Chi-kvadrát rozdělení

distribuce . Pearsonova distribuce $\chi ^{2}$
Hustota pravděpodobnosti
distribuční funkce
Označení	$\chi ^{2}(k)$ nebo ${\displaystyle \chi _{k}^{2))$
Možnosti	$k>0$ je počet stupňů volnosti
Dopravce	$x\in [0;+\infty )$
Hustota pravděpodobnosti	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$
distribuční funkce	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$
Očekávaná hodnota	$k$
Medián	o $k-2/3$
Móda	0 pro pokud $k<2,$ $k-2,$ $k\geq 2$
Disperze	$2\,k$
Koeficient asymetrie	${\sqrt {8/k))$
Kurtózní koeficient	$12/k$
Diferenciální entropie	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)$ $\psi (x)=\Gamma '(x)/\Gamma (x).$
Generující funkce momentů	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , pokud $2\,t<1$
charakteristická funkce	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}$

Rozdělení (chí-kvadrát) se stupni volnosti $\chi ^{2}$ $k$ - rozdělení součtu čtverců nezávislých standardních normálních náhodných veličin . $k$

Definice

Dovolit být společně nezávislé standardní normální náhodné proměnné, to je: . Pak náhodná veličina $z_{1},\ldots ,z_{k}$ $z_{i}\simN(0;1)$

{\displaystyle x=z_{1}^{2}+\ldots +z_{k}^{2))

má chí-kvadrát rozdělení se stupni volnosti, tj. , nebo jinak napsané: $k$ $x\sim f_{\chi ^{2}(k)}(x)$

x=\sum \limits _{i=1}^{k}z_{i}^{2}\sim \chi ^{2}(k)

Rozdělení chí-kvadrát je speciálním případem rozdělení gama a jeho hustota je:

f_{\chi ^{2}(k)}(x)\equiv \Gamma \!\left({k \over 2},{2}\right)={\frac {(1/2) ^{k \over 2}}{\Gamma \!\left({k \over 2}\right)}}\,x^{{k \over 2}-1}\,e^{-{\frac {x}{2}}}

kde je rozdělení gama a funkce gama . $\Gamma \!\left({k/2},2\right)$ $\Gamma \!\left({k/2}\vpravo)$

Distribuční funkce má následující tvar:

F_{\chi ^{2}(k)}(x)={\frac {\gamma \left({k \over 2},{x \over 2}\right)}{\Gamma \left({k \přes 2}\vpravo)}}

kde a označují úplné a neúplné funkce gama. $\Gamma$ $\gamma$

Vlastnosti rozdělení chí-kvadrát

Rozdělení chí-kvadrát je stabilní vzhledem k součtu . Pokud jsou nezávislé, a , a , pak . $Y_{1},Y_{2}$ $Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ $Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$ $Y_{1}+Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})$

Z definice je snadné získat momenty rozdělení chí-kvadrát. Pokud , pak $Y\sim\chi ^{2}(k)$

\mathbb {E} [Y]=k

\mathrm {D} [Y]=2k

Na základě centrální limitní věty s velkým počtem stupňů volnosti lze rozdělení náhodné veličiny aproximovat jako normální . Přesněji $Y\sim\chi ^{2}(k)$ $Y\cca N(k,2k)$

{\frac {Yk}{\sqrt {2k}}}\to N(0,1)

distribucí na .

k\to\infty

Vztah s jinými distribucemi

Pokud je známa nezávislá normální náhodná veličina, tedy:, pak náhodná veličina $X_{1},\ldots ,X_{k}$ $X_{i}\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,\ldots ,k;\;\mu$

Y=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}

má distribuci . $\chi ^{2}(k)$

Jestliže , pak je rozdělení chí-kvadrát stejné jako exponenciální rozdělení : $k=2$

\chi ^{2}(2)\equiv \mathrm {Exp} (1/2)

Pokud , pak je distribuce Erlang . $X\sim \chi ^{2}(2k)$ $X\sim \operatorname {Erlang} (k,1/2)$
Jestliže a , pak náhodná veličina $Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ $Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$

