Pravděpodobnost je míra (relativní míra, kvantitativní hodnocení) možnosti výskytu nějaké události . Když důvody pro nějakou možnou událost, která skutečně nastane, převažují nad opačnými důvody, pak se tato událost nazývá pravděpodobná , jinak - nepravděpodobná nebo nepravděpodobná . Převaha pozitivních důvodů nad negativními a naopak může být v různé míře, v důsledku čehož je pravděpodobnost (a nepravděpodobnost ) větší či menší [1] . Pravděpodobnost je proto často posuzována na kvalitativní úrovni, zejména v případech, kdy je více či méně přesné kvantitativní posouzení nemožné nebo extrémně obtížné. Jsou možné různé gradace „úrovní“ pravděpodobnosti [2] .
Studium pravděpodobnosti z matematického hlediska je speciální disciplína - teorie pravděpodobnosti [1] . V teorii pravděpodobnosti a matematické statistice je pojem pravděpodobnost formalizován jako numerická charakteristika události - pravděpodobnostní míra (nebo její hodnota) - míra na množině událostí (podmnožiny množiny elementárních událostí), nabývající hodnot od do . Hodnota odpovídá platné události. Nemožná událost má pravděpodobnost 0 (opak obecně neplatí vždy). Je-li pravděpodobnost výskytu události rovna , pak pravděpodobnost jejího nenaplnění (stejně jako nepravděpodobnost výskytu) je rovna . Pravděpodobností se rozumí zejména stejná pravděpodobnost výskytu a neexistence události.
Klasická definice pravděpodobnosti je založena na konceptu ekvipravděpodobnosti výsledků. Pravděpodobnost je poměr počtu výsledků, které upřednostňují danou událost, k celkovému počtu stejně pravděpodobných výsledků. Například pravděpodobnost získání „hlav“ nebo „ocasu“ při náhodném hodu mincí je stejná a stejná , pravděpodobnost získání jakékoli strany kostky je stejná a stejná . Tuto klasickou „definici“ pravděpodobnosti lze zobecnit na případ nekonečného počtu možných hodnot – například pokud událost může nastat se stejnou pravděpodobností v libovolném bodě (počet bodů je nekonečný) na nějaké omezené ploše. prostoru (roviny), pak pravděpodobnost, že se to stane v některé části této přípustné plochy, je rovna poměru objemu (plochy) této části k objemu (plochě) plochy všech možných bodů .
Empirická „definice“ pravděpodobnosti souvisí s četností výskytu nějaké události, vychází z toho, že při dostatečně velkém počtu pokusů by četnost měla směřovat k objektivní míře možnosti této události. V moderní prezentaci teorie pravděpodobnosti je pravděpodobnost definována axiomaticky , jako zvláštní případ abstraktní teorie míry množiny . Nicméně spojnicí mezi abstraktní mírou a pravděpodobností, která vyjadřuje míru možnosti události, je právě frekvence jejího pozorování.
Pravděpodobnostní popis určitých jevů se rozšířil v moderní vědě, zejména v ekonometrii , statistické fyzice makroskopických ( termodynamických ) systémů, kde i v případě klasického deterministického popisu pohybu částic, deterministický popis celého systému částic není prakticky možné a vhodné. V kvantové fyzice mají popsané procesy samy pravděpodobnostní povahu.
Potřeba pojmu pravděpodobnost a výzkum v tomto směru je historicky spojena s hazardními hrami , zejména hrami v kostky. Než se objevil pojem pravděpodobnosti, kombinatorické problémy byly formulovány hlavně pro výpočet počtu možných výsledků při hodu několika kostkami, stejně jako problém rozdělování sázky mezi hráče, když je hra ukončena v předstihu. První problém, při hodu třemi kostkami, „vyřešil“ v roce 960 biskup Wiebold z Cambrai [3] . Napočítal 56 možností. Toto číslo však ve skutečnosti neodráží počet ekvipravděpodobných možností, protože každou z 56 možností lze realizovat různým počtem způsobů. V první polovině 13. století tyto aspekty zohlednil Richard de Fornival . Navzdory tomu, že má také číslo 56, ve svých úvahách zohledňuje, že například „stejný počet bodů na třech kostkách lze získat šesti způsoby“. Na základě jeho úvah lze již nyní konstatovat, že počet stejně možných možností je 216. V budoucnu mnozí tento problém neřešili zcela správně. Galileo Galilei poprvé jasně vypočítal počet stejně možných výsledků při házení třemi kostkami a zvýšil šest (počet možností pro vržení jedné kostky) na mocninu 3 (počet kostek): 6³ = 216 . Vytvořil také tabulky počtu způsobů, jak získat různé množství bodů.
