Distribuce chi

distribuce chi
Hustota pravděpodobnosti
distribuční funkce
Možnosti	$k>0\,$ (stupně svobody)
Dopravce	$x\in [0,\infty )$
Hustota pravděpodobnosti	${\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)))\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2 }$
distribuční funkce	$P(k/2,x^{2}/2)\,$
Očekávaná hodnota	$\mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$
Medián	o ${\displaystyle {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3))))$
Móda	${\sqrt {k-1}}\,$ -li $k\geq 1$
Disperze	$\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$
Koeficient asymetrie	$\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3))}\,(1-2\sigma ^{2})$
Kurtózní koeficient	${\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$
Diferenciální entropie	$\ln(\Gamma (k/2))+\,$ ${\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2) )$
Generující funkce momentů	Viz v textu
charakteristická funkce	Viz v textu

Chi-distribuce je spojité rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, která je druhou odmocninou součtu čtverců nezávislých normálních náhodných veličin. Souvisí s rozdělením chí-kvadrát a je rozdělením druhé odmocniny náhodné veličiny rozdělené podle zákona . $\chi ^{2}$

Pokud se jedná o nezávislé, normálně rozdělené náhodné proměnné s nulovým matematickým očekáváním (průměrem) a rozptylem rovným 1, pak statistika ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k))$

{\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2))))

distribuovány podle zákona čchi. Pokud je tedy odhad směrodatné odchylky dělen , kde je střední hodnota chi-rozdělení, pak bude získán nestranný odhad směrodatné odchylky normálního rozdělení. Rozdělení chi má jeden parametr - , který udává počet stupňů volnosti (tedy počet ). $s$ $\mu _{1}/{\sqrt {n-1))$ ${\displaystyle \mu _{1))$ $k$ $Z_{i}$

Nejznámějšími příklady jsou Rayleighovo rozdělení (počet stupňů volnosti jsou dva) a Maxwell-Boltzmannovy statistiky (počet stupňů volnosti jsou tři).

Definice

Hustota pravděpodobnosti

Hustota pravděpodobnosti rozdělení chi je

f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1} \Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geqslant 0;\\0,&x<0.\end{cases}}

kde je funkce gama . $\Gamma(z)$

Distribuční funkce

Distribuční funkce je:

F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,

kde je regulovaná funkce gama . $P(k,x)$

Generování funkcí

Generující funkce momentů je:

M(t)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\right )+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac {k+1} {2)),{\frac {3}{2)),{\frac {t^{2}}{2}}\right),

kde je degenerovaná Kummerova hypergeometrická funkce . Charakteristická funkce je: $M(a,b,z)$

\varphi (t;k)=M\left({\frac {k}{2)),{\frac {1}{2)),{\frac {-t^{2)){2 }}\right)+it{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))M\left({\frac { k+1}{2)),{\frac {3}{2)),{\frac {-t^{2}}{2}}\right).

Vlastnosti

Momenty

Momenty se počítají podle vzorce:

\mu _{j}=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)))

kde je funkce gama . Prvních šest momentů je dáno následujícími vzorci: $\Gamma(z)$

\mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)} }

\mu _{2}=k\,

\mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)\mu _{1}

\mu _{4}=k(k+2)\,

\mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2) }}=(k+1)(k+3)\mu _{1}

\mu _{6}=k(k+2)(k+4)\,

kde výrazy pravé ruky jsou získány pomocí rekurentního vztahu pro funkci gama:

\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,

Také z těchto výrazů lze získat následující vzorce:

Průměr : $\mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)))$

Rozptyl : - z výrazů pro první dva okamžiky. $\sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,$

koeficient asymetrie : $\gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3))}\,(1-2\sigma ^{2})$

Kurtózní koeficient : $\gamma _{2}={\frac {2}{\sigma ^{2))}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})$

Entropie

Diferenciální entropie je dána vzorcem:

S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2))(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\ !1)\psi ^{0}(k/2))

kde je funkce polygama . $\psi ^{0}(z)$

Vztah s jinými distribucemi

If , then ( rozdělení chí-kvadrát ) ${\displaystyle X\sim \chi _{k))$ ${\displaystyle X^{2}\sim \chi _{k}^{2))$
$\lim _{k\to \infty }{\tfrac {\chi _{k}-\mu _{k)){\sigma _{k))}{\xarrowarrow {d))\ N( 0,1)\,$ ( normální rozdělení )
Pokud , pak $X\sim N(0,1)\,$ $|X|\sim \chi _{1}\,$
If , then ( seminormal distribution ) for any $X\sim \chi _{1}\,$ $\sigma X\sim HN(\sigma )\,$ $\sigma >0\,$
$\chi _{2}\sim \mathrm {Rayleigh} (1)\,$ ( Rayleighova distribuce )
$\chi _{3}\sim \mathrm {Maxwell} (1)\,$ ( Maxwellova distribuce )
$\|{\boldsymbol {N}}_{i=1,\ldots ,k}{(0,1)}\|_{2}\sim \chi _{k}$ ( druhou normou standardních normálních náhodných veličin je chí-distribuce se stupni volnosti) $k$ $k$
Distribuce chi je speciálním případem distribuce gama , distribuce Nakagami a necentrální distribuce chi .

Typy chi a chí-kvadrát distribuce

název	Statistika
rozdělení chí-kvadrát	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
necentrální distribuce chí-kvadrát	$\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}$
distribuce chi	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i)){\sigma _{i))}\right) ^{2}}}$
necentrální distribuce chi	${\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{2}}}$

Viz také

Distribuce Nakagami

Literatura

Martha L. Abell, James P. Braselton, John Arthur Rafter, John A. Rafter, Statistics with Mathematica (1999), 237f.
Jan W. Gooch, Encyklopedický slovník polymerů sv. 1 (2010), příloha E, str. 972 .

Odkazy

http://mathworld.wolfram.com/ChiDistribution.html