Nosič funkcí

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 18. března 2018; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Nosič funkce je uzávěr množiny, na které je funkce nenulová.

Podpora klasické funkce

Podpora funkce je uzavření podmnožiny , na které funkce s reálnou hodnotou nezmizí: $u\dvojtečka X\to \mathbb{R}$ $X$ $u$

{\mathrm {supp}}\,u=\overline {\left\{x\mid u(x)\neq 0\right\}}).

Nejběžnějším případem je situace, kdy je funkce definována na topologickém prostoru a je spojitá. V takovém případě je nosič definován jako nejmenší uzavřená podmnožina , mimo niž je rovna nule. $u$ $X$ $X$ $u$

Kompaktní nosič

Funkce se zapnutou kompaktní podporou jsou ty , jejichž podpora je kompaktní podmnožinou . $X$ $X$

Pokud je například skutečná čára , pak všechny spojité funkce mizející na jsou funkcemi s kompaktní podporou. $X$ $|x|>C$

Funkce se nazývá konečná , pokud je její podpora kompaktní .

Nosič obecné funkce

Můžete také zavést koncept podpory pro zobecněnou funkci , tedy pro funkcionál na množině nekonečně hladkých konečných funkcí .

Formální definice

Uvažujme zobecněnou funkci a všechny množiny takové, že pokud konečná funkce zmizí na množině , pak je hodnota 0. $F$ $K$ $\varphi$ $K$ $(f,\;\varphi )$

Nejmenší (podle zahrnutí) z takových množin se nazývá nositelka zobecněné funkce $F$ . (Jinak můžeme říci, že je to průsečík všech takových ). ${\mathrm {supp}}\,f$ $K$

Stojí za zmínku, že podpora zobecněné funkce bude neprázdná kompaktní množina.

Poznámka

Všimněte si, že tato definice nosiče se neshoduje s tou klasickou. Zobecněná funkce je skutečně definována na prostoru nekonečně hladkých konečných funkcí , což znamená, že klasická podpora musí být podmnožinou , zatímco podpora zobecněné funkce je podmnožinou . $F$ $C_{0}^{{\infty }}(X)$ $C_{0}^{{\infty }}(X)$ $X$

Příklady

Jako příklad zvažte funkci Dirac . $\delta(x)$

Vezměte libovolnou konečnou funkci s podporou bez bodu 0. Protože ( aplikováno jako lineární funkcionál na ) je pro takové funkce nula, můžeme říci, že podporou je pouze bod . $\varphi$ $(\delta ,\;\varphi )$ $\delta$ $\varphi$ $\delta$ $\{0\}$

Singulární nosič

Zejména ve Fourierově analýze je zajímavé studovat singulární podporu zobecněné funkce . Má intuitivní výklad jako soubor bodů, ve kterých se „zobecněná funkce neredukuje na obvyklou“.

Formální definice

Nechť je zobecněná funkce . Může být reprezentován jako , kde je pravidelná zobecněná funkce a je singulární zobecněná funkce . (Taková reprezentace není, obecně řečeno, jedinečná.) $F$ $f=u+v$ $u$ $proti$

Průsečík podpor ve všech možných expanzích se nazývá singulární podpora zobecněné funkce . ${\mathrm {supp}}\,v$ $f=u+v$ $F$

Klasická notace pro nosiče jednotného čísla . ${\mathrm {sing\,supp}}\,f$

Příklady

Singulární podpora pro Diracovu funkci je tedy bod 0.

V tomto konkrétním případě se singulární podpora a právě podpora zobecněné funkce shodují. Nejedná se však o obecnou vlastnost. Například pro zobecněnou funkci působící podle vzorce

(f,\;\varphi )=\int \limits _{0}^{1}\varphi \,dx+\varphi (0),

nosič bude segment a singulární nosič bude bod 0. $[0,\;1]$

Dalším příkladem je Fourierova transformace pro Heavisideovu krokovou funkci lze považovat za konstantu jako , s výjimkou bodu, kde . Protože se zjevně jedná o singulární bod, je přesnější říci, že transformace má singulární podporu jako rozdělení . $1/x$ $x=0$ $\{0\}$

Pro distribuce s více proměnnými umožňují singulární podpory definovat množiny vlnoplochy a pochopit Huygensův princip z hlediska počtu . Singulární podpory lze také použít k pochopení jevů specifických pro teorii distribuce, jako jsou pokusy o násobení distribucí (kvadratura Diracovy delta funkce není možná, hlavně proto, že singulární podpory distribucí, které se násobí, musí být odděleny).

Singulární podpora nachází důležité uplatnění v teorii pseudodiferenciálních operátorů (PDO) , zejména ve větě o pseudolokality PDO .

Nosič míry

Protože míry (včetně pravděpodobnostních mír ) na reálné linii jsou speciální případy zobecněných funkcí (distribucí) , můžeme stejným způsobem hovořit i o podpoře míry. $\mathbb {R}$

Viz také

Literatura

Shubin MA Pseudodiferenciální operátory a spektrální teorie . - 2. vyd. - M.: "Dobrosvět", 2003.