Místní de Moivre-Laplaceova věta

Moivre - Laplaceův teorém je jedním z limitujících teorémů teorie pravděpodobnosti, který založil Laplace v roce 1812 . Pokud je pro každý z nezávislých pokusů pravděpodobnost výskytu nějaké náhodné události rovna , a je to počet pokusů, ve kterých k ní skutečně dojde, pak se pravděpodobnost platnosti nerovnosti blíží (pro velké ) hodnotě Laplaceův integrál. $n$ $E$ $p\in(0,1)$ $m$ $E$ $n$

Aplikace

Při zvažování počtu výskytů události v Bernoulliho pokusech je nejčastěji nutné najít pravděpodobnost, která leží mezi některými hodnotami a . Protože pro dostatečně velký interval obsahuje velký počet jedniček, pak přímé použití binomického rozdělení $m$ $A$ $n$ $m$ $A$ $b$ $n$ $[a,b]$

$p_{n}(m)={\frac {n!}{m!(nm)!}}p^{m}q^{{nm}}$

vyžaduje těžkopádné výpočty, protože je nutné sečíst velké množství pravděpodobností určených tímto vzorcem.

Proto se používá asymptotický výraz pro binomické rozdělení za předpokladu, že je pevný a . Moivre-Laplaceova věta říká, že takový asymptotický výraz pro binomické rozdělení je normální funkcí. $p$ $n\šipka doprava +\infty$

Formulace

Pokud v Bernoulliho schématu tíhne k nekonečnu, hodnota je konstantní a hodnota je omezena rovnoměrně v a (tj. ), pak $n$ $p\in(0,1)$ $x_{m}={\frac {m-np}{{\sqrt {npq))))$ $m$ $n$ $\exists a,b:-\infty <a\leqslant x_{m}\leqslant b<+\infty$

$P_{n}(m)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq))))\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2}}{2}} \right)(1+\alpha _{n}(m))$

kde . $\left|\alpha _{n}(m)\right|<{\frac {c}{\sqrt {n}}},c={\text{const}}>0$

Přibližný vzorec

$P_{n}(m)\cca {\frac {1}{{\sqrt {2\pi npq))))\exp \left(-{\frac {x_{m}^{2)){2} }\že jo)$

doporučuje se aplikovat v a v . $n>100$ $m>20$

Důkaz

K prokázání věty použijeme Stirlingův vzorec z matematické analýzy :

s!={\sqrt {2\pi }}s^{s+1/2}e^{-s}e^{\theta _{s)),

(jeden)

kde . $0<\theta _{s}<1/{12s}$

Celkově je hodnota velmi malá a přibližný Stirlingův vzorec je zapsán v jednoduché formě $s$ $\theta$

s!={\sqrt {2\pi }}s^{{s+1/2}}e^{{-s}}

(2)

dává malou relativní chybu, rychle inklinující k nule při . $s\šipka doprava +\infty$

Budou nás zajímat hodnoty , které se příliš neliší od těch nejpravděpodobnějších. Pak, za pevně dané podmínky , to bude také znamenat $m$ $p$ $n\šipka doprava +\infty$

m\rightarrow +\infty ,nm\rightarrow +\infty .

(3)

Proto platí použití Stirlingova přibližného vzorce k nahrazení faktoriálů v binomickém rozdělení a dostáváme

p_{n}(m)\cca {\sqrt {\frac {n}{2\pi m(nm)}}}\left({\frac {np}{m}}\right)^{ m}\left({\frac {nq}{nm}}\right)^{nm}.

(čtyři)

Budete také muset použít odchylku relativní frekvence od nejpravděpodobnější hodnoty:

x_{m}={\frac {m}{n}}-p.

(5)

Potom výraz (4) nabývá tvaru:

p_{n}(m)=\left[2\pi n(p+x_{m})(q-x_{m})\right]^{-1/2}\left(1+{ \frac {x_{m}}{p}}\right)^{-n(p+x_{m})}\left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)^ {-n(q-x_{m})}.

(6)

Pojďme to předstírat

x_{m}<pq.

(7)

Vezmeme-li logaritmus druhého a třetího faktoru rovnosti (6), použijeme rozšíření Taylorovy řady:

-n\left[(p+x_{m})\ln {\left(1+{\frac {x_{m}}{p}}\right)}+(q-x_{m})\ln { \left(1-{\frac {x_{m}}{q}}\right)}\right]=

-n\left[(p+x_{m})\left({\frac {x_{m}}{p}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2p^{ 2}}}+{\frac {x_{m}^{3}}{3p^{3}}}-\cdots \right)+(q-x_{m})\left(-{\frac {x_ {m}}{q}}-{\frac {x_{m}^{2}}{2q^{2}}}-{\frac {x_{m}^{3}}{3q^{3} }}-\cdots\right)\right].

(osm)

Podmínky tohoto rozšíření domlouváme v pravomocích : $x_{m}$

-n\left[{\frac {x_{m}^{2}}{2}}\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}\ vpravo)-{\frac {x_{m}^{3}}{6}}\left({\frac {1}{p^{2}}}-{\frac {1}{q^{2} }}\right)+\cdots\right].

(9)

Předpokládejme, že v $n\rightarrow +\infty ,$

nx_{m}^{3}\rightarrow 0.

(deset)

Tato podmínka, jak již bylo zmíněno výše, znamená, že uvažované hodnoty nejsou příliš vzdálené od nejpravděpodobnějších. Je zřejmé, že (10) zajišťuje splnění (7) a (3). $m$

Nyní, když zanedbáme druhý a další členy v expanzi (6), zjistíme, že logaritmus součinu druhého a třetího členu součinu na pravé straně (8) je roven

-{\frac {n}{2pq}}x_{m}^{2}.

(jedenáct)

Vynecháním malých členů v závorkách prvního faktoru (6) získáme

p_{n}(m)\approx \left({\frac {1}{\sqrt {2\pi npq))}\right)\exp {\left(-{\frac {n}{2pq }}x_{m}^{2}\right)}.

(12)

Označující

\sigma ={\sqrt {\frac {pq}{n}}},

(13)

přepsat (12) jako

p_{n}(m)\cca {\frac {1}{n}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp {\left(-{ \frac {x_{m}^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}={\frac {1}{n}}\varphi (x_{m}),

(čtrnáct)

Kde je normální funkce. $\varphi (x_{m})$

Protože v intervalu je pouze jedno celé číslo , můžeme říci, že existuje pravděpodobnost pádu do intervalu . Z (5) vyplývá, že změna o 1 odpovídá změně o $[m,m+1)$ $m$ $p_{n}(m)$ $m$ $[m,m+1)$ $m$ $x_{m}$

\Delta x={\frac {1}{n)).

(patnáct)

Pravděpodobnost pádu do intervalu se tedy rovná pravděpodobnosti pádu do intervalu $m$ $[m,m+1)$ $x_{m}$ $[x_{m0},x_{m0}+\Delta x),$

P(x_{m0}\leq x_{m}\leq x_{m0}+\Delta x)=\varphi (x_{m})\Delta x.

(16)

Jestliže , pak rovnost (16) také ukazuje, že normální funkcí je hustota náhodné veličiny . $n\šipka doprava +\infty$ $\Delta x\rightarrow +0$ $\varphi(x)$ $x_{m}$

Pokud tedy pro odchylku relativní četnosti od nejpravděpodobnější hodnoty platí asymptotický vzorec (16), ve kterém je normální funkce c a . $n\rightarrow +\infty ,nx^{3}\rightarrow 0$ $\varphi(x)$ $x_{m}=0$ $\sigma ^{2}={\frac {pq}{n}}$

Tím je věta dokázána.

Literatura

Gmurman V. E. Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika, - M . : Vysokoškolské vzdělání. 2005
Shiryaev A. N. Pravděpodobnost, - M . : Nauka. 1989.
Chistyakov V.P. Kurz teorie pravděpodobnosti, Moskva , 1982.