F={\frac {Y_{1}/k_{1}}{Y_{2}/k_{2}}}

má Fisherovo rozdělení se stupni volnosti . $(k_{1},k_{2})$

$\chi _{k}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)$ ( necentrální rozdělení chí-kvadrát s parametrem necentrality ) $\lambda =0$
Pokud a , tak . ( gama distribuce ) $X\sim \chi ^{2}(\nu )\,$ $c>0\,$ $cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,$
If then ( distribuce chi ) ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2))$ ${\sqrt {X}}\sim \chi _{k}$
If ( Rayleighovo rozdělení ), pak $X\sim \operatorname {Rayleigh} (1)\,$ $X^{2}\sim \chi ^{2}(2)\,$
If ( Maxwellovo rozdělení ), pak $X\sim \operatorname {Maxwell} (1)\,$ $X^{2}\sim \chi ^{2}(3)\,$
Pokud a jsou nezávislé, pak - ( beta distribuce ) $X\sim \chi ^{2}(\nu _{1})\,$ $Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2})\,$ ${\tfrac {X}{X+Y}}\sim \operatorname {Beta} ({\tfrac {\nu _{1}}{2}},{\tfrac {\nu _{2}} {2)))\,$
If - ( rovnoměrné rozdělení ), pak $X\sim \operatorname {U} (0,1)\,$ $-2\log(X)\sim \chi ^{2}(2)\,$
$\chi ^{2}(6)\,$ je transformace Laplaceova rozdělení
Pokud pak $X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,$ $\sum _{i=1}^{n}{\frac {2|X_{i}-\mu |}{\beta }}\sim \chi ^{2}(2n)\,$
chí-kvadrát rozdělení - transformace Paretova rozdělení
t-rozdělení - transformace chí-kvadrát rozdělení
T-rozdělení lze odvodit z chí-kvadrát a normálního rozdělení
Pokud a jsou nezávislí, pak . Pokud a nejsou nezávislé, pak se nerozděluje podle zákona chí-kvadrát. $X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})$ $X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$ $X_{1}+X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})$ $X_{1}$ $X_{2}$ $X_{1}+X_{2}$

Variace a zobecnění

Dalším zobecněním chí-kvadrát rozdělení je tzv. necentrální chí-kvadrát rozdělení , které se vyskytuje v některých statistických problémech.

Kvantily

Kvantil je číslo (argument), na kterém je distribuční funkce rovna dané, požadované pravděpodobnosti. Zhruba řečeno, kvantil je výsledkem inverze distribuční funkce, ale existují jemnosti s nespojitými distribučními funkcemi.

Historie

Kritérium $\chi ^{2}$ navrhl Karl Pearson v roce 1900 [1] . Jeho práce je považována za základ moderní matematické statistiky. Pearsonovi předchůdci jednoduše vynesli experimentální výsledky a tvrdili, že jsou správné. Pearson ve svém článku uvedl některé zajímavé příklady zneužívání statistik. Dokázal také, že některá pozorování na ruletě (na níž dva týdny experimentoval v Monte Carlu v roce 1892) byla tak vzdálená očekávaným frekvencím, že šance na jejich opětovné získání, za předpokladu, že ruleta je svědomitě uspořádána, se rovnají jedné z 10 29 .

Obecnou diskusi o kritériu a rozsáhlou bibliografii lze nalézt v přehledovém článku Williama J. Cochrana [2] . $\chi ^{2}$

Aplikace

Rozdělení chí-kvadrát má četné aplikace ve statistické inferenci, jako je použití testu chí-kvadrát a odhadování rozptylů. Používá se v problému odhadu střední hodnoty normálně rozdělené populace a problému odhadu sklonu regresní přímky kvůli její roli ve Studentově t-rozdělení . Používá se při analýze rozptylu .

Následují příklady situací, ve kterých rozdělení chí-kvadrát vzniká z normálního vzorku:

jestliže jsou nezávislé a rovnoměrně rozložené náhodné proměnné , pak , kde $X_{1},...,X_{n}$ $N(\mu ,\sigma ^{2})$ $\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X)))^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^ {2}$ ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.$
Tabulka ukazuje některé statistiky založené na nezávislých náhodných proměnných , jejichž rozdělení souvisí s rozdělením chí-kvadrát: $X_{i}\sim N(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),i=1,...,k$

název	Statistika
rozdělení chí-kvadrát	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
necentrální distribuce chí-kvadrát	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
distribuce chi	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i)){\sigma _{i))}\right) ^{2}}}$
necentrální distribuce chi	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Tabulka hodnot χ 2 a p

