Rozdělení pravděpodobnosti

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. března 2021; kontroly vyžadují 33 úprav .

Rozdělení pravděpodobnosti je zákon, který popisuje rozsah hodnot náhodné veličiny a odpovídající pravděpodobnosti výskytu těchto hodnot.

Definice

Nechť je dán pravděpodobnostní prostor a na něm je definována náhodná proměnná . Konkrétně, podle definice, je měřitelné mapování měřitelného prostoru do měřitelného prostoru , kde označuje Borel sigma-algebru na . Potom náhodná proměnná vyvolá míru pravděpodobnosti takto : $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ $(\mathbb {R} , {\mathcal {B}} (\mathbb {R} ))$ ${\mathcal {B}} (\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$

\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X^{-1}(B)),\;\forall B\in {\mathcal {B))(\mathbb {R} ).

Míra se nazývá rozdělení náhodné veličiny . Jinými slovy, , tak nastaví pravděpodobnost, že náhodná proměnná spadne do množiny . $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $\mathbb {P} ^{X}(B)=\mathbb {P} (X\in B)$ $\mathbb {P} ^{X}(B)$ $X$ $B\in {\mathcal {B}} (\mathbb {R} )$

Klasifikace distribucí

Funkce se nazývá (kumulativní) distribuční funkce náhodné veličiny . Věta vyplývá z vlastností pravděpodobnosti : $F_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}((-\infty ,x])=\mathbb {P} (X\leqslant x)$ $X$

Distribuční funkce libovolné náhodné proměnné splňuje následující tři vlastnosti: $F_{X} (x)$

$F_{X}$ je neklesající funkce;
$\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0,\;\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$ ;
$F_{X}$ souvisle vpravo.

Ze skutečnosti, že Borelova sigma-algebra na reálné čáře je generována rodinou intervalů tvaru , vyplývá následující věta : $\{(-\infty ,x]\}_{x\in \mathbb {R} }$

Jakákoli funkce , která splňuje tři výše uvedené vlastnosti, je distribuční funkcí pro určitou distribuci . $F(x)$ $\mathbb {P} ^{X}$

Pro rozdělení pravděpodobnosti, která mají určité vlastnosti, existují pohodlnější způsoby, jak je specifikovat. Distribuce (a náhodné veličiny) se přitom obvykle klasifikují podle charakteru distribučních funkcí [1] .

Diskrétní distribuce

Náhodná proměnná se nazývá jednoduchá nebo diskrétní , pokud nemá více než spočetný počet hodnot. To znamená , kde je oddíl . $X$ $X(\omega )=a_{i},\;\forall \omega \in A_{i}$ $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $\Omega$

Rozdělení jednoduché náhodné veličiny je pak podle definice dáno vztahem: . Zavedením notace můžete definovat funkci . Vzhledem k vlastnostem pravděpodobnosti . Pomocí počitatelné aditivity je snadné ukázat, že tato funkce jednoznačně určuje rozdělení . $\mathbb {P} ^{X}(B)=\součet _{i:a_{i}\in B}\mathbb {P} (A_{i})$ $p_{i}=\mathbb {P} (A_{i})$ $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $\mathbb {P}$ $X$

Soubor pravděpodobností kde se nazývá rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny . Soubor hodnot a pravděpodobností se nazývá diskrétní zákon rozdělení pravděpodobnosti [2] . $p(a_{i})=p_{i}$ $\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}=1$ $X$ $a_{i},i=1,2...\infty$ ${\displaystyle p_{i},i\in {1,2...\infty ))$

Pro ilustraci výše uvedeného zvažte následující příklad.

Nechť je funkce definována tak, že a . Tato funkce definuje rozdělení náhodné veličiny , pro kterou (viz Bernoulliho rozdělení , kde náhodná veličina nabývá hodnot ). Náhodná veličina je modelem vyváženého hodu mincí. $p$ $p(-1)={\frac {1}{2}}$ $p(1)={\frac {1}{2}}$ $X$ $\mathbb {P} (X=\pm 1)={\frac {1}{2))$ $0.1$ $X$

Jiné příklady jednotlivých náhodných proměnných jsou Poissonovo rozdělení , binomické rozdělení , geometrické rozdělení .