Problémy druhého typu na konci 15. století formuloval a navrhoval první (obecně řečeno chybné) řešení Luca Pacioli [3] . Jeho řešením bylo rozdělit sázku v poměru k již vyhraným hrám. Další významný pokrok na počátku 16. století je spojen se jmény italských vědců Gerolama Cardana a N. Tartaglia . Cardano správně spočítal, kolikrát byly vrženy dvě kostky (36). Také poprvé koreloval počet výskytů určitého čísla na alespoň jedné kostce (11) s celkovým počtem výsledků (což odpovídá klasické definici pravděpodobnosti) - 11/36. Podobně u tří kostek uvažoval například o tom, že devět bodů lze získat mnoha způsoby, které se rovnají 1/9 „celé série“ (to znamená, že celkový počet stejně možných výsledků je 216). Cardano formálně nezavedl pojem pravděpodobnosti, ale v podstatě uvažoval o relativním počtu výsledků, což je v podstatě ekvivalentní zvažování pravděpodobností. V jeho plenkách v Cardano lze také najít myšlenky související se zákonem velkých čísel. Pokud jde o úkol rozdělit sázku, Cardano navrhl vzít v úvahu počet zbývajících her, které je třeba vyhrát. N. Tartaglia také komentoval Lukovo rozhodnutí a nabídl vlastní řešení (obecně řečeno také chybné).
Zásluha Galilea spočívá také v rozšíření pole výzkumu do oblasti pozorovacích chyb. Nejprve poukázal na nevyhnutelnost chyb a roztřídil je na systematické a náhodné (tato klasifikace se používá dodnes).
První práce o pravděpodobnosti pocházejí ze 17. století. Jako je korespondence francouzských vědců B. Pascala , P. Fermata (1654) a nizozemského vědce X. Huygense (1657), kteří podali nejstarší známý vědecký výklad pravděpodobnosti [4] . Huygens v podstatě již operoval s konceptem očekávání. Švýcarský matematik J. Bernoulli zavedl zákon velkých čísel pro schéma nezávislých zkoušek se dvěma výsledky (výsledek byl publikován v roce 1713, po jeho smrti).
V XVIII století. - začátek 19. století teorie pravděpodobnosti je rozvinuta v dílech A. Moivreho (Anglie, 1718), P. Laplacea (Francie), C. Gausse (Německo) a S. Poissona (Francie). Teorie pravděpodobnosti se začíná uplatňovat v teorii pozorovacích chyb, která se vyvinula v souvislosti s potřebami geodézie a astronomie, a v teorii střelby. Zákon rozdělení chyb v podstatě navrhl Laplace, nejprve jako exponenciální závislost na chybě bez zohlednění znaménka (v roce 1774), poté jako exponenciální funkci druhé mocniny chyby (v roce 1778). Poslední zákon se obvykle nazývá Gaussovo rozdělení nebo normální rozdělení. Bernoulli (1778) zavedl princip součinu pravděpodobností simultánních událostí. Adrien Marie Legendre (1805) vyvinul metodu nejmenších čtverců .
Ve druhé polovině XIX století. Rozvoj teorie pravděpodobnosti je spojen s prací ruských matematiků P. L. Čebyševa , A. M. Ljapunova a A. A. Markova (starší), stejně jako s prací na matematické statistice od A. Queteleta (Belgie) a F. Galtona (Anglie) fyziky L. Boltzmanna (v Rakousku), který vytvořil základ pro výrazné rozšíření problémů teorie pravděpodobnosti. Nejpoužívanější logické (axiomatické) schéma pro konstrukci základů teorie pravděpodobnosti vyvinul v roce 1933 sovětský matematik A. N. Kolmogorov .
Klasická „definice“ pravděpodobnosti vychází z konceptu ekvipravděpodobnosti jako objektivní vlastnosti zkoumaných jevů. Ekvivalence je nedefinovatelný pojem a je stanovena z obecných úvah o symetrii zkoumaných jevů. Například při hodu mincí se předpokládá, že kvůli předpokládané symetrii mince, homogenitě materiálu a náhodnosti (nezaujatosti) hodu není důvod upřednostňovat „ocásky“ před „orly“ nebo naopak, to znamená, že ztrátu těchto stran lze považovat za stejně pravděpodobnou (ekvipravděpodobnou) .
Spolu s pojmem ekvipravděpodobnosti v obecném případě vyžaduje klasická definice také pojem elementárního jevu (výsledku), který zvýhodňuje či neupřednostňuje zkoumaný jev A. Hovoříme o výstupech, jejichž výskyt vylučuje možnost o výskytu dalších výsledků. To jsou neslučitelné elementární události. Když se například hodí kostkou, získání konkrétního čísla vyloučí zbytek čísel.
