mathcal {D}}}\{qX(q)\}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}{\overline {\mathcal {D}}}\{ X(q)\}$
Dělení podle q: ${\overline {\mathcal {D}}}\left\{{\frac {X(q)}{q}}\right\}=\int \limits _{0}^{\varepsilon }{ \overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon +{\frac {1}{e^{q}-1}}\int \limits _{0}^{1} {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}d\varepsilon$
Diferenciace s ohledem na q: ${\overline {\mathcal {D))}\left\({\frac {d}{dq))X(q)\right\}={\frac {\partial }{\partial q)) {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}-\varepsilon {\overline {\mathcal {D}}}\{X(q)\}$

Tabulka některých transformací

$X_{T}(s)={\mathcal {L}}\{x_{T}(t)\}$	$X(q)={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {q}{T}}\right)$	$X^{*}(q,\varepsilon )={\mathcal {D}}\{x[n,\varepsilon ]\}={\overline {\mathcal {D}}}\{X(q )\}$
${\frac {1}{s))$	${\frac {1}{q))$	${\frac {e^{q}}{e^{q}-1}}$
${\frac {T}{Ts+\beta }}$	${\frac {1}{q+\beta }}$	${\frac {e^{q}e^{-\beta \varepsilon }}{e^{q}-e^{-\beta }}}$
${\displaystyle {\frac {T}{T^{2}s^{2}+2\zeta Ts\beta +\beta ^{2))))$	${\displaystyle {\frac {1}{q^{2}+2\zeta q\beta +\beta ^{2))))$	${\frac {e^{q}e^{-\zeta \beta \varepsilon }(e^{q}\sin \beta \varepsilon {\sqrt {1-\zeta ^{2))}+ e^{-\zeta \beta }\sin \beta (1-\varepsilon ){\sqrt {1-\zeta ^{2))})}{\beta {\sqrt {1-\zeta ^{2} }}(e^{2q}-2e^{q}e^{-\zeta \beta }\cos \beta {\sqrt {1-\zeta ^{2))}+e^{-2\zeta \ beta })}}$

Poznámky

↑ Golovanov M. A., Ivanov V. A. Poznámky z přednášek ke kurzu "Teorie číslicových automatických řídicích systémů": Část 1. - M .: Nakladatelství MGTU, 1990. - S. 44−46.