Diskrétní distribuce má následující vlastnosti:

$p_{i}\geqslant 0$ ,
$\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1$ , pokud je množina hodnot konečná - z vlastností pravděpodobnosti,
Distribuční funkce má konečnou nebo spočetnou množinu bodů nespojitosti prvního druhu, $F_{X} (x)$
Jestliže je bod spojitosti , pak existuje . $x_{0}$ $F_{X} (x)$ ${\frac {dF_{X}(x_{0})}{dx}}=0$

Mřížová rozdělení

Mřížkové rozdělení je rozdělení s diskrétní distribuční funkcí a body diskontinuity distribuční funkce tvoří podmnožinu bodů tvaru , kde je reálné, , je celé číslo [3] . $a+nh$ $A$ $h>0$ $n$

Teorém. Aby distribuční funkce byla mřížková s krokem , je nutné a postačující, aby její charakteristická funkce splňovala vztah [3] . $F$ $h$ $F$ $|f(2\pi /h)|=1$

Absolutně spojitá rozdělení

Distribuce náhodné proměnné je řekl, aby byl absolutně spojitý jestliže tam existuje non-záporná funkce takový to . Funkce se pak nazývá rozdělení hustoty pravděpodobnosti náhodné veličiny . Funkce takových distribucí je absolutně spojitá ve smyslu Lebesguea. $X$ $f_{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ $\mathbb {P} ^{X}(B)\equiv \mathbb {P} (X\in B)=\int \limits _{B}f_{X}(x)\,dx$ $f_{X}$ $X$

Příklady absolutně spojitých rozdělení jsou normální rozdělení , rovnoměrné rozdělení , exponenciální rozdělení , Cauchyho rozdělení .

Příklad. Nechat , kdy a jinak. Pak pokud . $f(x)=1$ $0\leqslant x\leqslant 1$ $f(x)=0$ $\mathbb {P} (a<X<b)=\int \limits _{a}^{b}1\,dx=ba$ $(a,b)\podmnožina [0,1]$

Pro jakoukoli hustotu distribuce platí následující vlastnosti: $f_{X}$

$f_{X}(x)\geqslant 0$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx=1$ .

Platí to i obráceně - pokud je funkce taková, že: $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f(x)\geqslant 0,\;\forall x\in \mathbb {R}$ ;
$\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ ,

pak existuje rozdělení takové, že je jeho hustota. $\mathbb {P} ^{X}$ $f(x)$

Aplikace Newton-Leibnizova vzorce vede k následujícím vztahům mezi funkcí a hustotou absolutně spojitého rozdělení:

$\mathbb {P} (a<X<b)=F(b)-F(a)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt$ .

Teorém. Jestliže je spojitá hustota distribuce a je její distribuční funkcí, pak $f(x)$ $F(x)$

$F'(x)=f(x),\;\forall x\in \mathbb {R} ,$
$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$ .

Při konstrukci rozdělení založeného na empirických (experimentálních) datech je třeba se vyvarovat zaokrouhlovacích chyb .

Singulární distribuce

Kromě diskrétních a spojitých náhodných proměnných existují proměnné, které nejsou ani diskrétní, ani spojité na žádném intervalu. Mezi takové náhodné veličiny patří například ty, jejichž distribuční funkce jsou spojité, ale rostou pouze na množině Lebesgueovy míry nula [4] .

Singulární distribuce jsou ta soustředěná na množinu nulové míry (obvykle Lebesgueovy míry ).