Klasická definice pravděpodobnosti může být formulována takto:
Pravděpodobnost náhodného jevu A je poměr počtu n neslučitelných stejně pravděpodobných elementárních jevů, které tvoří jev A , k počtu všech možných elementárních jevů N :
Předpokládejme například, že jsou vrženy dvě kostky. Celkový počet stejně možných výsledků (elementárních událostí) je 36 (protože pro každý ze 6 možných výsledků jedné kosti existuje 6 možných výsledků pro druhou). Odhadněte pravděpodobnost získání sedmi bodů. 7 bodů můžete získat pouze s následujícími kombinacemi výsledků hodu dvěma kostkami: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. To znamená, že celkem 6 stejně pravděpodobných výsledků, které upřednostňují skóre 7 bodů z 36 možných výsledků hodu kostkou. Pravděpodobnost se tedy bude rovnat 6/36, nebo, je-li zkrácena, 1/6. Pro srovnání: pravděpodobnost získání 12 bodů nebo 2 bodů je pouze 1/36 - 6x menší.
Přestože je klasická definice intuitivní a odvozená z praxe, alespoň ji nelze přímo aplikovat, pokud je počet stejně možných výsledků nekonečný. Pozoruhodným příkladem nekonečného počtu možných výsledků je omezená geometrická oblast G, například na rovině s plochou S. Náhodně „hozený“ „bod“ se může se stejnou pravděpodobností nacházet v kterémkoli bodě této oblasti. Problém je určit pravděpodobnost, že bod spadne do nějaké subdomény g s oblastí s. V tomto případě zobecněním klasické definice můžeme dospět ke geometrické definici pravděpodobnosti pádu do subdomény :
Vzhledem ke stejné možnosti tato pravděpodobnost nezávisí na tvaru oblasti g, závisí pouze na její ploše. Tuto definici lze přirozeně zobecnit na prostor libovolné dimenze, kde se místo plochy používá pojem „objem“. Navíc právě tato definice vede k moderní axiomatické definici pravděpodobnosti. Pojem objem je zobecněn na pojem míry nějaké abstraktní množiny, na kterou jsou kladeny požadavky, které má „objem“ i v geometrickém výkladu – jde především o nezápornost a aditivitu .
Klasická definice při zvažování složitých problémů naráží na těžkosti nepřekonatelného charakteru. Zejména v některých případech nemusí být možné identifikovat stejně pravděpodobné případy. I v případě mince, jak známo, existuje zjevně ne stejně pravděpodobná možnost vypadnutí „hrany“, kterou nelze z teoretických úvah odhadnout (lze jen říci, že je nepravděpodobná a tato úvaha je spíše praktická ). Proto byla na úsvitu vzniku teorie pravděpodobnosti navržena alternativní „frekvenční“ definice pravděpodobnosti. Formálně lze totiž pravděpodobnost definovat jako hranici četnosti pozorování jevu A za předpokladu homogenity pozorování (tedy shodnosti všech pozorovacích podmínek) a jejich vzájemné nezávislosti:
kde je počet pozorování a je počet výskytů události .
Přestože tato definice spíše ukazuje na způsob odhadu neznámé pravděpodobnosti - pomocí velkého množství homogenních a nezávislých pozorování - tato definice odráží obsah pojmu pravděpodobnost. Totiž, pokud je nějaké události přisouzena určitá pravděpodobnost, jako objektivní měřítko její možnosti, pak to znamená, že za pevných podmínek a vícenásobného opakování bychom se měli frekvenci jejího výskytu blížit (čím blíže, tím více pozorování). Ve skutečnosti je to původní význam pojmu pravděpodobnost. Vychází z objektivistického pohledu na přírodní jevy. Níže se budeme zabývat tzv. zákony velkých čísel, které poskytují teoretický základ (v rámci moderního axiomatického přístupu uvedeného níže), včetně frekvenčního odhadu pravděpodobnosti.
V době, kdy byla vytvořena teorie pravděpodobnosti, byly základem matematiky dvě třídy objektů – čísla a geometrické útvary. Pro teorii pravděpodobnosti bylo nutné tento seznam doplnit o velmi speciální objekt: náhodnou událost , jakož i pojmy s ní úzce související (pravděpodobnost, náhodná veličina atd.). Originalita nové vědy se projevila i v tom, že její výroky nebyly bezpodmínečné, jak se dříve v matematice přijímalo, ale pravděpodobně pravděpodobnostní. Proto se dlouhou dobu vedou spory o to, zda lze idealizovanou událost považovat za matematický pojem (a pak je teorie pravděpodobnosti součástí matematiky), nebo zda jde o skutečnost pozorovanou ve zkušenosti (a pak by teorie pravděpodobnosti měla být připisovaný přírodním vědám) nepřestal.
Podle Davida Hilberta teorie pravděpodobnosti souvisí s mechanikou, to znamená, že jde o matematickou „fyzikální disciplínu“ [5] . August de Morgan a jeho následovník W. S. Jevons uvažovali o základním konceptu „ subjektivní pravděpodobnosti “, tedy o kvantitativním měřítku našeho chápání předmětu studia, a propojili teorii pravděpodobnosti s logikou [6] . Problémy spojené s nejednoznačnou subjektivní pravděpodobností byly opakovaně diskutovány, často jsou formulovány ve formě „pravděpodobnostních paradoxů“ (viz např. „ paradox tří vězňů “ nebo „ paradox chlapce a dívky “). Formalizace subjektivní pravděpodobnosti kompatibilní s Kolmogorovovou navrhl Bruno de Finetti (1937) a Leonard Savage (1954).