Pro libovolné číslo p mezi 0 a 1 je definována p -hodnota - pravděpodobnost získání pro daný pravděpodobnostní model rozdělení hodnot náhodné veličiny stejné nebo extrémnější hodnoty statistiky (aritmetický průměr, medián, atd.), ve srovnání s pozorovaným, za předpokladu, že platí nulová hypotéza . V tomto případě je to distribuce . Protože hodnota distribuční funkce v bodě pro odpovídající stupně volnosti dává pravděpodobnost získání statistické hodnoty méně extrémní než tento bod, lze p -hodnotu získat odečtením hodnoty distribuční funkce od jednoty. Malá p -hodnota – pod zvolenou hladinou významnosti – znamená statistickou významnost . To bude stačit k zamítnutí nulové hypotézy. Pro rozlišení mezi významnými a nevýznamnými výsledky se běžně používá hladina 0,05. $\chi ^{2}$

Tabulka uvádí p -hodnoty pro odpovídající hodnoty pro prvních deset stupňů volnosti. $\chi ^{2}$

stupně volnosti ( df )	Hodnota [3] $\chi ^{2}$
jeden	0,004	0,02	0,06	0,15	0,46	1.07	1,64	2.71	3,84	6.63	10,83
2	0,10	0,21	0,45	0,71	1.39	2.41	3.22	4.61	5,99	9.21	13,82
3	0,35	0,58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7,81	11:34	16.27
čtyři	0,71	1.06	1,65	2.20	3.36	4,88	5,99	7,78	9,49	13.28	18,47
5	1.14	1.61	2.34	3,00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1,63	2.20	3.07	3,83	5.35	7.23	8,56	10,64	12,59	16,81	22,46
7	2.17	2,83	3,82	4.67	6.35	8.38	9,80	12.02	14.07	18,48	24.32
osm	2,73	3.49	4.59	5.53	7.34	9,52	11.03	13,36	15,51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10,66	12.24	14,68	16,92	21,67	27,88
deset	3,94	4,87	6.18	7.27	9,34	11,78	13,44	15,99	18:31	23.21	29,59
p -hodnota	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,01	0,001

Tyto hodnoty lze vypočítat pomocí kvantilu (funkce inverzního rozdělení) chí-kvadrát rozdělení [4] . Například kvantil pro p = 0,05 a df = 7 dává = 14,06714 ≈ 14,07 , jak je uvedeno v tabulce výše. To znamená, že pro experimentální pozorování sedmi nezávislých náhodných veličin lze při platnosti nulové hypotézy „každá proměnná je popsána normálním standardním rozdělením s mediánem 0 a směrodatnou odchylkou 1“ hodnotu získat pouze v 5 % realizací. Získání větší hodnoty lze obvykle považovat za dostatečný důvod k zamítnutí této nulové hypotézy. $\chi ^{2}$ $\chi ^{2}$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{7))$ $x_{1}^{2}+...+x_{7}^{2}>14{,}07$

Tabulka udává zaokrouhlování na setiny; přesnější tabulky pro více stupňů volnosti viz např. zde [5] .

Viz také

Pearsonův test dobré shody (kritérium ) $\chi ^{2}$

Poznámky

↑ Pearson K. Na kritérium, že daný systém odchylek od pravděpodobného v případě korelovaného systému proměnných je takový, že lze důvodně předpokládat, že vznikl náhodným výběrem // Philosophical Magazine, Series 5 - Vol. 50 , č. 302 . - S. 157-175 . - doi : 10.1080/14786440009463897 .
↑ Cochran WG The Test of Goodness of Fit $\chi ^{2}$ // Annals Math. stat. - 1952. - Sv. 23 , č. 3 . - str. 315-345 .
↑ Chi-Squared Test Archived 18. listopadu 2013 na Wayback Machine Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin na Pennsylvania State University. Tento zdroj dále cituje: RA Fisher a F. Yates , Statistické tabulky pro biologický zemědělský a lékařský výzkum, 6. vydání, tabulka IV. Dvě hodnoty byly opraveny, 7,82 na 7,81 a 4,60 na 4,61.
↑ R Výukový program: Chi-kvadrát distribuce . Datum přístupu: 19. listopadu 2019. Archivováno z originálu 16. února 2021. (neurčitý)
↑ StatSoft: Distribuční tabulky - Chi-kvadrát rozdělení . Staženo 29. ledna 2020. Archivováno z originálu dne 26. ledna 2020. (neurčitý)

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona