Bernoulliho schéma

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 16. července 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Provádějí se experimenty , v každém z nich může s pravděpodobností nastat určitá událost („úspěch“) (nebo nenastat – „neúspěch“ – s pravděpodobností ). Úkolem je zjistit pravděpodobnost dosažení přesných úspěchů v těchto experimentech. $n$ $p$ $q = 1-p$ $m$ $n$

Řešení:

P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{{nm}}

( Bernoulliho vzorec ).

Počet úspěchů je náhodná hodnota, která má binomické rozdělení .

Definice

Pro použití Bernoulliho schématu musí být splněny následující podmínky:

Každý pokus má přesně dva výsledky, běžně nazývané úspěch a neúspěch.
Nezávislost testů: výsledek dalšího experimentu by neměl záviset na výsledcích předchozích experimentů.
Pravděpodobnost úspěchu by měla být konstantní (pevná) pro všechny pokusy.

Zvažte stochastický experiment s dvouprvkovým prostorem elementárních událostí . Nazvěme jeden "úspěch", označíme "1", další - "neúspěch", označíme "0". Nechť je pravděpodobnost úspěchu , pak pravděpodobnost neúspěchu . $0<p<1$ $1-p=q$

Uvažujme nový stochastický experiment, který spočívá ve -násobném opakování tohoto nejjednoduššího stochastického experimentu. $n$

Je zřejmé, že prostor elementárních událostí , který odpovídá tomuto novému stochastickému experimentu, bude (1), . Vezměme Boolean prostoru elementárních událostí (2) jako -algebru událostí . Každá elementární událost má přiřazeno číslo . Pokud je v elementární události jednou pozorován úspěch a jednou neúspěch , pak . Nechte tedy . Je také zřejmé, že pravděpodobnost je normalizována: . $\Omega$ $\left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}=\overline {0,1},i=\overline {1,n}\right\rbrace$ $N(\Omega )=2^{n}$ $\sigma$ $\mathcal{A}$ $P(\Omega)$ $\omega \in \Omega$ $p(\omega )=p^{{\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}}}q^{{n-\sum _{{i=1}}^{n} a_{i}}}$ $\omega$ $k$ $(nk)$ $p(\omega )=p^{k}q^{{nk}}$ $A_{k}=\{\omega \in \Omega |\součet _{{i=1}}^{n}a_{i}=k\},k=\overline {0,n}$ $P(A_{k})=\součet _{{\omega \in A_{k))}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk))$ $\sum _{{\omega \in \Omega }}P(\omega )=\součet _{{k=0}}^{n}\součet _{{\omega \in A_{k}}}P( \omega )=\sum _{{k=0}}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}}=(p+q)^{n}=1 ^{n}=1$

Přiřazením číselné hodnoty (3) každé události zjistíme pravděpodobnost . Sestrojený prostor , kde je prostor elementárních událostí definovaný rovností (1), je -algebra definovaná rovností (2), P je pravděpodobnost definovaná rovností (3), se nazývá Bernoulliho testovací schéma . $A\in {\matematický {A}}$ $P(A)=\součet _{{\omega \in A}}P(\omega )$ $P:{\mathcal {A}}\to {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {A}),P)$ $\Omega$ $\mathcal{A}$ $\sigma$ $n$

Množina čísel se nazývá binomické rozdělení. $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}},k=\overline {0,n},n\in {\mathbb {N}}$

Generalizace (polynomiální schéma)

Obvyklý Bernoulliho vzorec platí pro případ, kdy je v každém pokusu možná jedna ze dvou událostí. Bernoulliho vzorec lze zobecnit na případ, kdy se jedna a pouze jedna z událostí vyskytne s pravděpodobností , kde . Pravděpodobnost výskytu první události a - druhého a k-tého času zjistíme vzorcem: $k>2$ $p_{i}(i=1,2,...,k)$ $p_{1}+...+p_{k}=1$ $m_{1}$ $m_{2}$ $m_{k}$

P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k} !}}{p_{1}}^{{m_{1}}}{p_{2}}^{{m_{2}}}...{p_{k}}^{{m_{k}} }

kde $n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.$

Věty

Za speciálních podmínek (pro dostatečně velké nebo dostatečně malé parametry) se pro Bernoulliho schéma používají přibližné vzorce z limitních vět : Poissonova věta , lokální Moivre-Laplaceova věta, Moivre-Laplaceova integrální věta .

Odkazy

Testovací sekvence (Bernoulliho schéma)

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus
V bibliografických katalozích	J9U : 987007283266105171 LCCN : sh85013374