Alfred Renyi a A. N. Kolmogorov ve druhé polovině 20. století zkoumali možnost zdůvodnění teorie pravděpodobnosti na základě teorie informace [7] . V dnešní době „je jasné, že teorie pravděpodobnosti je skutečně matematickou vědou, která má zároveň nejužší a nejpřímější souvislosti s širokou škálou přírodních věd, jakož i s technickými a socioekonomickými disciplínami“ [8] .
I přes účinnost pravděpodobnostních metod ověřenou praxí zůstává role náhody v přírodě, příčina a meze statistické stability předmětem diskuse [9] . „Za 200 let, které uplynuly od dob Laplacea a Gausse, věda nepokročila v základní otázce – kdy vzniká statistická stabilita“ [10] .
V moderním matematickém přístupu je pravděpodobnost dána Kolmogorovovou axiomatikou . Předpokládá se, že je dán určitý prostor elementárních událostí . Podmnožiny tohoto prostoru jsou interpretovány jako náhodné události . Sjednocení (součet) některých podmnožin (událostí) je interpretováno jako událost spočívající ve výskytu alespoň jedné z těchto událostí. Průnik (součin) podmnožin (událostí) je interpretován jako událost spočívající ve výskytu všech těchto událostí. Disjunktní množiny jsou interpretovány jako neslučitelné události (jejich společný výskyt je nemožný). Prázdná množina tedy znamená nemožnou událost.
Pravděpodobnost ( míra pravděpodobnosti ) je míra (numerická funkce) daná množinou událostí s následujícími vlastnostmi:
Je-li prostor elementárních jevů X konečný , pak stačí zadaná podmínka aditivity pro libovolné dva neslučitelné jevy, z nichž bude vyplývat aditivita pro libovolný konečný počet neslučitelných událostí. V případě nekonečného ( spočetného nebo nepočitatelného) prostoru elementárních událostí však tato podmínka nestačí. Je vyžadována takzvaná spočetná nebo sigma-aditivita , to znamená splnění vlastnosti aditivity pro jakoukoli ne více než spočetnou rodinu párově nekompatibilních událostí. To je nezbytné pro zajištění „kontinuity“ pravděpodobnostní míry.
Míra pravděpodobnosti nemusí být definována pro všechny podmnožiny množiny . Předpokládá se, že je definován na nějaké sigma-algebře podmnožin [11] . Tyto podmnožiny se nazývají měřitelné s ohledem na danou míru pravděpodobnosti a jsou to náhodné jevy. Množina – tedy množina elementárních událostí, sigma algebra jejích podmnožin a pravděpodobnostní míra – se nazývá pravděpodobnostní prostor .
Základní vlastnosti pravděpodobnosti se nejsnáze určí na základě axiomatické definice pravděpodobnosti.
1) pravděpodobnost nemožné události (prázdná množina ) se rovná nule:
Vyplývá to z toho, že každou událost lze znázornit jako součet této události a nemožné události, což vzhledem k aditivitě a konečnosti míry pravděpodobnosti znamená, že pravděpodobnost nemožné události musí být rovna nule.
2) je-li událost A zahrnuta („vstoupí“) do události B, to znamená , že výskyt události A znamená také výskyt události B, pak:
Vyplývá to z nezápornosti a aditivity míry pravděpodobnosti, protože událost pravděpodobně "obsahuje" kromě události ještě některé další události, které jsou neslučitelné s .
3) pravděpodobnost každé události je od 0 do 1, to znamená, že splňuje nerovnosti:
První část nerovnosti (nezápornost) se uplatňuje axiomaticky a druhá vyplývá z předchozí vlastnosti s přihlédnutím k tomu, že jakákoli událost "zahrnuje" do , zatímco axiomaticky se předpokládá .
4) pravděpodobnost výskytu události , kde , spočívající ve výskytu události se současným nenastoupením události , se rovná:
To vyplývá z aditivity pravděpodobnosti pro neslučitelné události a ze skutečnosti, že události a jsou podmíněně neslučitelné a jejich součet je roven události .
5) pravděpodobnost události opačné k události je rovna:
Vyplývá to z předchozí vlastnosti, pokud použijeme celý prostor jako soubor a vezmeme v úvahu, že .
6) ( věta o sčítání pravděpodobností ) pravděpodobnost výskytu alespoň jedné z (tj. součtu) libovolných (ne nutně neslučitelných) dvou událostí a je rovna:
Tuto vlastnost lze získat, pokud sjednocení dvou libovolných množin reprezentujeme jako sjednocení dvou neprotínajících se - první a rozdílu druhé a průniku původních množin: . Vezmeme-li tedy v úvahu aditivitu pravděpodobnosti pro neprotínající se množiny a vzorec pro pravděpodobnost rozdílu (viz vlastnost 4) množin, získáme požadovanou vlastnost.