Tabulka základních rozdělení

Diskrétní distribuce

název	Označení	Parametr	Dopravce	Hustota (sekvence pravděpodobností)	Rohož. očekávání	Disperze	charakteristická funkce
Diskrétní uniforma	${\text{R}}\{1,\tečky ,N\}$	$N\in \mathbb {N}$	$\{1,\tečky ,N\}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})={\frac {1}{N)),k\in \{1,\tečky ,N\))$	${\frac {N+1}{2}}$	${\frac {N^{2}-1}{12}}$	${\frac {e^{it}-e^{i(N+1)t}}{N(1-e^{it}})}}$
Bernoulli	${\text{Bern}}(p)$	$p\in(0,1)$	$\{0,1\}$	$\mathrm {P} (\{0\})=1-p,\mathrm {P} (\{1\})=p$	$p$	$p(1-p)$	$pe^{it}+1-p$
Binomický	${\text{Bin}}(n,p)$	$n\in \mathbb {N} ,p\in (0,1)$	$\{0,\tečky ,n\}$	${\displaystyle \mathrm {P} (\{k\})=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{nk))$	$n.p.$	$np(1-p)$	$(pe^{it}+1-p)^{n}$
jed	${\text{Pois}}(\lambda )$	$\lambda>0$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{+))$	$\mathrm {P} (\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!)}}e^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$	${\displaystyle e^{\lambda (e^{it}-1)))$
Geometrický	${\text{Geom}}(p)$	$p\in (0,1]$	$\mathbb {N}$	$\mathrm {P} (\{k\})=(1-p)^{k-1}p$	${\frac {1}{p}}$	${\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2))))$	${\frac {pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}}$

