Nezaujatý odhad

Nestranný odhad v matematické statistice je bodový odhad , jehož matematické očekávání se rovná odhadovanému parametru.

Definice

Nechť je vzorek z rozdělení v závislosti na parametru . Potom se odhad nazývá nestranný if ${\vec {x}}=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$ $\theta \in \Theta$ ${\hat {\theta }}\equiv {\hat {\theta }}\left({\vec {x}}\right)$

{\mathbb {E}}\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta

kde

$\mathbb {E} \left[X\right]$ — matematické očekávání ;
$\pro všechny$ je univerzální kvantifikátor .

Jinak se odhad nazývá zkreslený a náhodná veličina se nazývá jeho zkreslení . $\mathbb {E} {\hat {\theta }}-\theta$

Příklady

Výběrový průměr je nezaujatým odhadem matematického očekávání , protože pokud , , pak . ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbb {E} X_{i}=\mu <\infty$ $\forall i\in \mathbb {N}$ ${\mathbb {E}}{\bar {X}}=\mu$

Nechť nezávislé náhodné proměnné mají konečný rozptyl . Pojďme sestavit odhady $X_{i}$ ${\mathrm {D}}X_{i}=\sigma ^{2}$

S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\součet \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}} \right)^{2}

je výběrový rozptyl ,

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\ správně)^{2}

je korigovaný výběrový rozptyl .

Pak jsou zkreslené a nezkreslené odhady parametru . Předpojatost lze prokázat následujícím způsobem. $S_{n}^{2}$ $S^{2}$ $\sigma ^{2}$ $S_{n}^{2}$

Nechť a je průměr a jeho odhad, v tomto pořadí, pak: $\mu$ $\overline {X}$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-{\overline {X)))^{2}{\bigg ]}.

Sečtením a odečtením a následným seskupením výrazů získáme: $\mu$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}.

Udělejme to na druhou a dostaneme:

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-2({\overline {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n} (X_{i}-\mu )+{\frac {n}{n}}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Upozorňujeme , že dostáváme: ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )={\overline {X}}-{\frac {1}{ n}}(n\mu)$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Vzhledem k tomu

$\operatorname {E} [a+b]=\operatorname {E} [a]+\operatorname {E} [b]$ (vlastnost matematického očekávání);
$\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}{\ bigg ]}=\sigma ^{2}$ - disperze ;
$\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2 }$ , protože s přihlédnutím k tomu a jsou nezávislé , tzn. , $\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}{\big (} {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu ){\big )}^{2}{\big ]}=\jméno operátora {E } {\big [}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}+{\frac { 2}{n^{2))}\součet _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\ velký ]}$ $X_{i}$ $X_{j}$ $\operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}=0$ $\operatorname {E} {\big [}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}=\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}\jméno operátora {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ] }\jméno operátora {E} {\big [}(X_{j}-\mu ){\big ]}=0$

dostaneme:

{\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{n}^{2}]&=\sigma ^{2}-\operatorname {E} {\big [}({\overline {X} }-\mu )^{2}{\big ]}=\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n))\sigma ^{2}=\\&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aligned}}

Literatura a některé odkazy

MG Kendall. "Pokročilá teorie statistiky (sv. I). Teorie distribuce (2. vydání)". Charles Griffin & Company Limited, 1945.
MG Kendall a A. Stuart. "Pokročilá teorie statistiky (sv. II). Vyvození a vztah (2. vydání)". Charles Griffin & Company Limited, 1967.
A. Papoulis. Pravděpodobnost, náhodné veličiny a stochastické procesy (3. vydání). McGrow-Hill Inc., 1991.
G. Saporta. „Pravděpodobnosti, analyzovat des données et statistiques“ . Vydání Technip, Paříž, 1990.
JF Kenney a ES Keeping. Matematika statistiky. Část I a II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
IV Blagouchine a E. Moreau: "Unbiased Adaptive Estimations of the Fourth-Order Cumulant for Real Random Zero-Mean Signal", IEEE Transactions on Signal Processing , sv. 57, č.p. 9, str. 3330–3346, září 2009.
Osvětlující protipříklad