Pravděpodobnost výskytu události , za podmínky výskytu události , se nazývá podmíněná pravděpodobnost (za dané podmínky) a značí se . Nejjednodušší je odvodit vzorec pro určení podmíněné pravděpodobnosti na základě klasické definice pravděpodobnosti. Pro dané dvě události uvažujme následující sadu nekompatibilních událostí: , které vyčerpávají všechny možné výsledky (taková sada událostí se nazývá úplná - viz níže). Celkový počet stejně pravděpodobných výsledků je . Pokud k události již došlo, pak jsou stejně možné výsledky omezeny pouze na dvě události , což je ekvivalent události . Nechť počet těchto výsledků je . Z těchto výsledků je událost zvýhodněna pouze těmi, kteří jsou s ní spojeni . Počet odpovídajících výsledků bude označen . Pak podle klasické definice pravděpodobnosti bude pravděpodobnost události za podmínky výskytu události rovna , vydělíme čitatel a jmenovatel celkovým počtem stejně možných výsledků a opět vezmeme v úvahu klasickou definici , nakonec získáme vzorec podmíněné pravděpodobnosti:
.To implikuje takzvanou větu o násobení pravděpodobnosti :
.Na základě symetrie lze podobně ukázat, že také Bayesův vzorec následuje :
Události A a B se nazývají nezávislé , pokud pravděpodobnost výskytu jedné z nich nezávisí na tom, zda nastala druhá událost. Vezmeme-li v úvahu koncept podmíněné pravděpodobnosti, znamená to, že , z čehož plyne, že pro nezávislé události platí rovnost
V rámci axiomatického přístupu je tento vzorec brán jako definice pojmu nezávislosti dvou událostí. Pro libovolnou (konečnou) množinu událostí jejich agregovaná nezávislost znamená, že pravděpodobnost jejich společného výskytu je rovna součinu jejich pravděpodobností:
Vzorec podmíněné pravděpodobnosti odvozený (v rámci klasické definice pravděpodobnosti) výše v axiomatické definici pravděpodobnosti je definicí podmíněné pravděpodobnosti. V důsledku toho jsou podmíněné a nepodmíněné pravděpodobnosti události v důsledku definic nezávislých událostí a podmíněné pravděpodobnosti stejné.
Soubor událostí , z nichž alespoň jedna nutně (s jedinou pravděpodobností) nastane jako výsledek testu, se nazývá úplná . To znamená, že soubor takových událostí vyčerpá všechny možné výsledky. Formálně to v rámci axiomatického přístupu znamená, že . Pokud jsou tyto události neslučitelné, pak to v rámci klasické definice znamená, že součet počtů elementárních událostí, které favorizují tu či onu událost, se rovná celkovému počtu stejně možných výsledků.
Nechť existuje kompletní sada párově nekompatibilních událostí . Potom pro každou událost platí následující vzorec pro výpočet její pravděpodobnosti ( vzorec celkové pravděpodobnosti ):
Pak Bayesův vzorec popsaný výše, s přihlédnutím k celkové pravděpodobnosti, může být zapsán v následujícím tvaru:
Tento vzorec je základem alternativního přístupu k pravděpodobnosti – Bayesovského neboli subjektivního přístupu (viz níže).
Nejdůležitějším konkrétním případem aplikace "pravděpodobnosti" je pravděpodobnost získání v důsledku testování nebo pozorování té či oné číselné hodnoty nějaké měřené (pozorované) veličiny. Předpokládá se, že před testem (pozorováním) není přesná hodnota této veličiny známa, to znamená, že existuje jasná nejistota spojená obvykle (s výjimkou kvantové fyziky) s nemožností vzít v úvahu všechny faktory ovlivňující výsledek. . Takové veličiny se nazývají náhodné . V moderní teorii pravděpodobnosti je pojem náhodné veličiny formalizován a je definován jako funkce "náhody" - funkce na prostoru elementárních událostí. S takovou definicí se nepozorují samotné elementární události, ale „realizace“, konkrétní hodnoty náhodné veličiny. Například, když je házeno mincí, padne hlavou nebo ocasem. Pokud zavedeme funkci, která spojuje „ocasy“ s číslem 1 a „orly“ s 0, dostaneme náhodnou proměnnou jako funkci uvedených výsledků. V tomto případě je pojem náhodné veličiny zobecněn na funkce, které mapují prostor elementárních událostí do nějakého prostoru libovolného charakteru, respektive můžeme zavést pojmy náhodný vektor , náhodná množina atd. Obvykle však náhodnou veličinou se rozumí přesně numerická funkce (hodnota).