Absolutně spojité distribuce

název	Označení	Parametr	Dopravce	Hustota pravděpodobnosti $f(x)$	Distribuční funkce F(x)	charakteristická funkce	Očekávaná hodnota	Medián	Móda	Disperze	Koeficient asymetrie	Kurtózní koeficient	Diferenciální entropie	Generující funkce momentů
stejnoměrný průběžný	$U(a,b)$	$a,b\in \mathbb {R} ,a<b$ , — faktor posunu , — faktor měřítka $A$ $ba$	$[a,b]$	${\dfrac {1}{ba}}I\{x\in [a,b]\}$	${\dfrac {xa}{ba}}I\{x\in [a,b]\}+I\{x>b\}$	${\dfrac {e^{itb}-e^{ita}}{it(ba)))$	${\frac {a+b}{2))$	${\frac {a+b}{2}}$	libovolné číslo ze segmentu $[a,b]$	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$	$0$	$-{\frac {6}{5}}$	$\ln(ba)$	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
normální (gaussovský)	$N(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R}$ — faktor posunu , — faktor měřítka $\sigma >0$	${\mathbb R}$	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi ))))\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2)){2 \sigma ^{2}}}}}$	${\frac {1}{2}}\left(1+\jméno operátora {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sqrt {2\sigma ^{2))))\ dobře dobře)$	$e^{i\,\mu \,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	$\sigma ^{2}$	$0$	$0$	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)$	${\displaystyle e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2))))$
lognormální	$LN(\mu ,\sigma ^{2})$	$\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0$	$(0;+\infty )$	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln(x) -\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\mathrm {Erf}}\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]$	$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(it)^{n}}{n!)}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^ {2}/2}}$	$e^{{\mu +\sigma ^{2}/2}}$	$e^{{\mu ))$	$e^{{\mu -\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}$	$(e^{{\sigma ^{2))}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2))}\!\!-1))$	$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\ !\!-6$	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$	$e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.$
Gamma distribuce	$\Gamma (\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{\beta }x^{\beta -1)){\Gamma (\beta )))e^{-\alpha x))$	${\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\gamma (\beta ,\alpha x)$	$\left(1-{\frac {it}{\alpha }}\right)^{-\beta }$	${\frac {\beta }{\alpha }}$		${\frac {\beta -1}{\alpha }}$ v $\beta \geq 1$	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha ^{2))))$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\beta ))))$	${\frac {6}{\beta }}$	${\begin{aligned}\beta &-\ln \alpha +\ln \Gamma (\beta )\\&+(1-\beta )\psi (\beta )\end{aligned))$	$\left(1-{\frac {t}{\alpha }}\right)^{-\beta }$ v $t<\alpha$
Exponenciální	${\text{Exp}}(\lambda )$	$\lambda >0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}I\{x>0\))$	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x))$	${\frac {\lambda }{\lambda -it))$	${\frac {1}{\lambda ))$	$\ln(2)/\lambda$	$0$	$\lambda ^{-2}$	$2$	$6$	$1-\ln(\lambda )$	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}$
Laplace	${\text{Laplace}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0$ — faktor měřítka , — faktor posunu $\beta\in\mathbb{R}$	${\mathbb R}$	$\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha\|x-\beta\|}$	${\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2} }e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}$	${\frac {\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}e^{it\beta }$	$\beta$	$\beta$	$\beta$	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha ^{2))))$	$0$	$3$	$\ln {\frac {2e}{\alpha ))$	${\frac {e^{\beta t}}{1-\alpha ^{2}t^{2}}}{\text{ for }}\|t\|<1/\alpha$
Cauchy	${\text{Cauchy}}(x_{0},\gamma )$	$x_{0}$ — faktor posunu , — faktor měřítka $\gamma > 0$	${\mathbb R}$	${1 \over \pi }\left({\gamma \over \gamma ^{2}+(x-x_{0})^{2}}\right)$	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$	$e^{i\,x_{0}\,t-\gamma \,\|t\|}$	Ne	$x_{0}$	$x_{0}$	$+\infty$	Ne	Ne	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$	Ne
Beta distribuce	${\text{Beta}}(\alpha ,\beta )$	$\alpha >0,\beta >0$	$[0,1]$	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}({\text{B}}(\alpha ,\beta )))$	$I_{x}(\alpha ,\beta )$	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$	${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$	$I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\cca {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\ alfa +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}$ pro $\alpha ,\beta >1$	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2))$ pro $\alpha >1,\beta >1$	${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)))$	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1))}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta ))))$	$6\,{\frac {\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta ( \beta +2)}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)))$		$1+\součet _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r} }\right){\frac {t^{k}}{k!)}}$
chí-kvadrát	$\chi ^{2}(k)$	$k>0$ je počet stupňů volnosti	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)))x^{k/2-1}e^{-x/2}$	${\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)))$	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}$	$k$	o $k-2/3$	$k-2$ -li $k\geq 2$	$2\,k$	${\sqrt {8/k))$	$12/k$	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln \left[2\Gamma \left({k \over 2}\right)\right]\!+\!\left(1\!- \!{\frac {k}{2}}\right)\psi \left({\frac {k}{2}}\right)$	$(1-2\,t)^{-k/2}$ , pokud $2\,t<1$
