Z-transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. března 2020; kontroly vyžadují 6 úprav .

Z-transformace ( Laurentova transformace ) je konvoluce původního signálu, daného posloupností reálných čísel v časové oblasti, do analytické funkce komplexní frekvence. Jestliže signál představuje impulsní odezvu lineárního systému , pak Z-transformační koeficienty ukazují odezvu systému na komplexní exponenciály , tj. na harmonické oscilace s různými frekvencemi a rychlostmi vzestupu/útlumu. $E(n)=z^{{-n}}=r^{{-n}}e^{{-i\omega n}}$

Definice

Z-transformace, stejně jako mnoho integrálních transformací, může být specifikována jako jednostranná a oboustranná .

Obousměrná Z-transformace

Oboustranná Z-transformace diskrétního časového signálu je dána: $X(z)$ $x[n]$

X(z)=Z\{x[n]\}=\součet _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

kde je celé číslo a je komplexní číslo. $n$ $z$

z=Ae^{{j\varphi }},

kde je amplituda a úhlová frekvence (v radiánech na vzorek) $A$ $\varphi$

Jednosměrná Z-transformace

V případech, kdy je definována pouze pro , je jednostranná Z-transformace dána vztahem: $x[n]$ $n\geqslant 0$

X(z)=Z\{x[n]\}=\součet _{{n=0}}^{{\infty }}x[n]z^{{-n}}.

Inverzní Z-transformace

Inverzní Z-transformace je definována například takto:

x[n]=Z^{{-1}}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint \limits _{{C}}X(z)z ^{{n-1}}\,dz,

kde je obrys ohraničující oblast konvergence . Kontura musí obsahovat všechny zbytky . $C$ $X(z)$ $X(z)$

Vložením předchozího vzorce získáme ekvivalentní definici: $z=re^{{j\varphi }}$ $x[n]={\frac {r^{n}}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{\pi }X(re^{{j\varphi }}) e^{{jn\varphi }}\,d\varphi .$

Konvergenční region

Oblast konvergence je určitá množina bodů na komplexní rovině, ve které existuje konečná limita řady: $D$

D=\left\{z{\Big |}\lim _{m\to \infty }\sum _{n=-m}^{m}x[n]z^{-n}=konst <\infty\right\}.

Příklad 1 (žádná oblast konvergence)

Nechte _ Rozšířením o interval získáme $x[n]=0{,}5^{n}$ $x[n]$ $(-\infty ,\;\infty )$

x[n]=\{\ldots ;\;0{,}5^{-3};\;0{,}5^{-2};\;0{,}5^{-1 };\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,}5^{3};\;\ldots \}=\{\ldots ; \;2^{3};\;2^{2};\;2;\;1;\;0{,}5;\;0{,}5^{2};\;0{,} 5^{3};\;\ldots\}.

Podívejme se na množství:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\infty .

Proto neexistují žádné takové hodnoty , které by splnily podmínku konvergence. $z$

Vztah s Laplaceovou transformací

Bilineární transformaci lze použít k transformaci spojitého času, například při analytickém popisu lineárních filtrů reprezentovaných Laplaceovou transformací na diskrétní časové vzorky s periodou reprezentovanou v doméně z a naopak. Tato transformace používá proměnnou substituci: $T,$

s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1))).

Reverzní přechod od z-transformace k Laplaceově transformaci se provádí podobnou změnou proměnné:

z={\frac {2+sT}{2-sT)).

Bilineární transformace mapuje komplexní s-rovinu Laplaceovy transformace na komplexní z-rovinu z-transformace. Toto zobrazení je nelineární a vyznačuje se tím, že mapuje osu s-roviny na jednotkovou kružnici v rovině z. $s=\sigma +j\omega$ $j\omega$

Fourierova transformace , což je Laplaceova transformace proměnné , tedy přechází do Fourierovy transformace s diskrétním časem. Předpokládá se, že existuje Fourierova transformace, to znamená, že osa je v oblasti konvergence Laplaceovy transformace. $j\omega$ $j\omega$

Tabulka některých Z-transformací

Označení:

$\theta [n]=\left\{{\begin{array}{c}1,n\geqslant 0\\0,n<0\end{array}}\right.$ je funkce Heaviside .
$\delta[n]=1$ for , a for all other n je delta posloupnost (nezaměňovat s Kroneckerovým delta symbolem a Diracovou delta funkcí). $n=0$ $\delta[n]=0$

	Signál, $x[n]$	Z-transformace, $X(z)$	Oblast konvergence
jeden	$\delta[n]$	$jeden$	$\forall z$
2	$\delta[n-n_{0}]$	${\frac {1}{z^{{n_{0))))}$	$z\neq 0$
3	$\theta[n]$	${\frac {z}{z-1}}$	$\|z\|>1$
čtyři	$a^{n}\theta[n]$	${\frac {1}{1-az^{{-1))))$	$\|z\|>\|a\|$
5	$na^{n}\theta[n]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|>\|a\|$
6	$-a^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {1}{1-az^{{-1))))$	$\|z\|<\|a\|$
7	$-na^{n}\theta [-n-1]$	${\frac {az^{{-1}}}{(1-az^{{-1}})^{2}}}$	$\|z\|<\|a\|$
osm	$\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-z^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{ {-2}}}}$	$\|z\|>1$
9	$\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {z^{{-1}}\sin(\omega _{0})}{1-2z^{{-1}}\cos(\omega _{0})+z^{{- 2}}}}$	$\|z\|>1$
deset	$a^{n}\cos(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {1-az^{{-1}}\cos(\omega _{0})}{1-2az^{{-1}}\cos(\omega _{0})+a^{ 2}z^{{-2}}}}$	$\|z\|>\|a\|$
jedenáct	$a^{n}\sin(\omega _{0}n)\theta [n]$	${\frac {az^{-1}\sin(\omega _{0})}{1-2az^{-1}\cos(\omega _{0})+a^{2}z ^{-2}}}$	$\|z\|>\|a\|$

Viz také

Odkazy

Weisstein, Eric W. Z-Transform (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Döch G. Průvodce praktickou aplikací Laplaceovy transformace a Z-transformace. S použitím tabulek sestavených R. Herschelem: Per. z němčiny. Řada: Fyzikálně-matematická knihovna inženýra. 1971. 288 s.

Zpracování digitálních signálů
Teorie	Signál diskrétní signál Kotelnikovova věta Teorie statistických odhadů Teorie detekce signálu
Pododdíly	Digitální zpracování audio signálu Teorie automatického řízení Digitální zpracování obrazu Zpracování řeči Statistické zpracování signálu
Techniky	Diskrétní Fourierova transformace (DFT) Časově diskrétní Fourierova transformace (DTFT) impulsní Bilineární transformace Konzistentní Z-transformace Upravená Z-transformace
Vzorkování	supersampling dílčí vzorkování Snížení rozlišení Zvýšení rozlišení Aliasing filtr Vzorkovací frekvence Nyquistova frekvence