Abstrahujeme-li od popsané formalizace, lze prostor elementárních událostí chápat jako množinu možných hodnot náhodné veličiny. Sigma-algebra podmnožin jsou libovolné intervaly na reálné ose, jejich možné (spočetné) svazy a průniky. Míra pravděpodobnosti se v tomto případě nazývá rozdělení náhodné veličiny. Stačí zadat míru pravděpodobnosti pro intervaly ve tvaru , protože libovolný interval může být reprezentován jako sjednocení nebo průnik takových intervalů. Předpokládá se, že každý interval výše uvedeného typu je spojen s určitou pravděpodobností , to znamená s určitou funkcí možných hodnot . Taková funkce se nazývá integrální, kumulativní nebo jednoduše distribuční funkce náhodné veličiny. V případě diferencovatelnosti této funkce (v tomto případě se odpovídající náhodné veličiny nazývají spojité ) zavádíme také analyticky často pohodlnější funkci - hustotu rozdělení - derivaci distribuční funkce: . V případě diskrétních náhodných veličin lze místo hustoty (která v tomto případě neexistuje) použít přímo distribuční řadu - pravděpodobnost -té hodnoty. Odpovídající distribuční funkce bude vztažena k distribuční řadě jako: . Pravděpodobnost, že náhodná veličina bude v určitém intervalu , je definována jako rozdíl mezi hodnotami distribuční funkce na koncích tohoto intervalu. Z hlediska hustoty rozdělení se jedná o odpovídající integrál hustoty na daném intervalu (pro diskrétní náhodnou veličinu je to jednoduše součet pravděpodobností hodnot z tohoto intervalu).
Rozdělení náhodné veličiny dává její úplnou charakteristiku. Často se však používají individuální charakteristiky tohoto rozdělení. V prvé řadě se jedná o matematické očekávání náhodné veličiny - průměrná očekávaná hodnota náhodné veličiny, s přihlédnutím k vážení pravděpodobnostmi výskytu určitých hodnot, a rozptyl nebo variace - průměrná druhá mocnina odchylky. náhodné veličiny z jejího matematického očekávání. V některých případech se používají jiné charakteristiky, mezi nimiž je důležitá asymetrie a špičatost . Popsané ukazatele jsou speciálními případy tzv. distribučních momentů .
Existují některé standardní distribuční zákony, které se v praxi často používají. Především se jedná o normální rozdělení (Gaussovo rozdělení). Je plně charakterizován dvěma parametry – matematickým očekáváním a rozptylem. Jeho široké využití souvisí zejména s tzv. limitními větami (viz dále). Při testování hypotéz se často objevují chí-kvadrát rozdělení , Studentovo rozdělení a Fisherovo rozdělení . Při analýze diskrétních náhodných veličin se uvažuje binomické rozdělení , Poissonovo rozdělení atd. Často se také uvažuje o gama rozdělení , jehož speciálním případem je exponenciální rozdělení , stejně jako výše naznačené chí-kvadrát rozdělení . používané v praxi se neomezují pouze na tyto distribuce.
V praxi se často na základě apriorních úvah předpokládá, že rozdělení pravděpodobnosti dané náhodné veličiny se vztahuje k nějakému rozdělení známému až do parametrů. Například ke stejnému normálnímu rozdělení, ale s neznámým matematickým očekáváním a rozptylem (tyto dva parametry jednoznačně určují celé normální rozdělení). Úkolem statistických věd (matematická statistika, ekonometrie atd.) je v tomto případě odhadnout hodnoty těchto parametrů co nejefektivnějším (přesným) způsobem. Existují kritéria, podle kterých lze určit míru „pravdivosti“ příslušných metod hodnocení. Obvykle je vyžadována alespoň platnost odhadu , nestrannost a účinnost v některé třídě odhadů.
V praxi se také používají neparametrické metody pro odhad rozdělení.
Prvořadý význam v teorii pravděpodobnosti a v jejích aplikacích má skupina teorémů, obvykle kombinovaná pod názvem „ zákon velkých čísel “ nebo limitní teorémy . Aniž bychom se uchýlili ke striktním formulacím, můžeme například říci, že za určitých slabých podmínek se průměrná hodnota nezávislých shodně rozdělených náhodných veličin přiklání k jejich matematickému očekávání pro dostatečně velký počet těchto náhodných veličin. Pokud považujeme nezávislá pozorování téže náhodné veličiny za množinu náhodných veličin, pak to znamená, že průměr nad výběrovými pozorováními by měl směřovat ke skutečnému (neznámému) matematickému očekávání této náhodné veličiny. Toto je zákon velkých čísel v Chebyshevově formě . To poskytuje základ pro získání vhodných odhadů.