Student	${\text{t}}(n)$	$n>0$ je počet stupňů volnosti	${\mathbb R}$	${\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2)))}{{\sqrt {n\pi }}\,\Gamma ({\frac {n}{2))) }}(1+{\frac {x^{2}}{n}})^{-{\frac {n+1}{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{x\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}{\frac {\,_{2}F_{1 }\left({\frac {1}{2)),{\frac {n+1}{2));{\frac {3}{2));-{\frac {x^{2)) {n}}\right)}{{\sqrt {\pi n}}\,\Gamma ({\frac {n}{2}})))}}$	${\displaystyle {\frac {K_{n/2}\left({\sqrt {n}}\|t\|\right)\cdot \left({\sqrt {n}}\|t\|\right)^{n /2}}{\Gamma (n/2)2^{n/2-1))))$ pro $n>0$	$0$ , pokud $n>1$	$0$	$0$	${\frac {n}{n-2))$ , pokud $n>2$	$0$ , pokud $n>3$	${\frac {6}{n-4))$ , pokud $n>4$	${\begin{matrix}{\frac {n+1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+n}{2}})-\psi ({\frac {n}{2} })\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {n}}B({\frac {n}{2}},{\frac {1}{2}})\ vpravo]}\end{matrix}}$	Ne
Rybář	$F(d_{1},d_{2})$	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ - počet stupňů volnosti	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1 }\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2))))}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2 )),{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$	${\frac {\Gamma ({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}})}{\Gamma ({\tfrac {d_{2}}{2}}))) } U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{ 1 }}}\imath s\right)$	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ , pokud $d_{2}>2$		${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ , pokud $d_{1}>2$	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2 }(d_{2}-4)}},$ -li $d_{2}>4$	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_ {1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}},$ -li $d_{2}>6$	$12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2) ^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}$	$\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right) -\ln \Gamma \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!$ $\left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left (1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!$ $+\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2} }\right)+\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}\!$
Rayleigh	$\mathrm {Rayleigh} (\sigma )$	$\sigma$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {x}{{\sigma }^{2}}}e^{-{\frac {{x}^{2}}{2{{\sigma }^{2}}}} }$	$1-e^{\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}$	$1\!-\!\sigma te^{{-\sigma ^{2}t^{2}/2}}{\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\!\left( {\textrm {erfi}}\!\left({\frac {\sigma t}{{\sqrt {2}}}}\right)\!-\!i\right)$	${\sqrt {{\frac {\pi }{2))))\sigma$	$\sigma {\sqrt {\ln(4)))$	$\sigma$	$\left(2-\pi /2\right){{\sigma }^{{2))}$	${\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{{3/2))))$	$-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}$	$1+\ln \left({\frac {\sigma }{{\sqrt {2))))\vpravo)+{\frac {\gamma }{2))$	$1+\sigma t\,e^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2))}\left({\textrm {erf }}\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)\!+\!1\right)$
Weibulla	$\mathrm {W} (k,\lambda )$	$\lambda >0$ - faktor měřítka , - faktor tvaru $k>0$	${\displaystyle \mathbb {R} _{+))$	${\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-\left({\frac {x} {\lambda ))\right)^{k))$	$1-e^{-\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k}}$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k))\right)$	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k))$	$\frac{\lambda(k-1)^{\frac{1}{k))}{k^{\frac{1}{k))},$ pro $k>1$	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}$	$\frac{\Gamma(1+\frac{3}{k})\lambda^3-3\mu\Gamma(1+\frac{2}{k})\lambda^2+2\mu^3} {\sigma^3}$	${\frac {\lambda ^{4}\Gamma \left(1+{\frac {4}{k))\right)-4\lambda ^{3}\mu \Gamma \left(1+ {\frac {3}{k}}\right)+6\lambda ^{2}\mu ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-3\ mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}$	$\gamma\left(1\!-\!\frac{1}{k}\right)+\left(\frac{\lambda}{k}\right)^k +\ln\left(\frac{\ lambda}{k}\vpravo)$	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!)}}\Gamma (1+n/k),\ k \ geq 1$
Logistické	$L(\mu ,s)$	$\mu$ , $s>0$	${\mathbb R}$	${\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s))))$	$e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)$ pro $\|ist\|<1$	$\mu$	$\mu$	$\mu$	${\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}$	$0$	$6/5$	$\ln(s)+2$	$e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)$ pro $\|s\,t\|<1$
Wigner	$\rho (R)$	$R>0$ - poloměr	$[-R;+R]$	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\ frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}$ pro $-R\leq x\leq R$	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t))$	$0$	$0$	$0$	${\frac {R^{2}}{4}}$	$0$	$-jeden$	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}$	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t))$
Pareto	${\text{Pareto))(k,x_{\text{m)))$	$x_{\text{m}}>0$ je měřítkový faktor , $k>0$	$[x_{\text{m));+\infty )$	${\frac {k\,x_{\text{m}}^{k}}{x^{k+1}}}$	$1-\left({\frac {x_{\text{m}}}{x}}\right)^{k}$	${\displaystyle k{\big (}\Gamma (-k){\big [}x_{\text{m}}^{k}(-it)^{k}-(-ix_{\text{m} }t)^{k}{\big ]}+E_{\text{k+1}}(-ix_{\text{m}}t){\big )))$	${\frac {kx_{\text{m}}}{k-1}}$ , pokud $k>1$	$x_{\text{m}}{\sqrt[{k}]{2}}$	$x_{\text{m))$	$\left({\frac {x_{\text{m}}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}$ v $k>2$	${\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3))\,{\sqrt {\frac {k-2}{k))))$ v $k>3$	${\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)))$ v $k>4$	$\ln \left({\frac {k}{x_{\text{m))))\right)-{\frac {1}{k}}-1$	Ne

