Spektrální teorie je obecný termín v matematice, který se vztahuje k teoriím, které rozšiřují koncepty vlastní funkce a vlastní hodnoty ze čtvercových matic na širší třídy lineárních operátorů v různých prostorech. Takové teorie přirozeně vznikají při studiu soustav lineárních rovnic a jejich zobecnění. Takové teorie jsou úzce spjaty s analytickými funkcemi, protože spektrální vlastnosti operátora souvisejí s analytickými funkcemi spektrálního parametru.
Samotný termín „spektrální teorie“ zavedl David Hilbert v původní formulaci teorie Hilbertových prostorů , která byla formulována pomocí kvadratického tvaru nekonečného množství proměnných. Proto byla původní verze spektrální věty formulována jako rozšíření věty o redukci kvadratické formy na hlavní osy . Novější výzkum v kvantové mechanice umožnil vysvětlit rysy spektra atomu , což bylo zcela neočekávané.
Existují tři hlavní formulace spektrální teorie, z nichž každá má důvod být považována za užitečnou. Po Hilbertově původní formulaci byl pozdější výzkum spektrální teorie normálního operátora v Hilbertově prostoru přizpůsoben potřebám fyziky, zejména výzkumu, který provedl von Neumann [1] . Další vývoj teorie by mohl také zahrnovat Banachovy algebry . Tyto studie vedly k Gelfandově reprezentaci, která zcela pokrývá komutativní případ, a později k nekomutativní harmonické analýze.
Rozdíl lze pochopit nakreslením paralely s Fourierovou analýzou. Fourierova transformace na reálné ose je na jedné straně spektrální teorií diferenciace jako diferenciálního operátora. V praxi se však ukazuje, že je třeba pracovat se zobecněním vlastních funkcí (například pomocí Hilbertova prostorového rámce). Na druhou stranu je docela snadné sestavit grupovou algebru, která splňuje základní vlastnosti Fourierovy transformace, a to lze provést pomocí Pontryaginovy duality .
Spektrální vlastnosti operátorů v Banachových prostorech lze také zkoumat, například kompaktní operátory v Banachově prostoru mají spektrální vlastnosti velmi podobné vlastnostem matic.
Kmity byly přesně vysvětleny pomocí metod spektrální teorie,
Spektrální teorie úzce souvisí se studiem lokalizovaných oscilací různých objektů, od atomů a molekul v chemii až po akustické vlnovody. Tyto vibrace mají frekvence (přirozené frekvence vibrací). Aplikovanou otázkou je, jak tyto frekvence vypočítat. To je poměrně obtížný úkol, protože každé těleso má nejen základní tón (odpovídající nejnižší frekvenci), ale také mnoho podtónů, jejichž sled je zcela netriviální.
Matematická teorie na technické úrovni není vázána na tento druh fyzikálních úvah, i když existuje mnoho příkladů vzájemného ovlivňování. Poprvé pojem spektrum v tomto smyslu zjevně převzal Hilbert v roce 1897 z článku Wilhelma Wirtingera o Hillově diferenciální rovnici a poté tento termín převzali jeho studenti, včetně Erharda Schmidta a Hermanna Weyla .
Teprve o dvacet let později, po Schrödingerově formulaci kvantové mechaniky, bylo vytvořeno spojení mezi matematickým spektrem operátoru a spektrem atomu. Ačkoli, jak poznamenal Henri Poincaré , souvislost s matematickým modelem oscilací byla tušena mnohem dříve, byla odmítnuta spíše jednoduchými kvantitativními argumenty, například neschopností vysvětlit Balmerovu frekvenční řadu . Název spektrální teorie tedy logicky nesouvisel s její schopností vysvětlit spektrum atomu, byla to jen náhoda.