Velmi zvláštním, ale velmi důležitým případem je Bernoulliho schéma - nezávislé testy, v jejichž důsledku k nějaké události buď dojde, nebo ne. Předpokládá se, že v každém pokusu je pravděpodobnost výskytu události stejná a stejná (ale není známa). Toto schéma lze zredukovat na průměrnou hodnotu, pokud zavedeme formální náhodnou veličinu X, která je indikátorem výskytu události: rovná se 1, když událost nastane, a 0, když událost nenastane. Pro takovou náhodnou veličinu se matematické očekávání také rovná . Pak průměrná hodnota takové náhodné veličiny je vlastně četnost výskytu události . Podle výše uvedené věty by tento průměr (četnost) měl směřovat ke skutečnému matematickému očekávání této náhodné veličiny, tedy k neznámé pravděpodobnosti . S rostoucím počtem pozorování lze tedy frekvenci události použít jako dobrý odhad neznámé pravděpodobnosti. Jde o tzv. Bernoulliho zákon velkých čísel. Tento zákon byl historicky prvním zákonem velkého počtu. Přesněji lze alespoň tvrdit, že pravděpodobnost, že se frekvence bude o nějakou hodnotu odchylovat, má tendenci k nule pro jakékoli hodnoty . Obecnějším výsledkem ( Glivenko-Cantelliho teorém ) je, že empirické rozdělení obecně inklinuje ke skutečnému rozdělení pravděpodobnosti s rostoucím počtem pozorování.
Spolu s těmito teorémy existuje tzv. centrální limitní teorém , který udává limitní rozdělení pravděpodobnosti pro střední hodnotu, totiž za určitých slabých podmínek má střední hodnota pozorování náhodné veličiny s dostatečně velkým počtem pozorování normální rozdělení ( bez ohledu na počáteční rozdělení samotné náhodné veličiny). To je například případ střední hodnoty nezávislých identicky rozdělených náhodných veličin. Zejména je tato věta použitelná také pro Bernoulliho schéma. Obecně platí, že počet výskytů jevu A v n pokusech má binomické rozdělení , nicméně při dostatečně velkém počtu pozorování toto rozdělení podle naznačené věty v tomto případě směřuje k normálnímu rozdělení s očekáváním a rozptylem , kde je pravděpodobnost výskytu události A v každém pokusu. Toto je uvedeno v místních a integrálních teorémech Moivre-Laplace . Odtud plyne i výše uvedený závěr, totiž: průměrná hodnota náhodné veličiny-ukazatele události - tedy četnosti výskytu události v testech - bude mít v limitu matematické očekávání a rozptyl. , která má s nárůstem počtu testů tendenci k nule. Frekvence tedy směřuje ke skutečné pravděpodobnosti události, která nastane s nárůstem počtu nezávislých pokusů, a distribuci četnosti známe s dostatečně velkým počtem pozorování (přesně vzato, v limitu frekvence přestává být náhodná veličina, takže je správnější mluvit o rozdělení ne frekvence, ale velikosti - je to v limitě má normální rozdělení s nulovým matematickým očekáváním a rozptylem ).
Cílový (frekvenční) přístup popsaný výše je založen na předpokladu, že studovaným jevům je vlastní objektivní nejistota. V alternativním bayesovském přístupu je nejistota interpretována subjektivně – jako míra naší nevědomosti. V rámci bayesovského přístupu je pravděpodobnost chápána jako míra důvěry ve pravdivost tvrzení - subjektivní pravděpodobnost.
Myšlenka Bayesovského přístupu spočívá v přechodu od apriorního k aposteriornímu poznání s přihlédnutím k pozorovaným jevům. Podstata Bayesovského přístupu vyplývá z Bayesova vzorce popsaného výše. Nechť existuje úplný soubor hypotéz az apriorních úvah se odhadují pravděpodobnosti platnosti těchto hypotéz (míra důvěry v ně). Úplnost souboru znamená, že alespoň jedna z těchto hypotéz je pravdivá a součet apriorních pravděpodobností je roven 1. Také pro zkoumanou událost jsou z apriorních úvah známy pravděpodobnosti - pravděpodobnosti výskytu. události za předpokladu , že je hypotéza pravdivá . Poté pomocí Bayesova vzorce můžete určit zadní pravděpodobnosti – tedy míru důvěry v platnost hypotézy poté, co k události došlo. Ve skutečnosti lze postup opakovat tak, že se nové pravděpodobnosti vezmou a priori a znovu se provede test, čímž se iterativně zpřesní zadní pravděpodobnosti hypotéz.
Zejména na rozdíl od základního přístupu k odhadu rozdělení náhodných veličin, kde se předpokládá, že hodnoty neznámých parametrů rozdělení jsou odhadovány na základě pozorování, Bayesovský přístup předpokládá, že parametry jsou také náhodné veličiny (z hlediska naší neznalosti jejich hodnot). Tyto nebo ty možné hodnoty parametrů fungují jako hypotézy a data předpokládají některé apriorní hustoty neznámých parametrů . Posteriorní rozdělení slouží jako odhad neznámých parametrů. Nechť jsou získány některé hodnoty studované náhodné veličiny jako výsledek pozorování. Pak pro hodnoty tohoto vzorku, za předpokladu, že je známa pravděpodobnost - pravděpodobnost (hustota) získání tohoto vzorku pro dané hodnoty parametrů podle Bayesova vzorce (v tomto případě spojitý analog tímto vzorcem, kde jsou místo pravděpodobností zahrnuty hustoty a sumace je nahrazena integrací), získáme pro tento vzorek aposteriorní parametry pravděpodobnosti (hustoty).
