Prostor základních funkcí

Prostor základních funkcí je struktura , pomocí které se buduje prostor zobecněných funkcí (prostor lineárních funkcionálů na prostoru základních funkcí).

Zobecněné funkce mají v matematické fyzice velký význam a prostor základních funkcí se používá jako základ pro konstrukci zobecněných funkcí (formálně je to doména odpovídajících zobecněných funkcí). Diferenciální rovnice jsou uvažovány v tzv. slabý smysl , to znamená, že neuvažujeme bodovou rovnost, ale rovnost odpovídajících regulárních lineárních funkcionálů na vhodném prostoru základních funkcí. Viz Sobolevovy prostory .

Obvykle se jako prostor základních funkcí volí prostor nekonečně diferencovatelných funkcí s kompaktní podporou (tzv. konečné funkce) , na kterém je zavedena následující konvergence (a tedy i topologie ): ${\mathcal {D}} (\Omega )$ $C_{0}^{\infty }(\Omega )$

Posloupnost konverguje, pokud: $\left\{u_{j}\right\}_{j=1}^{\infty }\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$ $u\in {\mathcal {D}} (\Omega )$

Funkce jsou jednotně konečné , to znamená, že jsou kompaktní v a včetně . $u_{j}$ $\exists K$ $\Omega$ $\forall j\;\mathrm {supp} \,u_{j}\subset K$
$\forall \alpha \;D^{\alpha }u_{j}(x)\to D^{\alpha }u(x)$ rovnoměrně přes . $X$

Zde je ohraničená oblast v . $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$

Pro otázky Fourierovy transformace se používají zobecněné funkce pomalého růstu. Pro ně je jako hlavní zvolena Schwartzova třída — nekonečně plynulá na funkcích, které klesají rychleji než kterýkoli stupeň spolu se všemi jejich derivacemi. Konvergence na něm je definována následovně: posloupnost funkcí konverguje k if ${\mathcal {S}}={\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ $|x|\to \infty$ $|x|^{-k}$ $\phi _{1},\phi _{2},\tečky$ $\phi ^{*}$

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \ |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi _{j}(x)\to |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi ^{*}(x)

rovnoměrně přes .

X

Výběr Schwartzovy třídy pro konstrukci Fourierovy transformace na prostoru zobecněných funkcí je dán tím, že Fourierova transformace je automorfismus na Schwartzově třídě.

Literatura

V.S. Vladimirov . Zobecněné funkce v matematické fyzice. - ed. 2. — M .: Nauka , 1979 . — 320 s.

Prostor základních funkcí

Literatura

Viz také