kde je funkce gama , je neúplná funkce gama , je funkce digama , je funkce beta , je regularizovaná neúplná funkce beta , je hypergeometrická funkce , je Besselova funkce , je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu , je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu rodu , je funkce Tricomi . $\Gamma$ $\gamma$ $\psi =\Gamma '/\Gamma$ $B$ ${\displaystyle I_{x))$ $_{1}F_{1}$ ${\displaystyle _{2}F_{1))$ $J_{\alpha }$ ${\displaystyle I_{\nu ))$ ${\displaystyle K_{\nu ))$ $U(a,b,z)$

Vícerozměrná rozdělení

název	Označení	Parametr	Dopravce	Hustota (sekvence pravděpodobností)	Rohož. očekávání	Disperze	charakteristická funkce
Gaussův	$N(a,\Sigma )$	${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n))$ - sym. a neonové. def.	$\mathbb {R} ^{n}$	$p(x)={\dfrac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}e^{-{\frac {1}{2}}(xa )^{T}\Sigma ^{-1}(xa)}$	$A$	$\Sigma$	$e^{ia^{T}t-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t}$

Poznámky

↑ Matalytsky, Khatskevich. Teorie pravděpodobnosti, matematická statistika a stochastické procesy, 2012. - S.69
↑ Matalytsky, Khatskevich. Teorie pravděpodobnosti, matematická statistika a náhodné procesy, 2012. - S.68
↑ 1 2 Ramachandran, 1975 , str. 38.
↑ Matalytsky, Khatskevich. Teorie pravděpodobnosti, matematická statistika a stochastické procesy, 2012. — S.76

Literatura

Distribuce pravděpodobnosti // Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / kap. vyd. Yu. S. Osipov . - M .: Velká ruská encyklopedie, 2004-2017.
Lagutin M.B. Vizuální matematická statistika. - M. : Binom, 2009. - 472 s.
Žukovskij M.E. , Rodionov I.V. Základy teorie pravděpodobnosti. - M. : MIPT, 2015. - 82 s.
Žukovskij M.E. , Rodionov I.V. , Shabanov D.A. Úvod do matematické statistiky. - M. : MIPT, 2017. - 109 s.
Ramachandran B. Teorie charakteristických funkcí. - M. : Nauka, 1975. - 224 s.
Koroljuk V.S. , Portenko N.I. , Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Příručka teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky. - M. : Nauka, 1985. - 640 s.
Gubarev V.V. Pravděpodobnostní modely: Příručka ve 2 částech. - Novosibirsk.: Novosibirsk. elektrotechnika in-t, 1992. - 422 s.

Viz také

mezní distribuce

Slovníky a encyklopedie

Skvělý norský

V bibliografických katalozích
BNF : 119780901 GND : 4121894-2 J9U : 987007557953805171 LCCN : sh85038545 NDL : 00564751 NKC : ph125263

Rozdělení pravděpodobnosti
Oddělený	Bernoulli Binomický Geometrický hypergeometrické Logaritmické Negativní binom jed Diskrétní uniforma Multinomický
Absolutně kontinuální	Beta Weibulla gama- hyperexponenciální Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormální normální (gaussovský) Logistické Nakagami Pareto Pearson polokruhový kontinuální uniforma Rýže Rayleigh Student Tracey - Vidoma Rybář Chí-kvadrát Exponenciální Rozptyl-gama Vícerozměrný normální spona