Nechť jsou stejně pravděpodobné výsledky. Míru nejistoty zkušenosti v této situaci lze charakterizovat číslem . Tento ukazatel, který zavedl komunikační inženýr Hartley v roce 1928, charakterizuje informace, které musíte mít, abyste věděli, která ze stejně možných variant nastává, tedy snížit nejistotu zkušenosti na nulu. Nejjednodušší způsob, jak to zjistit, je položit otázky typu „číslo výsledku je menší než polovina N“, pokud ano, pak lze podobnou otázku položit pro jednu z polovin (v závislosti na odpovědi na otázku), atd. Zodpovězení každé takové otázky snižuje nejistotu. Celkově bude takových otázek k úplnému odstranění nejistoty zapotřebí jen . Formálněji lze počty výsledků reprezentovat v binárním číselném systému, pak - to je počet požadovaných bitů pro takovou reprezentaci, to znamená množství informací v bitech , pomocí kterých můžete zakódovat implementaci stejně možných výsledky. Obecně platí, že jednotka informace může být různá, takže logaritmus lze teoreticky použít s libovolnou bází (např. pokud chceme změnit informaci v bajtech, pak musíme použít logaritmus na bázi 256).
Nyní nechť je dána nějaká náhodná veličina α, rozdělená na výsledky s pravděpodobnostmi , , pak se množství informace v náhodné veličině α určí následovně ( Shannonův vzorec ):
kde je znak matematického očekávání .
S ekvipravděpodobnými výsledky ( ) dostáváme již známý vztah . Pro spojitou náhodnou veličinu v tomto vzorci je nutné místo pravděpodobností použít funkci hustoty rozdělení a místo součtu příslušný integrál.
Uvedená hodnota se nazývá informace, informační kvantita, informační entropie atd. Taková definice informace je abstrahována od jakéhokoli obsahu informace, obsahu konkrétních výstupů. Informační kvantita je určena pouze na základě pravděpodobností. Shannon nazval kvantitu entropie kvůli její podobnosti s termodynamickou entropií. Posledně jmenovaný koncept poprvé představil Rudolf Clausis v roce 1865 a pravděpodobnostní interpretaci entropie podal Ludwig Boltzmann v roce 1877. Entropie makroskopického systému je mírou počtu možných mikrostavů pro daný makrostav (přesněji řečeno je úměrná logaritmu počtu mikrostavů - statistická váha ) nebo mírou "vnitřní neuspořádanosti" makrosystému. .
V kvantové mechanice je stav systému (částice) charakterizován vlnovou funkcí (obecně řečeno stavovým vektorem) - komplexně ohodnocenou funkcí "souřadnic", jejichž druhá mocnina modulu je interpretována jako hustota pravděpodobnosti. získání daných hodnot "souřadnic". Podle moderních koncepcí je pravděpodobnostní definice stavu úplná a důvodem pravděpodobnostní podstaty kvantové fyziky nejsou žádné „skryté“ faktory – to je dáno povahou procesů samotných. V kvantové fyzice jsou možné jakékoli vzájemné přeměny různých částic, které nejsou zakázány tím či oním zákonem zachování. A tyto vzájemné proměny podléhají zákonitostem – pravděpodobnostním zákonitostem. Podle moderních koncepcí je zásadně nemožné předvídat ani okamžik vzájemné transformace, ani konkrétní výsledek. Lze mluvit pouze o pravděpodobnostech určitých transformačních procesů. Namísto přesných klasických veličin v kvantové fyzice je možný pouze odhad průměrných hodnot (matematických očekávání) těchto veličin, například průměrná doba života částice.
Kromě otázky pravděpodobnosti nějaké skutečnosti může vyvstat, jak v oblasti práva, tak v oblasti morálky (s určitým etickým hlediskem), otázka, jak pravděpodobné je, že daná konkrétní skutečnost představuje porušení obecného zákona. Tato otázka, která slouží jako hlavní motiv náboženské jurisprudence Talmudu , dala vzniknout v římskokatolické morální teologii (zejména od konce 16. století) velmi složitým systematickým konstrukcím a obrovské literatuře, dogmatické a polemické (viz pravděpodobnost ) [1] .
![]() |
|
---|---|
V bibliografických katalozích |
|
Logika | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Filosofie • Sémantika • Syntaxe • Historie | |||||||||
Logické skupiny |
| ||||||||
Komponenty |
| ||||||||
Seznam booleovských symbolů |